一個(gè)新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分析與同步

李 雪，薛 薇

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

一個(gè)新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分析與同步

李 雪，薛 薇

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222)

提出一個(gè)新的同量階2.7階分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，基于預(yù)估-校正時(shí)域法，采用Matlab繪制了該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖，并用數(shù)值仿真驗(yàn)證了該系統(tǒng)在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)存在混沌吸引子．研究該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題，基于極點(diǎn)配置方法以及擴(kuò)展的非線性狀態(tài)觀測(cè)器理論，設(shè)計(jì)了一種投影同步方案．?dāng)?shù)值仿真與理論分析的結(jié)果一致，充分驗(yàn)證了該同步方案的可行性和有效性．

分?jǐn)?shù)階；混沌系統(tǒng)；狀態(tài)觀測(cè)器；投影同步；數(shù)值仿真

近年來(lái)，對(duì)于混沌理論及其應(yīng)用的研究已經(jīng)成為了科學(xué)界的熱點(diǎn)問(wèn)題．各種新的混沌系統(tǒng)[1-3]不斷被發(fā)現(xiàn)和提出，促進(jìn)了學(xué)者們對(duì)混沌理論的認(rèn)識(shí)，豐富和完善了混沌學(xué)的研究?jī)?nèi)容，并且提高了混沌學(xué)在圖像加密、視頻加密、保密通信、故障診斷等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用能力．自1983年Mandelbort[4]提出分?jǐn)?shù)維以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分理論已取得了極其重大的進(jìn)步．不同于整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分更注重函數(shù)的整體信息，因此在將混沌系統(tǒng)應(yīng)用到實(shí)際工程領(lǐng)域時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型的應(yīng)用范圍更廣泛，效果更明顯．這一現(xiàn)象促使越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始投身于研究和認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，例如已發(fā)現(xiàn)的有分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)[5]、分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[6]、分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[7]、分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)[8]、分?jǐn)?shù)階廣義增廣Lü系統(tǒng)[9]等．

混沌同步是實(shí)現(xiàn)保密通信等混沌應(yīng)用的基礎(chǔ)．隨著人們對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)不斷深入，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題得到了越來(lái)越多的關(guān)注．目前，已提出了很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，諸如：線性反饋同步[10]、滑膜控制[11]、投影同步[12]、自適應(yīng)同步[13]、廣義同步[14]等各種同步控制方法，這些同步方法的提出對(duì)混沌在實(shí)際工程領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要的意義．

本文提出一個(gè)新的同量階分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，給出了該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖等特性．在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用狀態(tài)觀測(cè)器的投影同步方法對(duì)所給的新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行了同步研究．

1 新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)含有3個(gè)非線性項(xiàng)，其數(shù)學(xué)模型為

式(1)系統(tǒng)中各狀態(tài)變量的分?jǐn)?shù)階微積分階次為q，且q∈(0,1)，系統(tǒng)階次為3q，系統(tǒng)參數(shù)為a, b, c, d．

1.2 分?jǐn)?shù)階次q對(duì)系統(tǒng)的影響

取a=34.4，b=50，c=3，d=15時(shí)，繪制式(1)系統(tǒng)隨階次q∈[0.7,1]變化的分岔圖，如圖1所示．由圖1可以看出：當(dāng)q∈[0.7,0.874]時(shí)，系統(tǒng)處于周期或者穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)q∈[0.874,1]時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)解開(kāi)始出現(xiàn)混亂現(xiàn)象，說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．

圖1 q∈[0.7,1]時(shí)式(1)系統(tǒng)在x軸上的分岔圖Fig. 1 Bifurcation diagram of system(1) on x axis when q∈[0.7,1]

1.3 相軌跡分析

為了方便觀察式(1)系統(tǒng)的混沌特性，本文選取分?jǐn)?shù)階次q=0.9時(shí)的情況進(jìn)行分析．當(dāng)a=34.4，b=50，c=3，d=15，q=0.9時(shí)，繪制出2.7階系統(tǒng)的相軌跡圖如圖2所示．從圖2中可以觀察到式(1)系統(tǒng)的混沌吸引子具有豐富的幾何形狀和復(fù)雜的拉伸軌線．

1.4 Lyapunov指數(shù)及分岔圖

這里分析2.7階系統(tǒng)隨參數(shù)a變化時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)變化和分岔情況．固定參數(shù)b=50，c=3，d=15，當(dāng)a∈[20,60]時(shí)，繪制式(1)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖，分別見(jiàn)圖3和圖4．

圖2 式(1)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig. 2 Phase trajectory diagrams of system(1)

圖3 a∈[20,60]時(shí)式(1)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜圖Fig. 3Lyapunov exponent diagram of system (1) when a∈[20,60]

圖4 a∈[20,60]時(shí)式(1)系統(tǒng)在x方向上的分岔圖Fig. 4Bifurcation diagram of system(1)on x axis when a∈[20,60]

由圖3和圖4可以看出，系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的分岔圖與其對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖保持一致．當(dāng)參數(shù)a=34.4時(shí)，該系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為λ1=6.4295，λ2=?0.215 2，λ3=?54.6645．其最大LE指數(shù)比目前很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的最大LE指數(shù)都大，如2.7階Chen系統(tǒng)[6](λ1=2.397 5)、2.7階Liu系統(tǒng)[7](λ1=0.0158)等．一般情況下，混沌系統(tǒng)的LE指數(shù)越大，其混沌特性越明顯，混沌程度越高．因此，本文提出的2.7階系統(tǒng)在圖像加密、保密通信等方面應(yīng)該會(huì)有較好的應(yīng)用前景．

2 同步控制器的設(shè)計(jì)

考慮如下兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)：

式中：狀態(tài)變量為x=(x12, x2,…,x)T∈Rn和y=(y1, y2,…,yn)T∈Rn；連續(xù)向量函數(shù)為f:Rn→Rn和g∶Rn→Rn；控制器為u( x, y)．令式(2)和式(3)系統(tǒng)分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)．

定義1[15]假設(shè)?α，且α≠0，使得式(2)系統(tǒng)和式(3)系統(tǒng)滿足則稱以上兩個(gè)系統(tǒng)獲得了投影同步，其中α為狀態(tài)比例因子，為范數(shù)運(yùn)算．

假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

式中：A∈Rn×n為Jacobian矩陣；B∈Rn×m為系數(shù)矩陣；F( x)為非線性項(xiàng)．響應(yīng)系統(tǒng)(分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測(cè)器)滿足

定義同步誤差為e=αy?x，則誤差系統(tǒng)為

其中K∈Rn×n為誤差反饋增益矩陣．若矩陣(A?K)的特征值為負(fù)數(shù)，由分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)時(shí)，有，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)獲得了投影同步．

依據(jù)控制理論中的極點(diǎn)配置方法[16]適當(dāng)?shù)剡x取反饋增益矩陣K，使得矩陣(A?K)的特征值為負(fù)數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的投影同步．

以本文所提出的新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為例，令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(4)的形式，得到

響應(yīng)系統(tǒng)可以構(gòu)造成

將響應(yīng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(5)的形式，得到

將式(8)和式(10)代入式(6)，可得

其中a＝34.4，b＝50，c＝3，d＝15，則系數(shù)矩陣A為

可見(jiàn)矩陣(A, I)可控，并且(I, AI,…,An?1I )是滿秩的．依據(jù)極點(diǎn)配置法選取反饋增益矩陣K為

將式(12)和式(13)代入式(11)，可得到誤差系統(tǒng)為

由于矩陣(A?K)的特征值為λ1=?1.5，λ2=?2，λ3=?3，也就是所有的特征值λi(i =1,2,3)全為負(fù)數(shù)．根據(jù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，可以得到即式(7)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和式(9)響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了投影同步．

3 同步仿真

運(yùn)用預(yù)估-校正法進(jìn)行數(shù)值仿真，選取的參數(shù)a=34.4，b=50，c=3，d=15，比例因子α=1，時(shí)間步長(zhǎng)h=0.01，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為x1(0)=?1，x2(0)=?2，x3(0)=?2，y1(0)=?1，y2(0)=?2，y3(0)=3，得到的數(shù)值仿真結(jié)果如圖5和圖6所示．由圖5可知，隨著時(shí)間的增加，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)軌跡完全一致．由圖6可以看出，誤差e1( t)、e2( t)、e3( t)可以在較短時(shí)間內(nèi)漸近穩(wěn)定于零，進(jìn)一步說(shuō)明該同步方法是可行的．

圖5 同步曲線圖Fig. 5 The synchronization curve

圖6 同步誤差隨時(shí)間的變化Fig. 6 Synchronization errors versus time

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了分析，運(yùn)用Matlab軟件繪制了該2.7階新混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖．?dāng)?shù)值仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)在較大參數(shù)變化范圍內(nèi)存在混沌吸引子．在此基礎(chǔ)上，研究了該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種投影同步方案，該同步方案依據(jù)極點(diǎn)配置法選取合適的反饋增益矩陣并對(duì)狀態(tài)比例因子進(jìn)行簡(jiǎn)單控制，所需的同步代價(jià)較小并且同步時(shí)間較短，具有一定的普遍性．通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真充分驗(yàn)證了該同步方法的可行性和有效性，為該分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信、圖像加密等實(shí)際工程中的進(jìn)一步應(yīng)用提供了技術(shù)支持．

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責(zé)任編輯：常濤

Analysis and Synchronization of a Novel Fractional-order Chaotic System

LI Xue，XUE Wei
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

In this research，a novel commensurate 2.7-order fractional-order chaotic system is proposed．The phase trajectory diagrams，the Lyapunov exponent spectra，and the bifurcation diagrams of the fractional-order chaotic system were establisher by using Matlab software and based on the predictor-corrector time domain method．The results imply there exists a chaotic attractor in the system with a certain range of change in system parameters．On this basis，the synchronization of the fractional-order chaotic system was investigated and a projection synchronization scheme based on the pole assignment method and the extended nonlinear state observer theory was designed．The simulation results are consistent with the theoretical analysis，which further demonstrates the feasibility and effectiveness of the proposed synchronization scheme.

fractional-order；chaotic system；state observer；projection synchronization；numerical simulation

TP391.9

A

1672-6510(2016)06-0069-05

10.13364/j.issn.1672-6510.20160004

2016-01-05；

2016-07-08

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202148)

李 雪（1991—），女，河北人，碩士研究生；

薛 薇，教授，xuewei@tust.edu.cn.