步長因子對最小均方誤差自適應(yīng)濾波效果影響的研究

徐奔奔， 周芝峰， 楊恩星， 霍文明

1. 上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院 上海 200230 2. 上海電氣輸配電集團(tuán) 技術(shù)中心 上海 200042

步長因子對最小均方誤差自適應(yīng)濾波效果影響的研究

徐奔奔1， 周芝峰1， 楊恩星2， 霍文明1

1. 上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院 上海 200230 2. 上海電氣輸配電集團(tuán) 技術(shù)中心 上海 200042

自適應(yīng)濾波器憑借其優(yōu)越的性能，在微電子、自控、信號處理等諸多領(lǐng)域逐漸得到廣泛應(yīng)用。介紹了自適應(yīng)濾波原理、自適應(yīng)濾波算法，論述了步長因子對最小均方誤差(LMS)自適應(yīng)濾波效果的影響，借助MATLAB Simulink對被隨機(jī)干擾的周期信號進(jìn)行仿真研究，分析了步長因子對LMS算法收斂速度、濾波過程及輸出信號穩(wěn)態(tài)失調(diào)的影響。

步長因子； 最小均方誤差； 自適應(yīng)濾波器

與其它濾波方法相比，自適應(yīng)濾波具有更強(qiáng)的適應(yīng)性、更優(yōu)的濾波性能，被認(rèn)為是近年來最好的濾波方法，自適應(yīng)濾波技術(shù)在微電子、自動(dòng)控制、信號處理等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。在信息處理過程中，不確定性干擾信號客觀上會以不確定的方式對信息處理產(chǎn)生影響。針對這一問題，研究一種排除干擾信號的方法，使濾波器的輸出信號滿足或大致滿足某一規(guī)定的特性指標(biāo)，是研究自適應(yīng)濾波器的主要任務(wù)之一。這其中，對步長因子的研究是關(guān)鍵[3]。

與經(jīng)典濾波器相比，自適應(yīng)濾波器輸出信號的頻率隨輸入信號的變化而變化，屬于現(xiàn)代濾波器的范疇。自適應(yīng)濾波器的主要特點(diǎn)是利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)，依據(jù)相關(guān)的自適應(yīng)濾波算法自動(dòng)調(diào)節(jié)當(dāng)前時(shí)刻的濾波器參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波，自適應(yīng)濾波器具有自適應(yīng)、自調(diào)整的性能[4-5]，從本質(zhì)上來講，是一種具有自我調(diào)節(jié)性能的維納濾波器。

1 自適應(yīng)濾波原理

討論自適應(yīng)濾波器，主要討論濾波器結(jié)構(gòu)和濾波算法兩部分。自適應(yīng)濾波器使用最多的算法是最小均方誤差(LMS)算法[6]。LMS自適應(yīng)濾波算法以預(yù)期輸出響應(yīng)和濾波輸出信號之差的均方值最小為標(biāo)準(zhǔn),通過不斷調(diào)整因子，使輸出誤差序列的均方值最小化，同時(shí)使自適應(yīng)迭代算法最優(yōu)化。LMS自適應(yīng)濾波算法因?yàn)椴恍枰M(jìn)行相關(guān)矩陣的復(fù)雜運(yùn)算，也不用求解相關(guān)函數(shù)，所以具有簡單操作性，相對其它濾波算法具有易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量小等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。

自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)有有限沖擊型(FIR)和無限沖擊型(IIR)兩種[7-8]。在考慮穩(wěn)定性的前提下，多采用FIR濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 FIR濾波器

圖1中x(n)為濾波器輸入信號，y(n)為自適應(yīng)濾波器輸出信號，e(n)為y(n)與期望信號d(n)進(jìn)行比較之后得到的誤差信號，調(diào)整濾波器參數(shù)使誤差信號最小是設(shè)計(jì)濾波器的目的。在對濾波器輸出信號收斂速度及相位要求不是很高的情況下，自適應(yīng)濾波器一般采用FIR濾波器橫向結(jié)構(gòu)[9]，如圖2所示。

圖2 FIR濾波器橫向結(jié)構(gòu)

矢量X(n)表示濾波器所有輸入信號的矩陣：

X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-N+1)]T

(1)

式中：N為濾波器的階數(shù)；n為時(shí)間指針。

矢量W(n)為權(quán)因子，表示自適應(yīng)濾波器的沖擊響應(yīng)：

W(n)=[w0(n),w1(n),..,wN-1(n)]T

(2)

式中：w(n)為迭代權(quán)因子。

濾波器的輸出信號y(n)：

(3)

2 LMS自適應(yīng)濾波算法

濾波算法是設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器的關(guān)鍵，好的自適應(yīng)濾波算法可以大大改善濾波器性能,進(jìn)一步優(yōu)化濾波效果。一般而言，自適應(yīng)濾波算法根據(jù)不同的優(yōu)化準(zhǔn)則，可以分為兩類基本算法： LMS算法與最小二乘(RLS)算法[10]。其中，LMS算法通過假設(shè)平方誤差的均方值最小來進(jìn)行預(yù)測，即使均方值最小。

e(n) =d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)w(n)

=d(n)-wT(n)x(n)

(4)

在自適應(yīng)濾波過程中，根據(jù)LMS算法修改權(quán)因子，使濾波性能最優(yōu)。自適應(yīng)濾波算法是一種簡單、穩(wěn)定、易于實(shí)現(xiàn)的算法。LMS算法屬于最陡梯度下降法，對于其算法梯度可單一化表示為：

(5)

式中：σ為微分算子。

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(6)

式中：μ為步長因子，取值范圍為[0，1/λmax]，λmax

步長因子在實(shí)際信號處理中對算法收斂速度、濾波過程、穩(wěn)態(tài)性等有重要作用。自適應(yīng)濾波器在實(shí)際工作過程中輸入端會存在一定干擾，這些干擾可能導(dǎo)致濾波算法產(chǎn)生參數(shù)失調(diào)與噪聲現(xiàn)象，干擾信號越強(qiáng),引起的噪聲越大，系統(tǒng)也就越不穩(wěn)定。減小步長因子μ可避免或減小自適應(yīng)濾波器失調(diào)噪聲，提高算法的收斂精度，優(yōu)化濾波效果。當(dāng)然，步長因子減小的同時(shí)也會降低自適應(yīng)濾波算法的收斂速度，所以研究步長因子顯得格外重要。

3 MATLAB仿真分析

MATLAB Simulink具有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)分析功能，為科研人員研究與設(shè)計(jì)濾波器提供了參考，也使分析工作變得簡單、方便。筆者借助Simulink對輸入帶有噪聲的正弦信號進(jìn)行濾波分析，輸入原理如圖3所示。

圖3 濾波器仿真輸入原理圖

在實(shí)際工作中輸入信號往往伴隨著各種干擾，包括周期和非周期成分，筆者希望通過濾波器自適應(yīng)調(diào)節(jié)分離出周期信號，排除干擾信號。將周期信號與噪聲信號混合作為輸入信號，經(jīng)過延遲單元延遲一段時(shí)間，由高斯理論可知，混合輸入信號中的周期信號之間是相關(guān)的，噪聲信號之間則是不相關(guān)的，所以，自適應(yīng)濾波器可減少輸出信號中的干擾信號成分，使輸出信號達(dá)到對原輸入正弦周期信號的最優(yōu)估計(jì)。

應(yīng)用Simulink進(jìn)行模擬仿真，設(shè)周期信號為x(n) =5sin(ωt)，根據(jù)需要可設(shè)置不同的頻率來觀察輸出響應(yīng)。

設(shè)輸入的正弦周期信號頻率為3Hz，自適應(yīng)濾波步長因子μ=0.000001。在Simulink中搭建仿真框圖并運(yùn)行，可得圖4至圖7所示波形圖。

圖4 濾波器輸出信號0～10s波形圖

圖5 濾波器輸出信號10～20s波形圖

圖6 步長因子μ=0.000001權(quán)值波形圖

圖7 步長因子μ=0.000001濾波器輸出波形圖

圖4至圖7中，紅色曲線為輸入正弦周期信號，綠色曲線為受干擾后的正弦信號，藍(lán)色曲線為濾波器輸出信號?？芍?，當(dāng)步長因子μ=0.000001時(shí)，自適應(yīng)濾波器在最初階段輸出信號與權(quán)值均為零，自適應(yīng)濾波器經(jīng)過多次迭代與不斷調(diào)整權(quán)值，輸出信號幅值逐漸變大，波形慢慢逼近原正弦周期信號。一段時(shí)間后，輸出信號與原周期信號波形基本一致，即如圖5所示自適應(yīng)濾波器10～20s的輸出波形基本逼近原周期信號波形。

將步長因子擴(kuò)大為原來的十倍，取μ=0.00001，原始周期信號不變。為在輸出波形中看到更清晰直觀的效果，圖8只給出受干擾之后的正弦波形與濾波器輸出波形。

圖8中綠色曲線為被干擾的正弦周期信號，藍(lán)色曲線為LMS自適應(yīng)濾波器輸出信號。對比圖4與圖8可以看到，后者輸出信號只需要較短的自適應(yīng)調(diào)整時(shí)間，其幅值大小就能接近原周期信號，波形逼近原始信號，迭代過程與算法的收斂速度更快。當(dāng)然，前者濾波效果更好，輸出信號穩(wěn)定性更強(qiáng)。比較圖6與圖9,可以發(fā)現(xiàn)圖9中權(quán)值發(fā)散更快，所以步長因子越大，權(quán)值發(fā)散越快，可見在實(shí)際問題中選擇合理的步長大小，可使權(quán)值收斂。比較圖7與圖10，可以發(fā)現(xiàn)圖7濾波器輸出信號平滑性更好，而圖10出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)失調(diào)現(xiàn)象，濾波器輸出信號效果較差。

圖8 受干擾的周期信號與濾波器輸出波形

圖9 步長因子μ=0.00001權(quán)值波形圖

圖10 步長因子μ=0.00001濾波器輸出波形圖

4 結(jié)論

由仿真分析可知，在LMS自適應(yīng)濾波過程中，步長因子越大，自適應(yīng)調(diào)整時(shí)間越短，濾波過程越快，但穩(wěn)態(tài)失調(diào)越嚴(yán)重，濾波效果越差，因此選取合理的步長因子對自適應(yīng)濾波效果很重要。應(yīng)用LMS自適應(yīng)濾波算法時(shí)，當(dāng)步長因子大于某一值時(shí)，就會使系統(tǒng)發(fā)散。為了解決步長因子對濾波效果的影響，變步長自適應(yīng)濾波算法得到了應(yīng)用，但還存在諸多缺點(diǎn)，值得進(jìn)一步研究。

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Adaptive filter, by dint of its superior performance, has extensive use gradually in many fields including microelectronics, automatic control and signal processing. An introduction was gived on the principle of adaptive filtering, adaptive filtering algorithm and a discusses was also gived on the impact of step factor to least mean square (LMS)adaptive filtering effect. With the help of MATLAB Simulink, a simulation study was performed for the periodic signals that were disturbed randomly with an analysis on the impacts of the step factor to LMS algorithm convergence speed, the filtering process and homeostasis of the output signal.

Step Factor； LMS； Adaptive Filter

2016年3月

徐奔奔(1990— )，男，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)， E-mail： 13122608568@163.com

TM461

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1674-540X(2016)03-053-04