基于創(chuàng)新實踐案例的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法

摘要：針對離散數(shù)學(xué)的課程特點和產(chǎn)出導(dǎo)向理念，提出“創(chuàng)新實踐案例”的概念，介紹具備趣味性、前沿性、綜合性和多樣性的“創(chuàng)新實踐案例”概念，提出圍繞創(chuàng)新實踐案例，利用翻轉(zhuǎn)課堂和創(chuàng)新項目的形式，加強離散數(shù)學(xué)理論教學(xué)中的互動性和參與性，實現(xiàn)知行合一，讓學(xué)生構(gòu)建對于離散數(shù)學(xué)知識體系的完整認識，最終形成所學(xué)知識的實際綜合運用能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；OBE；教學(xué)研究；翻轉(zhuǎn)課堂；實踐教學(xué)

1.離散數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與問題

計算機專業(yè)是一個知識更新速度快、新技術(shù)層出不窮的寬口徑專業(yè)。作為計算機專業(yè)核心課程之一的離散數(shù)學(xué)課程，其教材、內(nèi)容和教學(xué)方法在很長一段時期內(nèi)都沒有明顯的變化，并沒有隨著計算機理論和應(yīng)用的快速發(fā)展而進步。離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個非常重要的分支領(lǐng)域，是計算機科學(xué)的核心理論基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對象一般是有限或者可數(shù)元素，這種特征描述了計算機科學(xué)的離散性。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)依然延續(xù)傳統(tǒng)的教學(xué)模式，以教師課堂授課和布置課后習(xí)題作業(yè)為主要教學(xué)模式。在日新月異的計算機技術(shù)發(fā)展背景下，這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式暴露出越來越多的問題。

首先，教學(xué)目標(biāo)上過分強調(diào)知識目標(biāo)，而忽略能力的達成和素養(yǎng)的提升。在制訂教學(xué)大綱時，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)突出對計算機科學(xué)相關(guān)背景知識的掌握，而對能力的達成和素養(yǎng)的提高沒有明確約束。僅有知識而不具備知識遷移技能以及將知識應(yīng)用于實際的能力，學(xué)生就無法解決現(xiàn)實生活中的實際問題，也無法將知識轉(zhuǎn)換為生產(chǎn)力；同樣，學(xué)生具備了知識和能力，但缺乏素養(yǎng)，也無法對社會做出貢獻。

其次，實踐教學(xué)的內(nèi)容、形式和效果無法滿足能力培養(yǎng)的需要。計算機專業(yè)的綜合性、工程性和實踐性都很強，注重實際應(yīng)用。實踐環(huán)節(jié)是學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為技能、將理論應(yīng)用于實際時不可或缺的部分。從內(nèi)容上看，目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)中低層次的習(xí)題訓(xùn)練遠遠不能滿足能力培養(yǎng)的需要，缺乏一些含金量較高的提高性、綜合性和創(chuàng)新性的實踐案例。從形式上看，其教學(xué)大多局限在教室，使用數(shù)年不更新、內(nèi)容過時、僅用于教學(xué)的案例，無法讓學(xué)生將所學(xué)知識與未來的應(yīng)用進行有效銜接。

第三，創(chuàng)新能力培養(yǎng)不足。自2010之后，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和大數(shù)據(jù)科學(xué)研究的興起，離散數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典內(nèi)容（例如圖論、關(guān)系等）已經(jīng)獲得了更為深入的研究和認識，其應(yīng)用也得到了較寬的拓展。同時，隨著計算機科學(xué)理論和技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用上的不斷深入，離散數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)工具也已經(jīng)滲透到諸如分子生物學(xué)、社會學(xué)等研究和應(yīng)用之中。但是，與應(yīng)用不斷發(fā)展相反，大學(xué)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方式依然還停留在極為傳統(tǒng)和典型的“數(shù)學(xué)課”模式。

第四，考核方式難以考查學(xué)生的真實能力與水平。目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)中盡管采用了“筆試+平時成績”的考核方式，從一定程度上實現(xiàn)了過程化考核，但筆試仍然以零散知識點的掌握情況為考核目標(biāo)，難以考查學(xué)生的綜合能力和運用知識的水平，且平時成績中很大一部分比重是反映學(xué)生的考勤情況、作業(yè)情況、上課表現(xiàn)和實驗結(jié)果等，考核的仍是浮于表面的“標(biāo)”，而不是學(xué)生知識技能掌握實際情況的“本”。

作為計算機核心課程中最具基礎(chǔ)性和理論性的課程，離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的問題將嚴重影響我國計算機科學(xué)的發(fā)展。呆板而無趣的教學(xué)方式使得學(xué)生無法真正學(xué)習(xí)到離散數(shù)學(xué)的核心思想，也無法將所學(xué)知識與日益發(fā)展的應(yīng)用有效結(jié)合。如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，成為了一個亟待解決的重要課題。

2.創(chuàng)新實踐案例的概念

本研究的核心理念是通過設(shè)計具有實際應(yīng)用背景且貼近學(xué)生生活和研究前沿?zé)狳c的“創(chuàng)新實踐”活動，綜合講授、討論、調(diào)查、游戲、報告和講座等多樣性的手段，激發(fā)學(xué)生對數(shù)理課程的興趣，傳授核心內(nèi)容，培養(yǎng)自學(xué)和實際應(yīng)用的能力。創(chuàng)新實踐活動的主要形式是翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)（課堂）和創(chuàng)新項目實踐（課后），兩種形式都圍繞基于離散數(shù)學(xué)核心知識重新構(gòu)建的“創(chuàng)新實踐案例”庫展開。這里的“案例”不同于一般課程中的例題，應(yīng)該具有以下特征：

（1）趣味性。興趣是最好的老師。離散數(shù)學(xué)作為專業(yè)理論課程，容易讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成倦怠心理。因此，在構(gòu)造創(chuàng)新實踐案例時，需要充分考慮所選主題是否貼近學(xué)生日常生活，是否能吸引學(xué)生的關(guān)注以及是否可以有效地和學(xué)生互動。

（2）前沿性。傳統(tǒng)離散教材中所提供的大量應(yīng)用案例，通常具有超過數(shù)十年甚至上百年的歷史，缺乏與前沿?zé)狳c的結(jié)合。通過構(gòu)造與前沿研究和應(yīng)用相結(jié)合的創(chuàng)新實踐案例，可以有效引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識與日常實踐結(jié)合，提升教學(xué)效果，增強學(xué)生實踐能力。

（3）綜合性。傳統(tǒng)例題和案例基本采用一對一的形式，即—個知識點對應(yīng)一個例題，非常不利于構(gòu)建體系化的知識構(gòu)架，也不利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。創(chuàng)新實踐案例應(yīng)該著重考慮實際應(yīng)用對于理論知識的多元覆蓋I生，充分引導(dǎo)學(xué)生從多角度綜合利用習(xí)得的知識分析解決問題。

（4）多樣性。離散課程中通常使用的案例都源自其在計算機體系與計算理論中的應(yīng)用，容易使學(xué)生形成離散數(shù)學(xué)應(yīng)用面狹窄單一的印象。“創(chuàng)新實踐案例”應(yīng)更多地考慮來自不同研究和應(yīng)用領(lǐng)域的題材，從而最大程度上擴展學(xué)生的視野。

（5）可操作性。理論課程教學(xué)中普遍存在的一個問題就是學(xué)生對于所學(xué)知識缺乏實踐的途徑，傳統(tǒng)的習(xí)題和考試已經(jīng)無法適應(yīng)思維日益活躍的學(xué)生的要求。案例的選取需要將前述4個特征與學(xué)生能力權(quán)衡，力圖使每個學(xué)生能夠親身參與每個案例的討論和實踐。

創(chuàng)新實踐案例的構(gòu)造是本研究的核心。一方面，案例不能脫離和改變離散數(shù)學(xué)的教學(xué)核心內(nèi)容體系；另一方面，案例又需要充分與當(dāng)前理論和應(yīng)用熱點結(jié)合，因此，可利用最新的高質(zhì)量科研論文作為案例的主要來源。實踐表明，真正高質(zhì)量的學(xué)術(shù)論文不但能很好地體現(xiàn)基本知識的運用與創(chuàng)新，同時也能在理論與應(yīng)用上為學(xué)生建立一個清晰的思維路線，是非常好的素材。用于主題案例的高水平論文一般采用綜合類刊物的文章，此類刊物的文章更加強調(diào)多學(xué)科之間的交叉思考和研究結(jié)果的普適性，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解程度。

3.基于創(chuàng)新實踐案例的教學(xué)框架

基于OBE思想，圍繞培養(yǎng)計算機學(xué)院本科畢業(yè)生就業(yè)產(chǎn)出核心競爭力的目標(biāo)進行離散數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，以教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程組織及課程考核為基礎(chǔ)內(nèi)容進行深入研究與探討，進行教師課程教學(xué)改革和學(xué)生學(xué)習(xí)方法導(dǎo)引改革，確保計算機專業(yè)學(xué)生在有效的多元化教學(xué)環(huán)境中完成離散數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)，初步具備創(chuàng)新實踐能力，經(jīng)考核合格后能對未來計算機專業(yè)課程學(xué)習(xí)和實踐進行自我指導(dǎo)和規(guī)范。

基于以上目標(biāo)，設(shè)計教學(xué)框架如圖1所示，內(nèi)容包括：①基于經(jīng)典離散數(shù)學(xué)知識體系重構(gòu)一套有效的創(chuàng)新實踐案例數(shù)據(jù)庫，顯性且有機地幫助學(xué)生構(gòu)建完整有機的離散數(shù)學(xué)知識體系；②構(gòu)建并規(guī)范離散數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式；③基于創(chuàng)新實踐案例數(shù)據(jù)庫，構(gòu)建對應(yīng)的小型課后實踐項目集合；④為離散數(shù)學(xué)提供一種全新的教學(xué)模式，實現(xiàn)理論知識和實踐能力的共同提高，并為其他理論性課程提供一個可供借鑒的模板。

4.基于創(chuàng)新實踐案例的教學(xué)組織示例

翻轉(zhuǎn)課堂是基于創(chuàng)新實踐案例教學(xué)的主要模式。翻轉(zhuǎn)課堂較傳統(tǒng)填鴨式方式要復(fù)雜得多，如何有效執(zhí)行翻轉(zhuǎn)課堂是一個難題。首先，主題案例為翻轉(zhuǎn)課堂提供了基礎(chǔ)的題材和知識構(gòu)建方式。其次，目前小班化的教學(xué)改革趨勢為翻轉(zhuǎn)課堂提供了堅實的實踐土壤。最后，教師需要在翻轉(zhuǎn)課堂的討論中充分發(fā)揮指導(dǎo)性作用，利用提問、調(diào)查、分組競賽等手段調(diào)動所有學(xué)生的積極性，確保翻轉(zhuǎn)課堂的有效執(zhí)行。其示例見表l。

課后實踐項目是培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用能力的主要途徑，其設(shè)計有一定難度。首先，項目必須足夠“切題”，它的完成須依賴于離散數(shù)學(xué)課程的主要知識，以使得課程教學(xué)大綱能夠得到充分體現(xiàn)；其次，項目必須足夠“小型”，能夠在有限的教學(xué)時間內(nèi)完成，或者讓學(xué)生在實驗課和課外自學(xué)時間內(nèi)完成，而不至于成為學(xué)生的負擔(dān)；最后，項目必須具有一定綜合性，能夠培養(yǎng)學(xué)生對知識間相互關(guān)系的深入認識，同時鍛煉綜合運用能力。以高質(zhì)量論文為核心的創(chuàng)新實踐案例為課后實踐項目提供了很好的基礎(chǔ)，通過延續(xù)論文的創(chuàng)新點，結(jié)合課程基礎(chǔ)知識點，可以很好地設(shè)計出滿足上述需求的創(chuàng)新實踐項目。其示例見表2。

基于翻轉(zhuǎn)課堂和創(chuàng)新實踐項目的教學(xué)模式，大大提高了學(xué)生參與討論、主動思考和項目執(zhí)行在課程中的比重，因此，需要依據(jù)這種教學(xué)模式的改變，探索一種新的成績評價體系。傳統(tǒng)的課堂討論和項目打分體系過度依賴教師的主觀判斷，這不利于建立良好的師生互動，可通過學(xué)生交互評價來解決這個問題。學(xué)生完成討論或項目后，要同時提交給教師和互評學(xué)生，隨后教師提供參考評分標(biāo)準，學(xué)生完成評閱并提交結(jié)果，教師對學(xué)生的評價結(jié)果進行抽查，對不認真評閱的學(xué)生適當(dāng)扣分。這樣做的好處是可以讓學(xué)生站在更高的層次來審視他人的工作，通過了解他人的編程思路、糾正他人的錯誤來實現(xiàn)再學(xué)習(xí)，更快地提升自己。