帶電柱面外電場分布的一題四解

朱 峰， 黃 巍

(西南交通大學 電氣工程學院， 四川 成都 610031)

帶電柱面外電場分布的一題四解

朱 峰， 黃 巍

(西南交通大學 電氣工程學院， 四川 成都 610031)

訓練與提高學生運用數(shù)學分析解決問題的能力是“電磁場”課程最重要的環(huán)節(jié)之一。對于帶電柱面求解外域場分布這樣一道典型例題，本文給出四種基于不同數(shù)學角度的求解渠道。利用的數(shù)學涵蓋了微分、積分以及復變函數(shù)等，同時又能從物理的角度洞察數(shù)學，這對教師的實際教學也具有一定參考價值。

電場分布；帶電柱面；唯一性定理；復變函數(shù)

0 引言

“電磁場”是強電類的一門重要的專業(yè)基礎課，求解場分布一直是本課程教學的重要內容之一?，F(xiàn)有的相關教材中，往往為了闡明一個內容，給出一種分析[1-3]；若綜合考慮，將一個問題，通過多角度進行分析，這樣對學生能力的提高更有裨益[4-6]。文獻[7]的三種解法對學生理解高頻輻射具有很強的啟發(fā)意義。

教學不僅要使學生掌握物理知識，同時還應該提高他們綜合運用數(shù)學的能力?；谏鲜隼砟?，對于求解帶電柱面外域場分布這樣一道典型例題，本文給出四種基于不同數(shù)學角度的求解渠道，它們分別為①直接求解法；②積分求解法；③微分求解法；④等效求解法。

通過該題的求解，“舉一反四”，達到靈活綜合運用數(shù)學的目的，也可供教師教學參考[4]。

1 問題的提出

如圖1所示，設電荷均勻分布于半徑為ρ0的無限長圓柱表面，面密度為σ0，試求柱外任意點的電場分布。

圖1 帶電柱面

2 一題四解

2.1 直接法求解

對于已知電荷分布，最簡單和直接的方法就是根據(jù)面電荷分布計算場強，公式為

(1)

(2)

由于無限長線積分，在z方向上下對稱，相互抵消，積分結果為零，上式可進一步寫為

(3)

令z-z′=t，則

其中，a代表非零常數(shù)。對無窮積分限而言，變換后積分上下限不受影響，所以有

(4)

由于只是二維情形，如圖2所示。

圖2 場點(x,y)和源點(x′,y′)的位置關系

利用柱坐標表達更便于求解，所以有

(5)

為便于式(5)的積分，可以利用高等數(shù)學中的留數(shù)定理，記z=eiθ，故有

(6)

(8)

(9)

同理，有

(10)

(11)

根據(jù)式(7)、式(9)和式(11)，把p替換為ρ′/ρ，對式(5)進行進一步的化簡：

(12)

故：式(12)可化為

(13)

所以：

(14)

從以上的推導可以看出，盡管使用直接法對柱外電場分布進行求解很復雜，但能夠體現(xiàn)數(shù)學運用能力。

2.2 積分方程法求解

積分法本質上是高斯定律，以場點所在的位置圍繞軸線做高斯面，如圖1所示，由于對稱性，電場強度的方向一定沿徑向指向外，高斯面上場強幅度相同。從而我們通過高斯定律進行求解。

設圓柱外任一點距離z軸長度為ρ，高斯面的高度為l，可以得到：

(15)

(16)

該結果與直接法所得的結果式(14)完全一致。

2.3 微分方程+邊界法求解法

由于柱外無電荷分布，所以

▽2φ=0

(17)

(18)

代入得

(19)

所以

(20)

和

(21)

可見，利用微分方程+邊界條件方法所得結果式(21)與直接法式(14)、積分法式(16)的結果完全一致。

2.4 等效法求解

該處電位用φ′表示

(22)

上式中G為待定常數(shù)，與零電位的選取有關，可假設柱殼處電位為零，則G=0；在柱殼表面外法向處的電位移向量的法向

(23)

3 結語

本文通過使用四種不同的數(shù)學方法求解同一個問題，能使學生更好地體會到數(shù)學方法的本質，拓展學生理解數(shù)學、靈活運用數(shù)學分析工程電磁場的能力。盡管本文是圍繞電磁場問題展開的，但該方法對“電路分析”、“信號與系統(tǒng)”以及其他電氣類課程均有很好的借鑒意義。

[1] 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論[M].北京：高等教育出版社.2010.

[2] 雷銀照.電磁場[M].北京：高等教育出版社.2008.

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Solve One Problem with Four Solutions about Electric Field Distribution of Electrified Cylinders

ZHU Feng, HUANG Wei

(SchoolofElectricalEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China)

The training and improving the ability of students to use mathematical analysis to solve the problem is the most important part of Electromagnetic Field course. For a typical example of electrified cylinders solving outland distribution, this paper provides four channels which are based on different mathematical angles. Due to the mathematics which is used by paper covers the differential , integral calculus, complex function and so on, can also insight into math from the perspective of physical at the same time, which has an excellent reference value for the actual teaching of teachers.

electric field distribution ;charged cylinder; uniqueness theorem; complex variable function

2015-06-09;

2015-09- 23

朱 峰(1963-)，男，博士，教授，主要從事電磁理論、電磁兼容以及計算電磁學等的教學與研究工作，E-mail:zhufeng@ swjtu.cn 黃 巍(1995-)，男，本科生，研究方向是電磁場、電力牽引等，E-mail:897712633@qq.com

TM12

A

1008-0686(2016)02-0063-04