這個(gè)100千米長的“梅森素?cái)?shù)”有什么意義？

劉德

2016年1月7日，美國密蘇里中央大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫珀（Curtis Cooper）通過參與一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）的項(xiàng)目，找到了目前已知的最大素?cái)?shù)2^74207281-1。該素?cái)?shù)是第49個(gè)梅森素?cái)?shù)，長達(dá)22 338 618位；如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來，其長度可達(dá)100千米！美國《紐約時(shí)報(bào)》、英國廣播公司（BBC）等國際主流媒體都對這一科學(xué)成就作了報(bào)道，并給予了高度評(píng)價(jià)。

2 300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在名著《幾何原本》中就已經(jīng)證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，如2、3、5、7、11等；同時(shí)他提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^P-1”（其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)）的形式。而這種特殊形式的素?cái)?shù)，具有獨(dú)特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家（包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、萊布尼茨、哥德巴赫、歐拉、高斯、圖靈等）和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進(jìn)行探究。

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院的奠基人馬林·梅森（Marin Mersenne）對“2^P-1”型的素?cái)?shù)進(jìn)行過較為系統(tǒng)且深入的探究。為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就將這種素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”（Mersenne Prime）。迄今為止，人們僅發(fā)現(xiàn)49個(gè)梅森素?cái)?shù)。這種素?cái)?shù)稀奇而迷人，故被人們稱為“數(shù)海明珠”。尤其近百年來，人們發(fā)現(xiàn)的“超大素?cái)?shù)”幾乎都是梅森素?cái)?shù)。

梅森素?cái)?shù)貌似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)，其素性檢驗(yàn)的難度就會(huì)很大。法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯（ douard Lucas）和美國數(shù)學(xué)家德里克·萊默（Derrick Lehmer）在這方面作出了重要貢獻(xiàn)；以他們的姓氏命名的“盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法”是目前已知的檢驗(yàn)梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法。另外，從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來看，它們在正整數(shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則；因此，探究梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。中國數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中在這方面取得了重大突破，以他的姓氏命名的“周氏猜測”敘述了梅森素?cái)?shù)的分布狀況，并給出了精確表達(dá)式。

梅森素?cái)?shù)的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，還需要進(jìn)行艱苦的計(jì)算。而計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，尤其是互聯(lián)網(wǎng)的應(yīng)用給人們尋找梅森素?cái)?shù)提供了極大的便利，已成為不可或缺的有效工具。1996年初，美國數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家喬治·沃特曼（George Woltman）編寫了一個(gè)尋找梅森素?cái)?shù)的計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用，這就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目。人們只要從該項(xiàng)目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素?cái)?shù)了。

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)分布式計(jì)算技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國的“電子前沿基金會(huì)”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項(xiàng)目來尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的“協(xié)同計(jì)算獎(jiǎng)”。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過100萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬美元，后面的獎(jiǎng)金依次為：超過1 000萬位數(shù)，10萬美元；超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。其實(shí)，絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。

2008年8月23日，美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先發(fā)現(xiàn)超過1 000萬位的梅森素?cái)?shù)——2^43112609-1，該數(shù)有12 978 189位；他也因此獲得了EFF頒出的10萬美元大獎(jiǎng)。這一重大成就，被著名的《時(shí)代》周刊評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。不過，史密斯是私自利用學(xué)校的75臺(tái)計(jì)算機(jī)參加GIMPS項(xiàng)目的；本來這種行為應(yīng)該被處罰，但鑒于他為學(xué)校爭了光，還是受到了校方的表彰。

目前，全球已經(jīng)有193個(gè)國家和地區(qū)、60多萬人使用超過130萬個(gè)中央處理器（CPU）參與GIMPS項(xiàng)目。迄今為止，人們通過該項(xiàng)目已經(jīng)找到15個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國（9個(gè)）、德國（2個(gè)）、英國（1個(gè)）、法國（1個(gè)）、挪威（1個(gè)）和加拿大（1個(gè)）。順帶一提，美國數(shù)學(xué)家喬丹·埃倫伯格（Jordan Ellenberg）認(rèn)為，“發(fā)現(xiàn)一個(gè)梅森素?cái)?shù)就像是在干草堆里找一根針那樣困難。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)工程領(lǐng)域的價(jià)值要遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的價(jià)值”。

梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有重大意義和實(shí)用價(jià)值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑，其探究推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、密碼技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)和計(jì)算機(jī)檢測技術(shù)的發(fā)展。難怪許多科學(xué)家認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席馬科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至認(rèn)為，它的探究進(jìn)展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，也是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。