基于CVX工具箱的自適應(yīng)波束形成實驗

王 芳, 陳 勇,， 葉志清， 萬建偉

(1. 江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院， 江西 南昌 330000 2. 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

基于CVX工具箱的自適應(yīng)波束形成實驗

王 芳1, 陳 勇1,2， 葉志清1， 萬建偉2

(1. 江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院， 江西 南昌 330000 2. 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

自適應(yīng)波束形成理論是“自適應(yīng)陣列信號處理”課程教學(xué)中的難點和重點內(nèi)容。本文以最小方差無失真波束形成(MVDR)和范數(shù)約束Capon波束形成(NCCB)為例，詳細介紹了CVX凸優(yōu)化工具箱在自適應(yīng)波束形成器設(shè)計中的應(yīng)用，并對不同快拍數(shù)情況下波束形成器的性能進行了比較與分析。實踐表明，將CVX工具箱引入到自適應(yīng)波束形成實驗中，可以使該理論教學(xué)更加直觀和易于理解。

波束形成；凸優(yōu)化；CVX工具箱；規(guī)則化程序設(shè)計

0 引言

“自適應(yīng)陣列信號處理”課程中的自適應(yīng)波束形成理論在雷達、聲納、天文、地震等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1]，它們是電子信息類高年級本科生、研究生應(yīng)該深刻理解并熟練掌握的內(nèi)容。但是自適應(yīng)波束形成理論，其推導(dǎo)繁瑣、運算量較大，涉及矩陣論、最優(yōu)化、隨機信號處理等方面的內(nèi)容，學(xué)生若缺乏相關(guān)背景知識往往不容易理解[2-4]。

CVX工具箱是美國斯坦福大學(xué)Boyd等學(xué)者開發(fā)的面向全球開放的求解凸優(yōu)化問題的工具箱[5]。與以往的最優(yōu)化工具箱如Matlab Optimization Toolbox、SeDuMi、SDPT等不同的是，CVX工具箱采用一種規(guī)則化編程語言來描述數(shù)學(xué)優(yōu)化問題[6-10]。因此，學(xué)生在使用該優(yōu)化工具箱時，只需掌握極少的編程命令即可實現(xiàn)相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題求解。將CVX工具箱引入到自適應(yīng)波束形成教學(xué)實驗中后，學(xué)生可以將主要精力放在如何理解波束形成理論的原理以及對實驗結(jié)果的分析上，對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助其更好地理解自適應(yīng)陣列信號處理理論有著很大的幫助。

1 實驗設(shè)計與實現(xiàn)

1.1 實驗內(nèi)容

考慮一個10單元標準線列陣，基陣接收噪聲為0 dB空間白噪聲，三個平面波分別從0°、20°與35°方向入射到基陣，基陣模型如圖1所示。其中來自0°方向的信號為期望信號，其他兩信號認為是干擾。假設(shè)信號、干擾與噪聲都是互不相關(guān)的高斯窄帶隨機過程。期望信號的信噪比SNR=0 dB，兩干擾的干擾噪聲比INR分別為INR=30 dB與35 dB。設(shè)計自適應(yīng)波束形成器，使得期望信號能夠無失真輸出，而干擾及噪聲的功率得到盡可能的抑制。

圖1 陣元個數(shù)為10的標準線列陣模型

1.2 原理分析

(1)

而波束形成器總的輸出功率為

P=wHRw

(2)

其中，R是樣本數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置運算。

實驗?zāi)繕耸?，在保證信號無失真輸出的條件下，盡可能地抑制干擾及噪聲的輸出功率，即相當(dāng)于在滿足式(1)的輸出信號功率Ps恒定的約束條件下，使式(2)的結(jié)果最小化，用數(shù)學(xué)表達式表述如下：

(3)

本實驗的關(guān)鍵之處在于如何求解最優(yōu)化問題。通常的做法是利用Lagrange算子方法進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但學(xué)生理解起來存在一定的困難。為了提高實驗的教學(xué)效果，本文將CVX最優(yōu)化工具箱引入到實驗教學(xué)中來。該工具箱采用規(guī)則化編程語言，在較短的時間內(nèi)學(xué)生就能夠掌握并達到熟練使用的程度，因此特別適合應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成等需要進行最優(yōu)化求解的教學(xué)實驗。

式(3)對應(yīng)的波束形成器一般被稱為最小方差無失真自適應(yīng)波束形成器(MVDR)。利用CVX工具箱對該波束形成器權(quán)值w的求解過程如圖2所示。

圖2 利用CVX求解波束形成器的權(quán)值

注意圖2中第一列數(shù)字為行號，方便對各行進行解釋。圖2中各行的具體含義如下：

(1)初始化矩陣R和向量a。本實驗中R為10×10數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，a為10×1導(dǎo)向向量。

(2)從Matlab程序運行模式切換到CVX優(yōu)化問題求解模式。

(4)最小化目標函數(shù)，本實驗是使波束形成器的輸出總功率最小。

(5)約束條件的開始標識。

(6)設(shè)置等式約束條件或不等式約束條件，本實驗中約束條件是輸出信號功率恒定為常數(shù)。

(7)優(yōu)化問題描述結(jié)束，同時CVX工具箱開始求解上述優(yōu)化問題。

(8)CVX工具箱反饋最終的求解狀態(tài)，如：已求解或無解。

從以上的分析說明可以看出，將某個最優(yōu)化問題用CVX工具箱來描述是非常容易的。需要進一步強調(diào)的是，當(dāng)自適應(yīng)波束形成器所對應(yīng)的目標函數(shù)更加復(fù)雜或者約束條件的個數(shù)增加時，CVX工具箱更能體現(xiàn)出它的優(yōu)勢。

以范數(shù)約束Capon波束形成器(NCCB)為例，為了增加波束形成器的穩(wěn)健型，它在MVDR波束形成器的基礎(chǔ)上增加了權(quán)值范數(shù)約束：

(4)

此時，依然可以利用CVX工具箱求解式(4)中的最優(yōu)化問題，其主要程序如圖3所示。

圖3 利用CVX求解NCCB波束形成器的權(quán)值

圖3中的第7行為新增約束條件，其余各行的含義與圖2相同。聯(lián)合圖2和圖3不難發(fā)現(xiàn)，CVX工具箱的應(yīng)用使得求解最優(yōu)化問題，特別是自適應(yīng)波束形成相關(guān)的最優(yōu)化問題，變得非常直觀和簡單。

為驗證實驗結(jié)果是否達到要求，還需根據(jù)已求解的波束形成器權(quán)值w，計算出波束圖p(θ)，即

p(θ)=wHa(θ),(θ)Θ

(5)

其中Θ為波束圖的方位角集合，通常取Θ=[-π/2,π/2]。通過觀察波束圖的指向性以及凹谷的位置，即可大致判斷波束形成器是否達到設(shè)計要求。

綜上所述，基于CVX工具箱的自適應(yīng)波束形成實驗的流程如圖4所示。

1.3 注意事項

(1)在實驗教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生如何將自適應(yīng)波束形成問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題。如在本實驗中，約束條件是“感興趣方位的信號能夠無失真輸出”，即wHa(θs)=1；而目標是“干擾及噪聲的功率得到盡可能的抑制”，通過分析發(fā)現(xiàn)該目標等價于“波束形成器的輸出總功率最小”，即min wHRw。

(2)CVX工具箱只能求解所謂的凸優(yōu)化問題，即目標函數(shù)是凸函數(shù)，而且約束集是凸集合。通常

圖4 自適應(yīng)波束形成器實驗流程圖

情況下，自適應(yīng)波束形成實驗中所遇到的最優(yōu)化問題一般都可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。

(3)在自適應(yīng)波束形成實驗中，應(yīng)充分利用CVX工具箱可以方便地增加或減少約束條件，甚至可以更改目標函數(shù)的優(yōu)點。通過對比不同情況下的實驗效果，更好地理解自適應(yīng)波束形成器的原理。

1.4 實驗結(jié)果

根據(jù)實驗條件，已知線列陣的陣元數(shù)M=10，當(dāng)快拍數(shù)分別為N=3M，或N=10M時，MVDR自適應(yīng)波束形成器的波束圖如圖5所示。當(dāng)理想?yún)f(xié)方差矩陣R已知(即相當(dāng)于快拍數(shù)N→∞)時，相應(yīng)的MVDR波束圖也包含在圖5中，并用實線表示。類似地，圖6顯示了NCCB自適應(yīng)波束形成器的波束圖。

觀察圖5或圖6發(fā)現(xiàn)，不論MVDR波束形成器或NCCB波束形成器，都在對應(yīng)干擾的方位角處即20°與35°方向處產(chǎn)生了明顯的凹谷，即極大地抑制了干擾的輸出；而在對應(yīng)期望信號的0°方向處，波束圖響應(yīng)恒定為0 dB，即信號能夠無失真輸出。同時還發(fā)現(xiàn)，隨著快拍數(shù)的減少，MVDR或NCCB波束形成器的波束圖的旁瓣均升高，這是因為當(dāng)快拍數(shù)較少時，對協(xié)方差矩陣的估計將出現(xiàn)誤差，從而導(dǎo)致波束形成器的性能下降。

比較圖5和圖6發(fā)現(xiàn)，在相同的條件下，NCCB波束形成器的性能明顯優(yōu)于MVDR波束形成器。其原因在于，在NCCB波束形成器中增加了對權(quán)值范數(shù)的約束，從而提高了波束形成器的穩(wěn)健性。

圖5 MVDR自適應(yīng)波束形成器的波束圖

圖6 NCCB自適應(yīng)波束形成器的波束圖

2 結(jié)語

本文以自適應(yīng)波束形成器的設(shè)計為例，詳細討論了實驗的原理、流程以及具體的注意事項，并對不同快拍數(shù)的MVDR及NCCB自適應(yīng)波束形成器的波束圖進行了比較和簡單的分析。在“自適應(yīng)陣列信號處理”課程中，通過將CVX最優(yōu)化工具箱引入到自適應(yīng)波束形成器實驗，可以極大地提高后者的可實現(xiàn)性，而且還可以加深學(xué)生對抽象理論的理解，掌握自適應(yīng)波束形成理論具體的應(yīng)用實例。

[1] Harry L. Van Trees著. 湯俊等譯. 最優(yōu)陣列處理技術(shù)[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2008.

[2] 鄢社鋒,馬遠良. 傳感器陣列波束優(yōu)化設(shè)計及應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2009.

[3] Z. Q. Luo,W. Yu. An introduction to convex optimization for communications and signal processing[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 24:1426-1438, 2006.

[4] A. B. Gershman, N. D. Sidiropoulos, S. Shahbazpanahi等. Convex OptimizationBased Beamforming[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 27:62-75, 2010.

[5] Stephen Boyd, Lieven vandenberghe著. 王書寧, 許鋆, 黃曉霖譯. 凸優(yōu)化[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2013.

[6] J. F.Sturm. Using SeDuMi 1.02, a matlab toolbox for optimization over symmetric cones[J]. Optim Methods Software, 11-12: 625-653, 1999.

[7] J. F. Sturm. SeDuMi (software package)[EB/OL]. http://sedumi.mcmaster.ca, 2008.

[8] K. C. Toh, M. J. Todd, R. H. Tutuncu. SDPT3-A matlab software package for semidefinite programming[J]. Optim Methods Software, 11-12: 545-581, 1999.

[9] K. C. Toh, M. J. Todd, R. H. Tutuncu. SDPT3 version 4.0 (beta)-A matlab software for semidefinite-quadratic-linear programming[EB/OL]. http://www.math.nus.edu.sg/-mattohkc/sdpt3.html, 2006.

[10] J. Mattingley, S. Boyd. Real-Time Convex Optimization in Signal Processing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 27:50-61, 2010.

Experiment Teaching of Adaptive Beamforming Based on CVX Toolbox

WANG Fang1, CHEN Yong1, 2, YE Zhi-qing1, WAN Jian-wei2

(1.CollegeofPhysicsandCommunicationElectronics,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330000,China2.CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

The theory of adaptive beamforming is one of the difficult and important contents in the teaching of Adaptive Array Signal Processing course. This paper takes the minimum variance distortionless response beamforming (MVDR) and norm constrained Capon beamforming (NCCB) as examples, and introduces the application of CVX convex optimization toolbox in the design of adaptive beamforming. The performance of beamformers with different number of snapshots is compared and analyzed. It is indicated that the theory of adaptive beamforming can be more intuitively and easily understood by introducing the CVX toolbox into practice teaching.

beamforming; convex optimization; CVX toolbox; disciplined programming

2015-07-22;

2015-09- 30

江西省普通本科高等學(xué)校專業(yè)綜合改革試點項目(20120129)；江西師范大學(xué)教學(xué)改革課題(2013041,2014054)。

王 芳(1982-)，女，講師，主要從事現(xiàn)代信號處理方面的研究，E-mail：juniorfang@hotmail.com 陳 勇(1981-)，男，博士生，講師，主要從事陣列信號處理方面的研究, E-mail：chenyong198178@hotmail.com

葉志清(1960-), 男，教授，主要從事現(xiàn)代通信系統(tǒng)方面的研究. E-mail：Yezhiqing2008@163.com

A

1008-0686(2016)02-0136-04

萬建偉(1964-)，男，博士，教授，主要從事現(xiàn)代信號處理方面的研究，E-mail:kermitwjw@139.com