電磁波反射折射能量守恒定律推導(dǎo)及應(yīng)用

盧中昊， 尹家賢

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

電磁波反射折射能量守恒定律推導(dǎo)及應(yīng)用

盧中昊， 尹家賢

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

電磁波在均勻分區(qū)媒質(zhì)上發(fā)生折射和反射時(shí)的能量守恒定律一直是“電磁場理論”課程教學(xué)中一個(gè)缺乏充分論述且容易引起概念混淆的知識點(diǎn)。本文討論了電磁波斜入射情況下的能量守恒問題，從功率的角度推導(dǎo)了能量守恒關(guān)系式，并介紹了天線罩增益損失的分析方法，這有助于學(xué)生直觀理解和正確應(yīng)用電磁波反射折射中的能量守恒定律。

電磁場理論；能量守恒定律；天線罩

0 引言

在本科“電磁場理論”課程的教學(xué)中，講授電磁波在分區(qū)均勻媒質(zhì)交界面上傳播能量守恒定律時(shí)，大多數(shù)的教材討論了入射波、反射波和透射波功率之間的關(guān)系，所定義的分界面的功率反射系數(shù)和功率投射系數(shù)均以實(shí)際坡印廷矢量在分界面的法向上的投影為參考，得到的結(jié)論是分界面上入射、反射、透射波的平均功率密度滿足能量守恒關(guān)系[1,2]。這個(gè)結(jié)論當(dāng)然毋庸置疑，但大多數(shù)學(xué)生對此容易產(chǎn)生概念混淆，入射波、反射波和透射波有各自的傳播方向，自然，各自的坡印廷矢量方向與傳播方向一致，也是各不相同，為什么在討論能量守恒關(guān)系時(shí)一定要用各自在分界面法向的投影來考慮？如果不用投影，是不是就不能保持能量守恒關(guān)系？此外，幾乎沒有一本教科書就該部分理論的實(shí)際工程應(yīng)用進(jìn)行過舉例，使得學(xué)生弄不清楚學(xué)習(xí)該部分知識的目的。為了解決這一問題，本文以平面波為例，從功率的角度對守恒定律重新進(jìn)行推導(dǎo)，并進(jìn)一步將該理論推廣到分析天線罩增益損失的實(shí)際工程應(yīng)用上。

1 理論基礎(chǔ)

如圖1所示，兩種半無限大的媒質(zhì)交界面為z=0平面，媒質(zhì)參數(shù)分別為ε1、μ1和ε2、μ2。設(shè)入射波的入射角為θi，反射波的反射角為θr，透射波的透射角為θt，則入射波、反射波和透射波傳播方向的單位矢量分別為

(1)

(2)

(3)

根據(jù)反射定律和斯涅爾定律(Snell′sLaw)，有

(4)

圖1 電磁波在均勻媒質(zhì)交界面上傳播示意圖

假設(shè)入射波為垂直極化波，此時(shí)入射波電場只有y方向分量，即

(5)

式中，E0是入射電場的幅度。根據(jù)菲涅爾公式，垂直極化波的反射系數(shù)?！秃屯干湎禂?shù)T⊥為

(6)

(7)

式中η1和η2分別是媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的固有波阻抗。由反射系數(shù)和透射系數(shù)我們得到反射波和透射波的電場為

(8)

(9)

根據(jù)坡印廷定理和平面波中電場、磁場及傳播常數(shù)三者之間的關(guān)系，我們得到入射波、反射波和透射波的坡印廷矢量為

(10)

(11)

(12)

從總的數(shù)值來說

(13)

因此，入射波的功率密度并不等于反射波和透射波的功率密度之和。

在z方向，入射波、反射波和透射波的功率密度分別為

(14)

(15)

(16)

這時(shí)，z方向的反射波和透射波能流密度之和為

(17)

所以有

(18)

式(18)就是z方向功率密度守恒的結(jié)論。

2 能量守恒定律的新推導(dǎo)

上一節(jié)從功率密度的角度推導(dǎo)了能量守恒定律，該方法也是大部分教材采用的推導(dǎo)方法。事實(shí)上，這一推導(dǎo)方法極易誤導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生直觀地產(chǎn)生錯(cuò)誤理解，認(rèn)為能量僅在z方向守恒，而在其他方向不守恒。為了消除這一誤解，必須從功率的角度對能量守恒定律進(jìn)行推導(dǎo)。

圖2 電磁波在均勻媒質(zhì)交界面上能量傳輸

為了方便理解，借鑒能流管的形式[3-5]，將入射波、反射波和折射波想象成在管道內(nèi)均勻流動(dòng)，在分界面上取一面積A，當(dāng)入射波投射到這塊面積的功率等于反射波從這塊面積的反射功率和透射波從這塊面積透射出去的功率之和時(shí)，可認(rèn)為滿足能量守恒定律。

下面進(jìn)行具體證明，由功率和功率密度的關(guān)系可知，入射波、反射波和透射波投射到這塊面積的功率分別為

(19)

(20)

(21)

式中，A1是入射波能量管的橫截面積，A2是透射波能量管的橫截面積。將式(10)-(12)代入式(19)-(21)，并令M=|E0|2/2，N=1/(η2cosθi+η1cosθt)2，則有

(22)

(23)

(24)

令P=Pr+Pt，代入式(23)和式(24)，則有

(25)

式(25)證明了入射波投射到這塊面積的功率等于這塊面積上反射波和透射波的功率之和，即滿足了能量守恒定律。通過這個(gè)推導(dǎo)方法，使學(xué)生能夠直觀準(zhǔn)確地把握能量守恒定律。

3 能量守恒關(guān)系的工程應(yīng)用案例

大部分教科書都沒有結(jié)合實(shí)際工程應(yīng)用來說明學(xué)習(xí)能量守恒定律的目的，本節(jié)以天線罩的增益損失分析應(yīng)用為例，來說明能量守恒定律相關(guān)知識是如何應(yīng)用到科研工作中的。天線罩的結(jié)構(gòu)如圖3(a)所示。

(b)等效電路圖3 夾層天線罩

天線罩的反射會(huì)引起傳輸損耗，從而影響天線增益。假設(shè)所有材料為無耗材料，根據(jù)相位匹配原理，平面波透過天線罩后的透射角與平面波從空氣中的入射角是相同的，假設(shè)入射波的電場幅度為E0，入射角為θ0，反射系數(shù)為Γ，透射系數(shù)為T，可分別得出投影到入射區(qū)域面上的入射功率密度、反射功率密度和透射功率密度分別為

(26)

(27)

(28)

由能量守恒定律有

Si=Sr+St

(29)

由此可得

(30)

最后可得入射波與透射波的功率密度之比為

(31)

于是，可以計(jì)算出天線罩的增益損失(分貝數(shù)表示)：

(32)

從上述推導(dǎo)可以看出，增益損失最終由反射系數(shù)決定。為了快速簡便求取反射系數(shù)，可將電磁波通過天線罩輻射等效為如圖3(b)所示的傳輸線模型，即把特定坐標(biāo)系下，以波矢量為特征的平面波投射到交界面時(shí)，與z垂直的橫向電場、磁場沿z軸的傳播與級聯(lián)傳輸線上電壓、電流波的傳播等效。因此可求得各分界面上的輸入阻抗如下：

(34)

(35)

(36)

式中，Zci(i=1,2,3):天線罩各層媒質(zhì)的特性阻抗，βi=(i=1,2,3):天線罩各層媒質(zhì)的傳播常數(shù)，li(i=1,2,3)：天線罩各層媒質(zhì)的厚度。于是，反射系數(shù)Γ最終可表達(dá)為

(37)

假設(shè)天線罩各層材料的參數(shù)如表2所示，圖4為平面波入射角為30°平面波透過天線罩的功率密度損失。功率損失密度與入射角和頻率均有關(guān)系，

天線罩存在最佳的透波頻率點(diǎn)，當(dāng)平面波斜入射時(shí)，若保持最佳的的透波頻率點(diǎn)不變，這時(shí)天線罩要加厚，這與天線罩的分析是一致的。

表2 天線罩參數(shù)

圖4 平面波透過天線罩的功率損失

4 結(jié)語

本文從功率的角度直觀地推導(dǎo)了電磁波在均勻分區(qū)媒質(zhì)上傳播能量守恒定律，得到了能量守恒關(guān)系式，有助于學(xué)生深入能量守恒關(guān)系的本質(zhì)。利用能量守恒關(guān)系分析天線罩的增益損失，使學(xué)生能夠明白知識點(diǎn)在實(shí)際工程中的應(yīng)用，由此能夠靈活運(yùn)用能量守恒關(guān)系。

[1] 毛鈞杰, 劉熒, 朱建清. 電磁場與微波工程基礎(chǔ)[M],北京:電子工業(yè)出版社, 2004

[2] 鐘順時(shí). 電磁場基礎(chǔ)[M], 北京:清華大學(xué)出版社, 2006

[3] 郭琳, 張明, 洪偉. 電磁場教學(xué)中的電磁波斜入射問題討論[J], 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 21(4):22-24

[4] 杜曉燕, 楊明珊, 安娜． 關(guān)于坡印廷矢量教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J], 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 34(6):118-120

[5] 張建華, 黃治. 電磁波反射折射中能量守恒關(guān)系的分析[J], 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 36(1):31-34

The Derivation and Application of Energy Conservation Law in Electromagnetic Wave Reflection and Refraction

LU Zhong-hao, YIN Jia-xian

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

The law of energy conservation of electromagnetic wave refraction and reflection in the uniform partition medium is a easily confused knowledge point which has been a lack of adequate instructions in Electromagnetic Field Theory course. In this paper, the problem of energy conservation in the condition of electromagnetic wave oblique incident is discussed, energy conservation equation is deduced from the aspects of power, and the analysis method of the radome gain loss is introduced. All of these can help students intuitive understanding and correct application of the energy conservation law of the electromagnetic wave reflection and refraction.

electromagnetic field theory; law of energy conservation; antenna cover

2015-05-22;

2015-11- 16

盧中昊(1983-)，男，博士，講師，主要從事電磁場與微波技術(shù)教學(xué)工作，E-mail：luzhnudt@163.com

G643

A

1008-0686(2016)02-0056-04