圓形空心墩日照溫度場(chǎng)Laplace變換解析計(jì)算*

趙 亮 楊志勇 張亮亮

(武漢理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院1) 武漢 430000) (重慶大學(xué)土木工程學(xué)院2) 重慶 404100)

圓形空心墩日照溫度場(chǎng)Laplace變換解析計(jì)算*

趙 亮1)楊志勇1)張亮亮2)

(武漢理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院1)武漢 430000) (重慶大學(xué)土木工程學(xué)院2)重慶 404100)

為研究混凝土圓形空心墩的日照溫度分布及變化特征，建立了日照作用下空心墩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)模型.利用氣象參數(shù)描述邊界條件，采用Laplace變換，將時(shí)間域的問題轉(zhuǎn)換成Laplace域上的問題，利用Stehfest數(shù)值反演得到時(shí)間域的解答，從而得到溫度場(chǎng)的解析計(jì)算式.編程計(jì)算得到溫度場(chǎng)，與實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者的溫度變化趨勢(shì)基本一致，結(jié)果吻合較好.氣象參數(shù)分析表明太陽輻射、風(fēng)速、日平均氣溫，以及日溫度變化幅度是影響混凝土空心墩的溫度分布的主要因素.

混凝土圓形空心墩；日照溫度場(chǎng)；解析方法；Laplace積分變換

0 引 言

混凝土空心墩可以節(jié)省材料、減輕自重并降低對(duì)地基強(qiáng)度的要求，因而得到較廣泛的應(yīng)用.處于自然環(huán)境中的橋梁，在長(zhǎng)時(shí)間的日照作用下，空心墩內(nèi)外壁面溫差較大，分布不均勻，產(chǎn)生的溫度應(yīng)力不可忽視[1-2].

關(guān)于空心墩的日照溫度場(chǎng)和溫度效應(yīng)，自上世紀(jì)60年代以來，不少學(xué)者做了大量的研究.蔣國(guó)富等[3-5]分別基于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)資料，推導(dǎo)了適合橋梁所在地區(qū)的混凝土薄壁空心墩沿壁厚方向的溫度梯度模式.胡安慶等[6-7]根據(jù)實(shí)際工程的實(shí)測(cè)資料編制了溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算程序，為設(shè)計(jì)提供了一定的方便和參考.

以上分析對(duì)橋墩日照溫度效應(yīng)的研究具有極大的幫助，但溫度效應(yīng)問題具有明顯地域性，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)時(shí)時(shí)觀測(cè)的難度大；對(duì)大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理、以及從計(jì)算程序的編制到建模分析都需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力；且這些大多針對(duì)某一具體工程的箱型、雙肢型薄壁空心墩等，對(duì)圓形空心墩研究相對(duì)較少.因此，文中試圖根據(jù)熱傳導(dǎo)原理，利用氣象參數(shù)[8-9]建立日照作用下圓形空心墩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)模型，利用Laplace變換及Stehfest數(shù)值反演，得到適用于不同橋址地區(qū)的混凝土圓形空心橋墩溫度場(chǎng)解析計(jì)算方法.同時(shí)制作了模型實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)驗(yàn)證解析計(jì)算結(jié)果的有效性和精確性，并對(duì)影響空心墩溫度場(chǎng)變化規(guī)律的因素進(jìn)行分析，為設(shè)計(jì)和施工提供依據(jù)和方便.

1 混凝土空心墩溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 熱傳導(dǎo)方程

大型混凝土空心墩的日照溫度場(chǎng)分布屬于復(fù)雜的三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，但可近似地認(rèn)為沿著高度方向溫度呈均勻分布，熱傳導(dǎo)基本沿著徑向進(jìn)行，因此混凝土空心墩的溫度場(chǎng)可簡(jiǎn)化為二維分布、一維熱傳導(dǎo)問題.于是將方位角為θ的空心墩壁面的溫度分布用T(r,t)表示，計(jì)算模型幾何尺寸見圖1.

圖1 計(jì)算模型

采用極坐標(biāo)建立熱傳導(dǎo)控制方程

(1)

式中：T=T(r,t)為方位角θ的截面上徑向r處t時(shí)刻的溫度，℃；r2，r1分別為內(nèi)外半徑，m；t為時(shí)間，s；a=λ/ρc為導(dǎo)溫系數(shù)，m2/s，其中λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；ρ為密度，kg/m3；c為比熱容，J/(kg·K).

1.2 初始條件

日照作用下，假定在初始時(shí)刻，混凝土空心墩各點(diǎn)具有相同的初始溫度.其初始條件為

T(r,0)=T0

(2)

式中：T0為空心墩的初始溫度，℃.

1.3 邊界條件

橋梁結(jié)構(gòu)表面的日照溫度場(chǎng)問題的傳熱邊界條件復(fù)雜且為非線性，若直接采用解析方法求解導(dǎo)熱微分方程是非常困難的，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化處理.

不少研究發(fā)現(xiàn)太陽輻射過程曲線可利用半正(余)弦波模型模擬為日出到日落期間的半個(gè)正(余)弦波.由于氣象臺(tái)一般提供水平面上的太陽輻射資料，因此需將水平面上太陽日輻射總量H進(jìn)行直散分離[10]然后再轉(zhuǎn)化為豎直面上的太陽輻射量HV[11].在此將筒壁方位角為θ壁面的t時(shí)刻太陽輻射強(qiáng)度qV(t)分解為太陽直接輻射qbV(t)和散射及地表反射qdV(t)2部分之和，即

qV(t)=qbV(t)+qdV(t)

(3)

(4)

式中:tk=tsk-trk；ck=0.5(tsk+trk)

其中：下角標(biāo)k=b時(shí)表示與太陽直接輻射相關(guān)的參數(shù)，k=d時(shí)表示與太陽反射和散射相關(guān)的參數(shù).tb和td分別為豎直壁面上的日照時(shí)間和水平壁面上的日照時(shí)間；trb，tsb分別為豎直壁面的日出日沒時(shí)間，trd，tsd分別為水平壁面上的起止時(shí)刻，計(jì)算見文獻(xiàn)[9-11].

圖2給出了按式(3)采用半余弦波模擬豎直面上的太陽輻射的實(shí)例，并與理論曲線和按參考文獻(xiàn)[9]采用半正弦波曲線進(jìn)行對(duì)比，從圖2可見，式(3)模擬結(jié)果比較理想，簡(jiǎn)化了豎直面上任意時(shí)刻太陽輻射分布計(jì)算表達(dá)式，運(yùn)用更加方便.

圖2 豎直面上太陽輻射日過程的曲線模擬(日序數(shù)181，緯度30.5°，方位角-45°，水平面日輻射總量29.3 MJ/m2)

空心墩外壁與外界的熱交換主要有太陽輻射、對(duì)流換熱、輻射換熱.而空心墩內(nèi)壁，只考對(duì)流和輻射換熱，因此空心墩邊界條件為

(5)

為了便于求解計(jì)算，將上式展開為傅里葉形式，并寫成復(fù)數(shù)形式，即

(6)

具體參數(shù)如下.

式中：

2 熱傳導(dǎo)方程的求解

2.1 求解

在熱傳導(dǎo)問題中，運(yùn)用Laplace變換可以消去微分方程中的時(shí)間偏導(dǎo)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.對(duì)熱傳導(dǎo)微分方程(1)進(jìn)行Laplace變換后得

(7)

其通解形式為

式中：J0(·)和Y0(·)分別為第一類、第二類貝塞爾函數(shù)；m1，m2為待求系數(shù)，由邊界條件確定；s是一個(gè)復(fù)參量，s=β+iω且ω≥0.

對(duì)邊界條件式(6)進(jìn)行Laplace變化，轉(zhuǎn)化為s域的象函數(shù)方程

(9)

將通解式(8)帶入邊界條件(9)中，整理求解可得

(9)

式中：

2.2 Laplace逆變換的數(shù)值計(jì)算

由于將得到的頻域解進(jìn)行逆變換到時(shí)間域上的計(jì)算復(fù)雜且難以實(shí)現(xiàn)，因此對(duì)Laplace變換采用Stehfest算法[12]進(jìn)行數(shù)值反演，該算法的計(jì)算式為

(11)

(12)

式中：t為自變量；N，k，i均為正整數(shù)；k=int(0.5i+0.5)；υi為中間函數(shù).

理論上，式(12)中N取值越大，計(jì)算精度越高.通過試算，本例中N=30時(shí)，效果較好，誤差可控制在10-4～10-6之間.

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 模型參數(shù)

混凝土圓形空心墩實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷耐鈴綖? m，壁厚為0.3 m，采用數(shù)字溫度傳感器測(cè)量空心墩內(nèi)外壁溫度.實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图皽y(cè)點(diǎn)布置見圖3～4.計(jì)算時(shí)間為2013年8月28日，當(dāng)日氣溫變化28～41 ℃，風(fēng)速3 m/s.地理緯度30.62°，混凝土吸收率As=0.55.地表短波反射率re=0.2，大氣長(zhǎng)波輻射率為εa=0.82，混凝土發(fā)射率為ε0=0.9.空心墩外壁向陽面h1=13.58 W/(m2·K)，陰影面h1=11.59 W/(m2·K)；內(nèi)壁h2=8.3 W/(m2·K).混凝土的熱物性參數(shù)見表1.

圖3 試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛨D

圖4 測(cè)點(diǎn)布置

ρ/(kg·m-3)c/[J·(kg·K)-1]λ/[W·(m·K)-1]24001．73980

3.2 溫度場(chǎng)分析

將當(dāng)?shù)氐臍庀筚Y料作為輸入?yún)?shù)，利用數(shù)學(xué)軟件Maple對(duì)Laplace逆變換進(jìn)行反演，得到空心墩各點(diǎn)01:00—24:00的溫度變化計(jì)算值，根據(jù)實(shí)測(cè)值與計(jì)算值繪制出同一時(shí)刻不同方位截面各測(cè)點(diǎn)的溫度變化曲線,見圖5.

圖5 計(jì)算與實(shí)測(cè)各測(cè)點(diǎn)溫度變化圖

由圖5中可見：

1) 各點(diǎn)的實(shí)測(cè)溫度變化幅度具有明顯的區(qū)別，內(nèi)壁測(cè)點(diǎn)升溫(8 ℃左右)較外壁測(cè)點(diǎn)(17 ℃左右)小.受太陽直接輻射強(qiáng)度影響，溫度升幅最大的為測(cè)點(diǎn)W1，在17:00后升溫達(dá)到最大值46.5 ℃.測(cè)點(diǎn)E2在11:00后受太陽輻射最強(qiáng)，達(dá)到最大值42.5 ℃.測(cè)點(diǎn)N1受到太陽輻射最弱，1 d中的溫度變化幅度最小.同一時(shí)刻，不同截面的內(nèi)外溫差以及空心墩外壁不同測(cè)點(diǎn)的溫差均可達(dá)到10 ℃.

2) 由于計(jì)算中假定初始溫度為均一值，因此日出前，各點(diǎn)計(jì)算溫度值基本相同，而實(shí)測(cè)稍有區(qū)別.日出后07:00—10:00間，外壁測(cè)點(diǎn)W1，S1，E1，N1的計(jì)算值較實(shí)測(cè)值偏大5%～10%，但各點(diǎn)峰值出現(xiàn)的時(shí)刻吻合較好.這是由于采用余弦波模擬太陽輻射強(qiáng)度時(shí)，日出后的計(jì)算強(qiáng)度值較實(shí)際太陽輻射強(qiáng)度大.在15:00—18:00之間，外壁各測(cè)點(diǎn)計(jì)算值較實(shí)測(cè)值偏低，這是因?yàn)椴捎糜嘞也M太陽輻射過程中，近似認(rèn)為各方位角壁面接受的太陽直接輻射在該壁面的cb時(shí)刻對(duì)稱分布，散射輻射相對(duì)于12:00對(duì)稱分布.而太陽輻射每日不同時(shí)刻實(shí)際分布規(guī)律不可能如此理想化，尤其夏季，15:00—18:00太陽輻射相對(duì)較強(qiáng)，由太陽輻射引起的表面溫度較高，導(dǎo)致此時(shí)的計(jì)算溫度比實(shí)際溫度偏小.

3) 實(shí)測(cè)溫度變化與計(jì)算溫度變化趨勢(shì)相似，吻合較好，說明推導(dǎo)的解析計(jì)算公式可以用于計(jì)算大型混凝土圓形空心墩日照作用下的溫度場(chǎng).

4 氣象參數(shù)對(duì)空心墩溫度場(chǎng)的影響

4.1 太陽輻射

以水平面上太陽日輻射總量H為參數(shù)，得到了空心墩在不同太陽日輻射總量下，外壁發(fā)生最高溫度時(shí)刻，橋墩外壁溫度分布(見圖6)以及1 d中內(nèi)外壁溫差最大值，見圖7.由此可見，太陽輻射量越大，外壁最高溫度值越大，最高溫度增長(zhǎng)速度越快.內(nèi)外壁溫差受太陽輻射影響明顯，輻射量越大，內(nèi)外壁溫差最大值越大.

圖6 不同日輻射總量下的外壁最大溫度時(shí)刻溫度分布

圖7 日輻射總量對(duì)最大內(nèi)外溫差的影響

4.2 風(fēng)速

風(fēng)速大小直接影響空心墩外壁與周圍環(huán)境的對(duì)流換熱，因此取風(fēng)速?gòu)?～25 m/s之間的6個(gè)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比分析，得到不同風(fēng)速作用下外壁發(fā)生最高溫時(shí)刻，橋墩外壁的溫度分布(見圖8)以及內(nèi)外壁溫差最大值，見圖9.隨著風(fēng)速的增加，由于對(duì)流換熱加快，橋墩表面散熱加強(qiáng)，溫度降低，當(dāng)風(fēng)速為0時(shí)，橋墩外壁最高溫度達(dá)47.8 ℃，內(nèi)外壁溫差達(dá)到最大值10.7 ℃.

圖8 不同風(fēng)速下的外壁最大溫度時(shí)刻溫度分布

圖9 風(fēng)速對(duì)最大內(nèi)外溫差的影響

4.3 大氣溫度

混凝土空心墩溫度分布受到外界日氣溫均值和變化幅值的影響.空心墩內(nèi)部空氣溫度在1 d內(nèi)變化小，變化幅度僅為2～3 ℃，日平均溫度一般比墩外日平均溫度高3～5 ℃.因此分別取空心墩外大氣日氣溫均值和日幅值為參數(shù)，得到空心墩內(nèi)外溫差最大值見圖10.日氣溫均值和日幅值均對(duì)空心墩內(nèi)外壁溫差影響顯著，日均值越小影響程度越顯著；日幅值越大，內(nèi)外壁溫差最大值越大.

圖10 日氣溫均值及幅值對(duì)最大內(nèi)外溫差的影響

5 結(jié) 論

1) 建立了日照作用下混凝土圓形空心墩的熱傳導(dǎo)方程，采用Laplace變換及逆變換的方法，得到了適用于不同橋址地區(qū)的溫度場(chǎng)解析計(jì)算方法，對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果，吻合較好.該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了復(fù)雜的建模等，可為后期的溫度效應(yīng)分析提供一定依據(jù)和方法.

2) 通過對(duì)水平面上的太陽日輻射總量進(jìn)行直散分離，并轉(zhuǎn)換為豎直面上的太陽直接輻射和散射與地表反射之和，從而得到的半余弦波曲線，簡(jiǎn)化了豎直面上太陽輻射強(qiáng)度函數(shù)形式，能更方便較好地模擬太陽輻射.為了便于解析計(jì)算，進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化，因而計(jì)算值與實(shí)測(cè)值有一定的偏差.

3) 算例分析表明同一時(shí)刻，溫度沿著混凝土空心墩周向和壁厚方向呈現(xiàn)出明顯的非線性，外壁周向溫差可達(dá)到10 ℃左右，同時(shí)空心墩內(nèi)外壁溫差最大也可達(dá)10 ℃.不同時(shí)刻，同一截面由于接受太陽輻射量不同，溫度變化較大.

4) 利用該溫度場(chǎng)解析計(jì)算方法可以方便地進(jìn)行參數(shù)分析.氣象參數(shù)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)水平面日輻射總量、風(fēng)速、日氣溫均值和變化幅度對(duì)混凝土空心墩溫度場(chǎng)分布有明顯影響.

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Analytical Calculation on Sunshine Temperature Field of Cylindrical Hollow Pier by Laplace Integral Transform

ZHAO Liang1)YANG Zhiyong1)ZHANG Liangliang2)

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430000,China)1)(SchoolofCivilEngineering,ChongqingUniversity,Chongqing404100,China)2)

A mathematical model of transient heat conduction for cylindrical concrete hollow pier is developed to investigate the temperature distribution of large cylindrical concrete hollow pier subjected to the solar radiation. As a first step, the meteorological parameters are used to describe the boundary conditions. Furthermore, the Laplace transform method is adopted to develop the analytical method for the temperature field of the hollow pier. Consequently, the calculation is transformed from time domain to Laplace domain. Then, the solution in Laplace domain is inversely transformed to time domain by Stehfest inversion. In order to comply with the calculation of the temperature field, a mathematical software Maple is adopted to implement the analytical method. Furthermore, the temperature field obtained with the analytical tool is verified with the measured data. Finally, the meteorological parameter analysis shows the solar radiation, wind speeds as well as air temperatures are the main factors effecting the temperature distribution in the cylindrical concrete hollow pier.

cylindrical concrete hollow pier; sunshine temperature field; analytical method; Laplace integral transform

2016-11-01

*重慶市建委項(xiàng)目資助(2014-4-3)

U443.22

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.013

趙亮(1983—)：女，博士生，主要研究領(lǐng)域外結(jié)構(gòu)溫度效應(yīng)