淺談高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3 次重大的飛躍：第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)?，F(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑。因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一。概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課，但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開.這些都使得學(xué)生對(duì)這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要，那我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該如何進(jìn)行實(shí)施“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)方法和策略呢？

（一）突出統(tǒng)計(jì)思維的特點(diǎn)和作用。

統(tǒng)計(jì)的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)來推測(cè)全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)。因此，統(tǒng)計(jì)結(jié)果具有隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)推斷是有可能犯錯(cuò)誤的，這一點(diǎn)與確定性思維不同。但同時(shí)，統(tǒng)計(jì)思維又是一種重要的思維方式，它和確定性思維一樣成為人們不可或缺的思想武器，由不確定的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理也是同樣有力而普遍的方法。因?yàn)樵谧匀唤缰泻腿祟愂挛镏校S機(jī)現(xiàn)象是大量存在的，概率統(tǒng)計(jì)正是對(duì)隨機(jī)變化的數(shù)學(xué)描述，它能夠幫助我們做出合理的決策，并能告訴我們犯錯(cuò)誤的概率。

統(tǒng)計(jì)教學(xué)的核心目標(biāo)正是使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維的特點(diǎn)和作用，教學(xué)中應(yīng)注重通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，為合理的決策提供一些依據(jù)，以使學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維和確定性差異。例如：在運(yùn)用樣本估計(jì)總體的教學(xué)中，應(yīng)通過對(duì)具體數(shù)據(jù)的分析，使學(xué)生體會(huì)到由于樣本抽取具有隨機(jī)性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關(guān)特征，但于總體有一定的偏差。但另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依XbJUDQezxfDSU+YQKFzFtIeYMUAbiuxBKPEJdX3CXNo=據(jù)。

（二）統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)通過案例來進(jìn)行，并要注重?cái)?shù)據(jù)的收集。

高中階段統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)通過案例的進(jìn)行，在對(duì)實(shí)際問題的分析中，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)據(jù)處理的方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法去解決簡單的實(shí)際問題，體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用以及應(yīng)用的廣泛性。同時(shí)，具體的案例也容易幫助學(xué)生理解問題和方法的實(shí)質(zhì)。

例如：對(duì)于“最小二乘法”的學(xué)習(xí)，如果直接介紹一般的最小二乘的方法，學(xué)生往往體會(huì)不到這種方法的實(shí)質(zhì)，也失去了一個(gè)分析問題、處理數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì)。教學(xué)中，可以通過一個(gè)學(xué)生感興趣的實(shí)例，比如學(xué)生身高和體重的關(guān)系，讓學(xué)生收集到的數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)到變量之間存在著線形相關(guān)關(guān)系，然后鼓勵(lì)學(xué)生自己想辦法確定一條“比較合適”的直線描述這兩個(gè)變量之間線形相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再引入最小二乘法，并給出線形回歸方程。教師平時(shí)要細(xì)心收集生活中的素材、廣泛涉獵各學(xué)科知識(shí)，更多的發(fā)動(dòng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題。

（三）重視對(duì)概率模型的理解和應(yīng)用以c3CLfVntd7mGkJsDcolbF3uvAL9CZ20pRkCzSyRNVVM=及和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合。

計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率是概率學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。對(duì)于這方面的學(xué)習(xí)，首要的是對(duì)各種概率模型的理解和應(yīng)用，而不是把精力主要放在套用公式上。教學(xué)中，應(yīng)注意使學(xué)生經(jīng)歷從多個(gè)實(shí)例中概括出具體的概率模型的過程，體會(huì)這些例子中的共同特點(diǎn)，注重理解各種概率模型的特點(diǎn)，并且在實(shí)際問題中培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別模型的能力。

概率論與我們的日常生活是緊密相連的，它的應(yīng)用性是非常廣泛的。教師在教學(xué)的過程中，除了與實(shí)際生活中的例子相結(jié)合外，也要注重與其他高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是相通的，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當(dāng)P（A） > 0時(shí)，P（B | A）未必等于P（B）.但是一旦P（B | A） =P（B），也就說明事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生.同樣當(dāng)P（B） > 0時(shí)，若P（A| B） = P（A），就稱事件B的發(fā)生不影響事件A 的發(fā)生.因此若P（A） > 0 ， P（B） > 0 ，且P（B | A） = P（B）與P（A| B） = P（A）兩個(gè)等式都成立，就意味著這兩個(gè)事件的發(fā)生與否彼此之間沒有影響.我們可以讓學(xué)生主動(dòng)思考是否能夠如下定義兩個(gè)事件的獨(dú)立性：

定義1：設(shè)A，B 是兩個(gè)隨機(jī)事件，若P（A） > 0 ，P（B） > 0，我們有P（B | A） = P（B）且P（A| B） = P（A），則稱事件A 與事件B 相互獨(dú)立.接下來，我們可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)考察定義1 中的條件P（A） > 0 與P（B） > 0 是否為本質(zhì)要求？事實(shí)上，如果P（A） > 0，P（B） > 0，我們可以得到：

P（B | A） = P（B） ？ P（AB） = P（A）P（B） ？ P（A| B） = P（A）.但是當(dāng)P（A） = 0，P（B） = 0時(shí)會(huì)是什么情況呢？由事件間的關(guān)系及概率的性質(zhì)，我們知道AB ？ A， AB ？ B，因此P（AB） = 0 = P（A）P（B），等式仍然成立。所以我們可以舍去定義1中的條件P（A） > 0，P（B） > 0，即如下定義事件的獨(dú)立性：

定義2 ： 設(shè)A ， B 為兩隨機(jī)事件， 如果等式P（AB） = P（A）P（B）成立，則稱A，B為相互獨(dú)立的事件，又稱A，B 相互獨(dú)立.很顯然，定義2 比定義1 更加簡潔.在這個(gè)定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，而且可以很好地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的美.

通過實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)史引入課堂既能讓學(xué)生深入了解隨機(jī)數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展過程，又切實(shí)感受到隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法；把案例應(yīng)用到教學(xué)當(dāng)中以及在課堂上開展隨機(jī)試驗(yàn)可以將概率論基礎(chǔ)知識(shí)直觀化，增加課程的趣味性，易于學(xué)生的理解與掌握；引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索可以強(qiáng)化教與學(xué)的互動(dòng)過程，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想來解決概率論中遇到的問題.

（作者單位：福建省龍海程溪中學(xué)）