一類G1連續(xù)的空間五次PH曲線

彭豐富，劉 惠

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

一類G1連續(xù)的空間五次PH曲線

彭豐富，劉 惠

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

為了構(gòu)造空間五次Pythagorean-hodograph G1連續(xù)曲線，對離散數(shù)據(jù)進行G1Hermite插值，給出一種基于空間PH曲線充分必要條件的構(gòu)造方法。從曲線的導(dǎo)矢出發(fā)，比對四次導(dǎo)函數(shù)和五次Bézier曲線的四次導(dǎo)函數(shù)在Bernstein基下的系數(shù)，組成等式，并與五次Bézier曲線導(dǎo)函數(shù)在Bernstein基函數(shù)下的系數(shù)和曲線控制多邊形頂點的關(guān)系組成方程組。通過求解方程組可構(gòu)造出一段滿足端點及其導(dǎo)矢方向條件且G1連續(xù)的PH曲線，并給出數(shù)值實例。此構(gòu)造方法直觀，有多個自由參數(shù)可對曲線進行形狀控制。數(shù)值實驗證明，對給定空間數(shù)據(jù)點插值效果較好。

PH空間曲線；G1Hermite插值；Bézier曲線；Bernstein基函數(shù)

1990年Farouki等首次提出了一類特殊的平面多項式曲線，簡稱為PH(Pythagorean-hodograph)曲線，開辟了有理表示精確研究的先河。這類曲線的一個突出特點是切線的模長為多項式，因此，這類曲線具有精確的有理等距曲線，且弧長為多項式。1994年Farouki等[1]定義并研究了空間PH曲線，平面與空間PH曲線的定義有完全不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在實際應(yīng)用過程中，需要利用Hermite(簡稱H)插值，對已知有序離散點列的兩端點位矢、單位切矢或有向曲率作插值來構(gòu)造PH曲線。對于離散數(shù)據(jù)的插值，PH曲線往往產(chǎn)生比經(jīng)典多項式曲線更光順的軌跡曲線。因此，對PH曲線生成方法的研究成為一大熱點。而相對于國外，國內(nèi)對空間PH曲線的研究相對較少。2002年李勝軍[2]研究了平面三次PH曲線G1H插值問題的算法，得出四次PH曲線的一階H插值的解，給出構(gòu)成五次PH曲線的充要條件，分析其控制多邊形的幾何意義，并利用空間三次PH曲線構(gòu)造掃曲面和管道面。同年Farouki等[3]給出空間五次PH曲線的C1H插值算法。2005年P(guān)ELOSI等[4]提出了空間三次PH曲線的G1連續(xù)插值算法。而Juttler[5-6]從幾何角度分別給出了空間分段三次PH曲線G1連續(xù)插值算法與平面七次PH曲線的G2H插值算法，該方法適合于逼近能夠計算出切向、曲率的非PH曲線。2008年Kim等[7]研究了一些由平面到空間的多項式(或有理)映射，此映射保留了畢達哥拉斯矢端曲線的性質(zhì)，即將PH曲線映射到PH曲線，并定義了升階PH保留映射。因此，可以應(yīng)用已知的平面PH多項式曲線的C1H數(shù)據(jù)和一些合適的升階PH保留映射，解決空間PH多項式曲線的C1H插值問題。FAROUKI等[8]分析了空間PH三次Hermite插值問題，并給出解存在的充要條件，以四元數(shù)模型為基礎(chǔ)，用一種比在以前場合下更幾何的形式，介紹了空間PH五次Hermite插值問題。同時分析了空間五次PH曲線的弧長，給出選擇PH五次Hermite插值的2個自由參數(shù)的4個標準。2014年Huard等[9]研究從離散的傳感器數(shù)據(jù)中重建空間曲線，提供了2種C2PH五次樣條插值方法，這2種方法都服從每個樣條段有規(guī)定弧長的限制進行插值，第一種方法是關(guān)于一系列點的插值，第二種方法主要是針對導(dǎo)數(shù)的插值。

為此，基于空間PH曲線的充要條件，用G1H插值對離散的已知型值點列及其端點位矢構(gòu)造G1連續(xù)的空間五次PH曲線，給出了另一種五次PH曲線的生成方法，并給出了應(yīng)用實例。

1 空間PH曲線

r(t)為空間Pythagorean-hodograph曲線，其定義為：對一條空間多項式參數(shù)曲線

r(t)=(x(t),y(t),z(t))T,

(1)

存在一個多項式σ(t)，使得

x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)=σ2(t)。

(2)

定理1[9]空間參數(shù)曲線式(1)為PH曲線，當且僅當存在4個多項式u(t)、v(t)、p(t)、q(t)，使

(3)

以及參數(shù)速度

σ(t)=u2(t)+v2(t)+p2(t)+q2(t),

(4)

2 空間PH曲線的生成

因PH曲線為多項式曲線，可改寫成以Bernstein基函數(shù)為基的Bézier形式，則對于空間PH曲線，只需確定其空間控制多邊形頂點，即可生成所需曲線。如何構(gòu)造基于PH曲線充要條件滿足初始條件的空間五次PH曲線為研究的關(guān)鍵。

設(shè)空間五次Bézier曲線為

(5)

其中：pi(i=0,1,…,5)為空間曲線控制多邊形頂點；B5,i(t)(i=0,1,…,5)為五次Bernstein基函數(shù)。對式(5)求導(dǎo)，

記

此時，對一組給定的型值點，若能確定a、b、c、d、e的值，則可生成空間五次PH曲線：

對于空間五次PH曲線，定理1中的4個多項式u(t)、v(t)、p(t)、q(t)均為二次的，分別設(shè)其為二次Bézier形式：

(8)

其中ai、bi、ci、di(i=0,1,2)均為未知參數(shù)。將式(8)代入式(3)組成空間五次PH曲線的導(dǎo)函數(shù)向量r′(t)，并進行形式整理。使Bézier形式導(dǎo)函數(shù)式(6)與此導(dǎo)函數(shù)向量相等，分別比較B4,i(t) , i=0,1,2,3,4，五個Bernstein基函數(shù)的向量型系數(shù)可得方程組：

(9)

其中：

此時方程組(9)并不一定有解。

現(xiàn)對空間任意已知兩型值點Pi、Pj及其切矢方向Ti、Tj進行G1H插值，構(gòu)造一段空間五次PH曲線。取p0=Pi，m1=Ti+p0，p5=Pj，m4=Tj+p5均為已知量，令

(10)

其中α、β、ω為自由參數(shù)，可以先給定或作為形狀控制因子，λ1、λ2、λ3為未知參數(shù)。將式(9)與式(10)聯(lián)合組成新的方程組，共組成15個標量方程組，解出λ1、λ2、λ3及ai、bi、ci、di(i=0,1,2)在內(nèi)的15個未知參數(shù)。則可生成一條滿足端點及其導(dǎo)矢方向的空間五次PH曲線。曲線生成方法算法：

1)輸入有序點Pi、Pj，對應(yīng)的導(dǎo)矢Ti、Tj，形狀控制因子α、β、ω及矩陣 Mi(i=1,2,3,4,5)；

2)計算p0=Pi，m1=Ti+p0，p5=Pj，m4=Tj+p5，a=αTi，e=βTj及ω(m4-p1)；

3)由式(9)與式(10)合并組成方程組，并求解方程組2)，解出λ1、λ2、λ3的解；

4)由式(10)輸出a、b、c、d的值；

5)生成空間五次PH曲線的表達式(7)。

3 數(shù)值實例

從球面上的一條曲線r=(x,y,z)Τ上取7個點，并給定7個點及其導(dǎo)矢如表1和圖1所示。

表1 7個點的數(shù)據(jù)

圖1 球面所取空間曲線Fig.1 Spatial curve from a spherical surface

對這7個有序點列進行逐段C1連續(xù)G1H插值構(gòu)造空間五次PH曲線，如圖2所示。

圖2 空間五次PH曲線Fig.2 Spatial quintic PH curve

實例中自由選取的3個自由參數(shù)α、β、ω，對第一段2個點插值取α=0.25、ω=-0.05、β=0.05，對于此后的各點段插值均取α=0.05、ω=0.15、β=0.05。這樣保證了整個曲線不僅是G1連續(xù)，更是C1連續(xù)的。

4 結(jié)束語

對于離散的有序型值點列及其導(dǎo)矢，給出了經(jīng)過已知離散點列，且G1連續(xù)的空間五次PH曲線的一種構(gòu)造方法。此方法是在保證空間PH曲線充要條件的基礎(chǔ)上，研究空間五次多項式曲線導(dǎo)函數(shù)在Bézier形式下的Bernstein基函數(shù)的向量型系數(shù)滿足的條件，以及系數(shù)與曲線控制點之間的關(guān)系，通過組成方程組進行求解，帶有幾個可自由變動的參數(shù)可以控制曲線形狀。今后的工作可以運用此方法對離散數(shù)據(jù)進行擬合，也可加上弧長作為約束條件，或許會有不一樣的效果，并可進一步研究空間PH曲線的性質(zhì)。

[1] FAROUKI R T,SAKKALIS T.Pythagorean-hodograph space[J].Advances in Computational Mathematics,1994,2:41-66.

[2] 李勝軍.PH曲線的研究及其應(yīng)用[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2002.

[3] FAROUKI R T,KANDARI M A,SAKKALIS T.Hermite interpolation by rotation-invariant spatial Pythagorean-Hodograph curves[J].Advnaces in Computational Mathematics，2002,17(4):369-383.

[4] PELOSI F,FAROUKI R T,MANNI C,et al.Geometric Hermite interpolation by spatial Pythagorean-Hodograph cubics[J].Advnaces in Computational Mathematics,2005,22(4):325-352.

[5] JUTTLER B,MAURER C.Cubic Pythagorean Hodograph spline cuvres and applications to sweep surface modeling [J].Computer Aided Design,1999,31(1):73-83.

[6] JUTTLER B.Hermite interpolation by Pythagorean Hodograph curves of degree seven[J].Mathematics of Computation,2000,70(235):1089-1111.

[7] KIM G I,LEE S.Pythagorean-hodograph preserving mappings[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,216(1):217-226.

[8] FAROUKI R T,GIANNELLI C,MANNI C,et al.Identification of spatial PH quintic Hermite interpolants with near-optimal shape measures[J].Computer Aided Geometric Design,2008,25(4-5):274-297.

[9] HUARD M,FAROUKI R T,SPRYNSKI N,et al.C2interpolation of spatial data subject to arc-length constraints using Pythagorean-hodograph quintic splines[J].Graphical Models,2014,76(1):30-42.

編輯：梁王歡

A G1-continuity spatial quintic PH curve

PENG Fengfu, LIU Hui

(School of Mathematics and Computing Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

To construct G1continuity spatial quintic Pythagorean-hodograph curve. Interpolating given spatial discrete data with G1Hermite，a method，based on the sufficient and necessary conditions of PH space curve，is given. Starting from the derived vectors of a curve，we compare with the vector coefficients of the front quartic derived functions and the quartic derived vector of a quintic Bézier space curve under Bernstein basis to compose a system of equations，then compose a bigger system of equations with the relationships of the coefficients of the latter quartic derived function under Bernstein basis with the points of curve’s control polygon . Next solving these equations，We can construct a G1continuity spatial quintic Pythagorean-hodograph curve，that satisfies the given endpoint and derived vector，according to G1Hermite interpolation，and a numerical example is presented. This construction method is intuitive，it includes multiple free parameters to control the shape of curve，and it works well to interpolate the space data points with some numerical experiments.

PH spatial curve; G1Hermite interpolation; Bézier curve; Bernstein basis function

2016-04-14

廣西自然科學(xué)基金(2015GXNSFAA139014)

彭豐富(1972-)，男，湖南雙峰，副教授，博士，研究方向為計算機輔助幾何設(shè)計。E-mail：pengfengfu@aliyun.com

彭豐富，劉惠.一類G1連續(xù)的空間五次PH曲線[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報，2016,36(6)：504-507.

TP391.7

A

1673-808X(2016)06-0504-04