高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

◎謝楚舒

高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

◎謝楚舒

在我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)是非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容。高中教材中導(dǎo)數(shù)的引入給我們解決數(shù)學(xué)上的問(wèn)題提供了新的視野，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中的很多領(lǐng)域。導(dǎo)數(shù)對(duì)我們來(lái)說(shuō)不僅是普通的數(shù)學(xué)知識(shí)，它也是我們手中的一把利劍，它讓我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究、函數(shù)極值最值的探求、曲線斜率等的求解提供了解決的途徑。

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的基本概念總結(jié)

當(dāng)自變量的增量Δx＝x-x0，此時(shí)Δx→0時(shí)函數(shù)增量Δy＝f（x）-f（x0）與自變量增量之比的極限是存在并且有限的，我們就可以稱函數(shù)f在x0點(diǎn)是可導(dǎo)，稱之為f在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（變化率)。函數(shù)y＝f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0［x0，f（x0）］點(diǎn)的切線的斜率（該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率就是該導(dǎo)數(shù)的幾何意義）。

一般情況下，我們判斷函數(shù)的增減性是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)y＝f(x )在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）＞0，則f（x）在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞增。如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）＜0，則f（x）在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)f'（x）=0時(shí)，y＝f(x )有極大值或極小值，極大值里最大的數(shù)就是最大值，極小值中最小的數(shù)就是最小值。對(duì)導(dǎo)數(shù)求解的步驟，一般如下：求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟： ① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ；② 求平均變化率；③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

幾何方面的應(yīng)用

在掌握導(dǎo)數(shù)概念的前提下，在函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上來(lái)對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行研究是導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念的擴(kuò)展，也是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中重要的知識(shí)。微積分中重要的基本概念就是導(dǎo)數(shù)，假設(shè)自變量的增量趨近于零，是因變量的增量比上自變量的增量的極限。假設(shè)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或可以微分，那么這個(gè)函數(shù)一定是存在導(dǎo)數(shù)的?？梢郧髮?dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的，但是不連續(xù)的函數(shù)一定是不可以求導(dǎo)的。在幾何解析中，我們求曲線的切線時(shí)，我們只要知道曲線的方程y=f(X)和曲線上存在的任何一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們來(lái)求這一點(diǎn)的切線方程時(shí)就可以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)。求曲線的切線方程具體做法：第一，對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，得到曲線在已知點(diǎn)的切線的斜率。第二，假設(shè)已知切線的斜率和對(duì)應(yīng)切點(diǎn)的坐標(biāo)，那么我們就利用點(diǎn)斜式來(lái)求切線方程。例如，已知曲線上點(diǎn)（1，2）和曲線y = xlnx，求此點(diǎn)所在的切線方程。解：對(duì)函數(shù)f(x) =xlnx求導(dǎo)得f'(x)=lnx+1，得到f(1) = lnl+1=1，所以在點(diǎn)(1，2)的切線方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1，可得切線方程：y=x+1。從上題可以看出求解切線方程時(shí)，先求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在已知點(diǎn)的切線斜率，在運(yùn)用點(diǎn)斜式公式，就可得到切線方程。

在函數(shù)方面的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性。判斷函數(shù)的增減性利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，這是在對(duì)曲線變化規(guī)律進(jìn)行研究時(shí)導(dǎo)數(shù)幾何意義的一個(gè)應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的思想也被充分體現(xiàn)。一般情況下，假設(shè)在某個(gè)已知區(qū)間（a，b)內(nèi)，假如f'(x)＞0，我們可以得到函數(shù)y=f(x)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增；同理，如果f'(x)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減。除此以外，還有f'(x)=0在某個(gè)區(qū)間恒存在，則f(x)則為常數(shù)函數(shù)。需要注意的是，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f'(x)＞0是f(x)不是在此區(qū)間為增函數(shù)的必要條件，而是充分條件。如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f'(x)=0。也就是說(shuō)，如果已知增函數(shù)f(x)，答題就必須寫(xiě)f'(x)≥0。對(duì)函數(shù)單調(diào)區(qū)間求解的步驟為：①確定f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③由解出相應(yīng)的x的范圍。當(dāng)f'(x)＞0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；反之，當(dāng)f'(x)＜0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)．

函數(shù)的極值。我們對(duì)函數(shù)極值求解的步驟一般是：第一要明確函數(shù)的定義域；第二求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；第三在定義域內(nèi)求解所有的駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，也就是求解方程的所有實(shí)根。第四，看駐點(diǎn)左右側(cè)的符號(hào)，如果左邊為正，右邊為負(fù)， f(x)的極大值就在這個(gè)根處。反之， f(x)極小值就在這個(gè)根處。

函數(shù)的最值。假設(shè)f(x)在［a，b］上的最大值（或最小值）是(a，b)內(nèi)的一點(diǎn)，那么極大值（極小值）就是這個(gè)最大值（最小值），也就是說(shuō)，它是 f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是在［a，b］的端點(diǎn)a或b處也能取得極值，極值與最值的概念是不同的。求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的一般步驟為，第一求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 第二，將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中一個(gè)最大是最大值，最小的那個(gè)就是最小值。

利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題。生活中經(jīng)常遇到利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題，比如說(shuō)求最大利潤(rùn)，最省用料、最高效率等，我們將這些問(wèn)題稱為優(yōu)化問(wèn)題，其實(shí)就是最值問(wèn)題。對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行解決是非常有現(xiàn)實(shí)意義的，這些問(wèn)題一般都可以轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)的函數(shù)問(wèn)題，然后對(duì)函數(shù)的最大或最小值進(jìn)行求解。

從以上的敘述中可以看出，在應(yīng)對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)使用導(dǎo)數(shù)，感覺(jué)比較容易，計(jì)算過(guò)程也比較簡(jiǎn)便，其實(shí)這就是對(duì)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的考察。我們要掌握好關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念，將導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合，來(lái)用簡(jiǎn)單的方法解決復(fù)雜的問(wèn)題。

（作者單位：湘陰縣第一中學(xué)）