蹺蹺板系統(tǒng)的模糊控制策略研究

張 卓， 張井崗

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

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蹺蹺板系統(tǒng)的模糊控制策略研究

張 卓， 張井崗

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

針對蹺蹺板系統(tǒng)具有的高階次、非線性、多變量等特性，提出了基于融合函數(shù)的模糊控制算法。根據(jù)最優(yōu)控制理論計算出能使系統(tǒng)穩(wěn)定的反饋增益矩陣，再構(gòu)建融合函數(shù)，以此減少模糊控制器的輸入維數(shù)，解決了模糊控制算法應(yīng)用于多變量系統(tǒng)中易出現(xiàn)的“規(guī)則爆炸”問題。仿真和實驗結(jié)果均表明，所設(shè)計的控制器可有效實現(xiàn)對蹺蹺板的平衡控制。

蹺蹺板；模糊控制；融合函數(shù)

蹺蹺板系統(tǒng)是一個典型的實驗教學(xué)裝置，作為實驗裝置，它結(jié)構(gòu)簡單，便于操作，形象直觀；作為被控對象，它具有高階次、非線性、不穩(wěn)定、強(qiáng)耦合、多變量等特性，可以用來檢驗控制算法對非線性，高階次復(fù)雜系統(tǒng)的處理能力；另外作為模擬裝置，蹺蹺板的平衡控制與獨(dú)輪小車的直立行走、飛行器控制姿態(tài)調(diào)整及火箭發(fā)射中的垂直度控制等均有很大的相似性，因此對蹺蹺板系統(tǒng)的研究有重要的理論價值和實際意義。

針對蹺蹺板系統(tǒng)，近年來國內(nèi)外學(xué)者提出了多種先進(jìn)控制策略。牛宏俠[1]依據(jù)在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近得到的線性化模型，采用狀態(tài)反饋控制策略，配置一組期望的極點(diǎn)，使蹺蹺板系統(tǒng)動態(tài)性能達(dá)到穩(wěn)定要求，仿真結(jié)果表明該方法切實可行，但僅僅是一種線性控制方法，不能夠解決系統(tǒng)中的非線性問題；Jonqlan Lin[2]將模糊控制這一智能控制方法應(yīng)用到控制蹺蹺板系統(tǒng)，同時為解決模糊控制算法應(yīng)用于多變量系統(tǒng)時易存在的“規(guī)則爆炸”的問題，提出了將系統(tǒng)控制任務(wù)分解，設(shè)計兩個模糊控制器，分別用來控制蹺蹺板系統(tǒng)的傾斜角度和小車位移，然后用一個模糊協(xié)調(diào)補(bǔ)償器來協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)的控制作用；文獻(xiàn)[3]提出了一種模糊滑模控制器的設(shè)計方法，利用滑模切換平面及其導(dǎo)數(shù)作為模糊控制器的輸入，模糊控制器的輸出作為系統(tǒng)的控制量，該方法同樣解決了模糊控制應(yīng)用于高階多變量系統(tǒng)過程中存在的“ 規(guī)則爆炸” 的問題，但是設(shè)計過程復(fù)雜。

本文根據(jù)拉格朗日方程建立蹺蹺板系統(tǒng)的動力學(xué)模型，設(shè)計了基于融合函數(shù)的模糊控制器，解決了模糊控制算法應(yīng)用于多變量系統(tǒng)易出現(xiàn)的“規(guī)則爆炸”問題，并實現(xiàn)了對蹺蹺板系統(tǒng)的平衡控制。

1 蹺蹺板系統(tǒng)的描述與建模

蹺蹺板系統(tǒng)主要由一部小車、一個電機(jī)、兩個分別用于測量蹺蹺板角度和小車位置信息的編碼器以及蹺蹺板倒三角體組成，其平衡機(jī)制是利用伺服電機(jī)驅(qū)動小車在蹺蹺板上來回移動形成反力矩，使蹺蹺板倒三角體達(dá)到平衡。為減小建模難度，可以忽略空氣阻力及細(xì)小摩擦力，將蹺蹺板系統(tǒng)抽象成如圖2所示，僅由質(zhì)點(diǎn)小車和勻質(zhì)倒三角體兩部分組成的模型。

為方便對蹺蹺板系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，可根據(jù)拉格朗日方程建立蹺蹺板系統(tǒng)的動力學(xué)模型。定義系統(tǒng)的兩個廣義坐標(biāo)為小車位移xc和蹺蹺板傾角θ，則系統(tǒng)拉格朗日方程為：

圖1 小車蹺蹺板模型

Fig.1 The model of seesaw system

(1)

(2)

其中L為拉格朗日算子:

L=TT-VT

(3)

在忽略系統(tǒng)細(xì)小摩擦力的情況下，系統(tǒng)廣義坐標(biāo)xc有系統(tǒng)控制輸入力Fc作用，廣義坐標(biāo)θ沒有外力作用，即：

(4)

系統(tǒng)總動能:

(5)

系統(tǒng)總勢能：

VT=g(MCDTcos(θ(t))+

Mcxc(t)sin(θ(t))+MswDccos(θ(t))

(6)

將式(3)-式(7)代入拉格朗日方程組(1)、(2)可得 :

(7)

g(-McDTsin(θ(t))-MswDcsin(θ(t)) = 0

(8)

整理并在系統(tǒng)平衡點(diǎn)線性化后可得：

(9)

(10)

(11)

其中

A=

分析可知，蹺蹺板系統(tǒng)的線性化模型是一個單輸入多輸出的高階系統(tǒng)。本文控制目標(biāo)是設(shè)計控制器使系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，即狀態(tài)xT=(0,0,0,0).

2 基于融合函數(shù)的模糊控制策略

由方程(14)可知，蹺蹺板系統(tǒng)是蘊(yùn)含4個狀態(tài)變量的單輸入系統(tǒng)，若采用單級模糊控制策略，即使每個變量的論域僅作五個模糊集的劃分，完備的推理規(guī)則庫也將包括54=625個推理規(guī)則，建立這樣一個規(guī)則庫無疑是困難的。若采用一個簡單的控制策略嵌套，如式(12)所示：

(12)

即先利用F1()對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行初步處理，再用F2()根據(jù)前級算法的輸出對系統(tǒng)進(jìn)行控制。若F1()能夠利用狀態(tài)變量的內(nèi)在相關(guān)性，使其輸出維數(shù)小于X的維數(shù)，則算法F2()要完成的工作將得到簡化。F1()因其功能也可稱為融合函數(shù)。

本文首先利用融合函數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行處理，得到系統(tǒng)綜合誤差E和綜合誤差變化率EC，再將E、EC作為模糊控制器的輸入。這樣僅需設(shè)計一個二維輸入的模糊控制器，原理如圖3所示。

圖2 基于融合函數(shù)的模糊控制示意圖

Fig.2 Schematic of the fuzzy controller based on fusion function

2.1 構(gòu)造融合函數(shù)

可根據(jù)最優(yōu)控制理論得到一組能夠使系統(tǒng)線性化模型穩(wěn)定的反饋矩陣K.

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如式15所示，設(shè)二次型性能指標(biāo)為

(13)

其中:Q和R矩陣分別是衡量誤差分量和控制分量的加權(quán)矩陣，可靈活選取。

根據(jù)最優(yōu)控制理論，使二次型性能指標(biāo)J為最小的控制律：

u=-R-1BTPx=-Kx

(14)

其中P為Riccati方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(15)

的解，通過求解Riccati方程即可得到矩陣P,進(jìn)而得到反饋增益矩陣：

(16)

根據(jù)反饋增益矩陣構(gòu)造融合函數(shù)：

(17)

將系統(tǒng)變量降維得到綜合誤差E和綜合誤差變化率EC.

(18)

2.2 設(shè)計模糊控制器

將通過融合函數(shù)得到的綜合誤差E和綜合誤差變化率EC作為模糊控制器輸入,設(shè)計一個二維輸入的模糊控制器，具體過程如下。

1) 確定隸屬度函數(shù)。如圖4所示,模糊控制器輸入、輸出變量論域范圍均取為[-30，30]，采用三角形、全交迭、均勻分布的隸屬函數(shù)，每個變量定義5個模糊子集：NL、NS、Z、PS、PL.

圖3 隸屬函數(shù)

Fig.3 Membership function

2)制定模糊控制規(guī)則庫。模糊控制規(guī)則表如表1所示。

3)解模糊。本文采用重心法解模糊。

4)確定量化因子和比例因子。本文分別用Ke、Kec和Ku來表示模糊控制器的量化因子和比例因子，可根據(jù)小車蹺蹺板系統(tǒng)實際情況和模糊控制器論域轉(zhuǎn)化規(guī)律，初步粗略估算出Ke、Kec、Ku，再根據(jù)實驗結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化調(diào)節(jié)。

表1 模糊控制規(guī)則表

Tab.1 Fuzzy control rules

EDEPLPSZNSNLPLNLNLNLNLNLPSNLNLNLPSPLZNLNSZPSPLNSNLNSPSPSPLNLPLPLPLPLPL

3 仿真及實驗結(jié)果

為驗證所設(shè)計控制器的有效性，本文將依托由加拿大Quanser公司生產(chǎn)的蹺蹺板系統(tǒng)在Matlab/Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真研究，并進(jìn)行實時控制實驗。蹺蹺板系統(tǒng)主要由工控機(jī)、Q8板卡小車、UPM2405功率放大器和蹺蹺板本體幾部分組成。工作時，系統(tǒng)控制器Q8板卡將編碼器采集的系統(tǒng)狀態(tài)信息進(jìn)行分析處理，輸出控制信號，經(jīng)功率放大器放大后驅(qū)動伺服電機(jī)帶動小車在蹺蹺板倒三角體上運(yùn)動，實現(xiàn)對蹺蹺板系統(tǒng)的平衡控制。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖和實物圖分別如圖4、圖5所示。

圖4 蹺蹺板系統(tǒng)框圖

Fig.4 The block diagram of seesaw system

圖5 蹺蹺板系通實物圖

Fig.5 Object picture of seesaw system

小車蹺蹺板系統(tǒng)參數(shù)如表2所示：

表2 小車蹺蹺板參數(shù)

將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程矩陣可得：

A=

(19)

(20)

系統(tǒng)的特征方程為det(λI -A)=0，經(jīng)計算，系統(tǒng)的特征根為2.891 8，-1.255 9，-1.781 7，-21.460 9，系統(tǒng)有一個特征根在復(fù)頻域的右半平面內(nèi)，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)能控矩陣為M=[BABA2BA3B],rank(M)=4，因此系統(tǒng)是可控的。

應(yīng)用上節(jié)所設(shè)計的模糊控制器，根據(jù)LQR控制理論，針對蹺蹺板系統(tǒng)，選取Q=diag(1000 5000 0 0)、R=0.5，使用Matlab中的lqr( )函數(shù)求得能使蹺蹺板系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋矩陣:

[167.441 8-187.939 515.183 2-59.660 4]

(21)

根據(jù)式(20)得到融合函數(shù):

(22)

3.1 仿真實驗

在Matlab/Simulink環(huán)境下，實現(xiàn)對蹺蹺板系統(tǒng)平衡控制的模糊控制仿真。設(shè)系統(tǒng)初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，xc=0.5,θ=0.15.仿真結(jié)果如圖6(a) 、(b)所示。為檢驗所設(shè)計控制器的魯棒性，在系統(tǒng)其它參數(shù)不變的情況下，改變小車質(zhì)量Mc=0.7 kg，在同樣的初始條件下系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖6(c) 、(d)所示。

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)曲線

Fig.6 Response curves of the system

仿真結(jié)果表明：基于融合函數(shù)的模糊控制器在改變小車質(zhì)量前后都能實現(xiàn)對蹺蹺板的平衡控制，整個過程響應(yīng)速度快，超調(diào)小，并且控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。

3.2 實時控制實驗

結(jié)合Quanser公司提供的蹺蹺板軟、硬件系統(tǒng)，首先在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖，如圖7所示，通過Real-time workshop轉(zhuǎn)換成c語言代碼，再編譯成可由wincon執(zhí)行的wcl文件進(jìn)行實時控制。系統(tǒng)狀態(tài)變量實時響應(yīng)曲線可以在wincon scopes中顯示和觀察。

受實驗設(shè)備功能限制，進(jìn)行實時控制實驗時，需先將蹺蹺板置于平衡位置，運(yùn)行控制算法使系統(tǒng)保持在平衡位置；之后可在蹺蹺板兩側(cè)施加擾動(可用手輕按蹺蹺板臂)使其傾斜一定角度來檢驗控制器性能。系統(tǒng)的小車位移和蹺蹺板傾角響應(yīng)曲線如圖8所示。其中圖(a)、(b)為當(dāng)小車質(zhì)量Mc=0.57 kg時系統(tǒng)響應(yīng)曲線，圖(c)、(d)為當(dāng)在小車上添加一個約0.13 kg的配重后的系統(tǒng)響應(yīng)曲線。

圖7 蹺蹺板實時控制框圖

Fig.7 Diagram of seesaw real-time control

實時控制結(jié)果同樣表明，本文設(shè)計的控制器能有效實現(xiàn)對蹺蹺板的平衡控制，在受到外界擾動后，系統(tǒng)能在3～5 s內(nèi)復(fù)到平衡位置，系統(tǒng)反應(yīng)速度快、超調(diào)小，并且對小車質(zhì)量等系統(tǒng)建模不確定性等具有良好的魯棒性。

圖8 實時控制響應(yīng)曲線

Fig.8 Response curves of real-time control

4 結(jié)束語

本文針對蹺蹺板系統(tǒng)，根據(jù)拉格朗日方程建立其動力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了基于融合函數(shù)的模糊控制器。該方法能夠有效減少模糊控制器的輸入維數(shù)，解決了模糊控制算法應(yīng)用于多變量系統(tǒng)時易出現(xiàn)的“規(guī)則爆炸”問題，仿真和實驗結(jié)果都驗證了控制器的有效性，但是在設(shè)定模糊規(guī)則時，還需一步一步試湊，易受設(shè)計人員經(jīng)驗和認(rèn)知水平限制，如何方便合理的設(shè)計模糊控制規(guī)則，值得進(jìn)一步進(jìn)行研究。

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A Fuzzy Control Method for Seesaw System

ZHANG Zhuo, ZHANG Jing-gang

(School of Electronic Information Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

In view of the seesaw system with the higher-order, multivariable, no-linear characteristics, a fuzzy control method was proposed based on the fusion function. According to the optimal control theory, a feedback gain matrix was obtained, and then a fusion function was built to reduce the input dimension of fuzzy controller efficiently. The rule explosion problem was finally resolved. Both the simulation and experimental results showed that this method could make the seesaw system stable efficiently.

seesaw, fuzzy control, fusion function

1673-2057(2016)06-0447-07

2016-01-24

張卓(1987-)，男，碩士研究生，主要研究方向為計算機(jī)測控系統(tǒng)裝置。

TP273

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.06.006