考慮客流量不確定性的客運(yùn)專線開行方案魯棒優(yōu)化模型

孫惠娟，蔡仲啟，彭春華

（華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌330013）

考慮客流量不確定性的客運(yùn)專線開行方案魯棒優(yōu)化模型

孫惠娟，蔡仲啟，彭春華

（華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌330013）

客流量的不確定性常會(huì)導(dǎo)致現(xiàn)有的客運(yùn)專線開行方案難以滿足列車運(yùn)能約束條件而發(fā)生“棄流”，造成鐵路部門運(yùn)營(yíng)效益流失。為了提高客運(yùn)專線的整體運(yùn)營(yíng)效益和開行方案的魯棒性，提出將可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化理論引入到客運(yùn)專線開行方案的優(yōu)化制定中，考慮客流量的不確定性以及開行方案對(duì)客流的反饋影響，以區(qū)段客流運(yùn)輸量、區(qū)段與車站通過能力為約束，最大化鐵路部門凈收益為目標(biāo)，構(gòu)建了魯棒性與經(jīng)濟(jì)性相協(xié)調(diào)的客運(yùn)專線開行方案不確定區(qū)間可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化模型。最后通過算例驗(yàn)證了模型的可行性與優(yōu)越性，并對(duì)模型的魯棒性和魯棒代價(jià)等相關(guān)問題進(jìn)行了深入分析。

客運(yùn)專線；開行方案；客流量不確定性；可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化

列車開行方案是鐵路旅客運(yùn)輸組織的基礎(chǔ)，現(xiàn)有鐵路旅客列車開行方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)通常是基于確定的客流需求預(yù)測(cè)量來實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)營(yíng)效益最大化[1]。然而，客運(yùn)專線的客流量由于會(huì)受到天氣環(huán)境、出行習(xí)慣、社會(huì)活動(dòng)等諸多因素的影響，具有較大的隨機(jī)性和波動(dòng)性，目前還很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)[2-4]?？土髁康碾S機(jī)波動(dòng)可能會(huì)使列車的運(yùn)能約束發(fā)生違背而導(dǎo)致“棄流”（運(yùn)輸能力供不應(yīng)求而造成客流損失），進(jìn)而使鐵路部門蒙受經(jīng)濟(jì)損失。

現(xiàn)有的對(duì)列車開行方案的研究主要采用確定性優(yōu)化方法，考慮客流動(dòng)態(tài)反饋控制、客流動(dòng)態(tài)分配等，一般都沒有考慮客流量不確定性的影響[4-5]。如在文獻(xiàn)[5]中為反映列車開行方案對(duì)客流分配的反饋影響，建立了反映不同類型客流轉(zhuǎn)化過程的客流動(dòng)態(tài)分配模型，但由于是以事先預(yù)測(cè)的計(jì)劃客流量制定開行方案，并未考慮客流量不確定性的影響，這樣制定的開行方案對(duì)客流量的隨機(jī)波動(dòng)缺乏抗干擾能力（即魯棒性），實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)因客流量發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)而使優(yōu)化模型的約束違背，導(dǎo)致求得的開行方案失去優(yōu)化意義。不確定性優(yōu)化方法大致可分為：隨機(jī)規(guī)劃、模糊規(guī)劃和魯棒優(yōu)化，它們分別采用隨機(jī)變量、模糊變量和不確定集合對(duì)不確定性進(jìn)行描述[6-7]。然而，隨機(jī)規(guī)劃中對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后擬合得到的隨機(jī)變量概率分布函數(shù)往往與實(shí)際情況存在一定程度上的偏差；模糊規(guī)劃中由于數(shù)據(jù)樣本有限及個(gè)人經(jīng)驗(yàn)主觀隨意性等原因，想要客觀準(zhǔn)確地獲取不確定性的概率分布函數(shù)或模糊隸屬度函數(shù)并非易事。相較而言，魯棒優(yōu)化中獲得不確定參數(shù)的集合則要容易得多，并能使求得的魯棒最優(yōu)解對(duì)于不確定參數(shù)在不確定集合內(nèi)取任意元素時(shí)都能嚴(yán)格保證約束成立[8]。魯棒優(yōu)化是一種能夠在不確定環(huán)境下兼顧魯棒性和經(jīng)濟(jì)性的優(yōu)化決策方法。文獻(xiàn)[9]提出將魯棒優(yōu)化理論引入到含大規(guī)模光伏電站的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度中，建立了兼顧電力系統(tǒng)運(yùn)行可靠性與經(jīng)濟(jì)性的魯棒優(yōu)化調(diào)度模型。文獻(xiàn)[10]針對(duì)電梯群控調(diào)度過程中交通不確定的問題，提出一種電梯群控調(diào)度的魯棒離散優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用魯棒優(yōu)化方法對(duì)考慮風(fēng)力發(fā)電機(jī)出力隨機(jī)性的風(fēng)電場(chǎng)最大裝機(jī)容量進(jìn)行優(yōu)化。

為此，在考慮客流量不確定性的基礎(chǔ)上，提出將魯棒優(yōu)化理論引入客運(yùn)專線開行方案的制定中，以最大化鐵路部門凈收益為目標(biāo)，結(jié)合開行方案對(duì)客流分配的反饋影響[5]，構(gòu)建魯棒性與經(jīng)濟(jì)性相協(xié)調(diào)的客運(yùn)專線開行方案魯棒優(yōu)化模型。

1 現(xiàn)代魯棒優(yōu)化理論

式中：x為決策變量；ζ為不確定參數(shù)；U是用于描述ζ不確定性的不確定集合；m為約束條件個(gè)數(shù)。式中所示的不確定性優(yōu)化問題往往難以直接求解，魯棒優(yōu)化關(guān)鍵是要通過某種方式將其進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化或近似為確定性優(yōu)化問題，這也是魯棒優(yōu)化的核心思想。

常規(guī)魯棒優(yōu)化方法為了保證約束條件在不確定變量取所有可能值時(shí)都能滿足，其優(yōu)化結(jié)果往往過于保守，甚至在極端情況下可能無解[9]。針對(duì)這一問題，Ben-Tal等人提出了更為靈活的可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化方法[12]，將決策變量分為可調(diào)節(jié)變量和不可調(diào)節(jié)變量進(jìn)行分階段決策，有效地彌補(bǔ)了常規(guī)魯棒優(yōu)化過于保守的不足。但該方法一般需要多階段求解，會(huì)大幅提高求解的復(fù)雜度。為降低求解的復(fù)雜度，Bertsimas等人進(jìn)一步提出了不確定區(qū)間可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化方法[13]。通過設(shè)置保守度或魯棒性調(diào)節(jié)系數(shù)，對(duì)不確定參數(shù)的變化個(gè)數(shù)及范圍進(jìn)行控制，在實(shí)現(xiàn)魯棒優(yōu)化模型保守度可調(diào)節(jié)的同時(shí)，無須多階段求解而不會(huì)增加求解的復(fù)雜度，且該方法還能適用于離散優(yōu)化情形[14]。

基于上述分析，根據(jù)考慮客流量不確定性影響的客運(yùn)專線開行方案優(yōu)化問題的特點(diǎn)，本文將基于不確定區(qū)間可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化理論，構(gòu)建魯棒性與經(jīng)濟(jì)性相協(xié)調(diào)的客運(yùn)專線開行方案魯棒優(yōu)化模型，以提高開行方案的魯棒性并實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)收益的最大化。

現(xiàn)實(shí)中系統(tǒng)參數(shù)因受不確定性因素影響發(fā)生變化而導(dǎo)致系統(tǒng)原優(yōu)化方案的性能急劇惡化甚至嚴(yán)重不可行的情形比比皆是[8]。作為解決不確定性優(yōu)化問題的一種方法，魯棒優(yōu)化正是基于這一背景下提出的。魯棒優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述如下[11]

2 模型建立

2.1 模型假設(shè)

本文中模型的建立基于以下4點(diǎn)假設(shè)[5]：

假設(shè)1：系統(tǒng)是封閉的。即系統(tǒng)狀態(tài)只取決于系統(tǒng)內(nèi)部影響因素，與外部因素?zé)o關(guān)。

假設(shè)2：客運(yùn)專線列車可分為擇站停高速（G型）、擇站停中速（Z型）和站站停普速（L型）三種類型。乘客會(huì)根據(jù)開行方案選擇適合自己的列車類型，組成不同類型的客流，分別稱為G型客流、Z型客流和L型客流。

假設(shè)3：不考慮乘客中途換乘。

假設(shè)4：為了更貼合實(shí)際情況，本文將考慮不同開行方案對(duì)不同類型客流量產(chǎn)生的反饋影響，即各類型客流會(huì)受開行方案影響相互間會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化。根據(jù)乘客的通常意愿，可假定客流轉(zhuǎn)化規(guī)律為：若新開行方案中G型列車在si站和sj站不停站，則si站到sj站的原先G型客流量將會(huì)優(yōu)先選擇轉(zhuǎn)化為Z型客流，若Z型列車也不?？縮i站和sj站，才會(huì)轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)型客流。同理，原先Z型客流發(fā)生轉(zhuǎn)化時(shí)會(huì)優(yōu)先選擇成為G型，然后才是L型。依此規(guī)律，各型列車的原先客流量在開行方案調(diào)整后會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，最終形成各種開行方案所對(duì)應(yīng)的實(shí)際客流量。

由上述假設(shè)，定義車站集S=（si│i=1，2，…，n），s1，s2，…，sn依次表示從始發(fā)站到終點(diǎn)站按經(jīng)過順序排列的車站；路段集E=（ei|i=1，2，…，n-1），ei為si和ei+1站間路段；列車類型集合T={G，Z，L}。

2.2 客流量的不確定區(qū)間模型

原先開行計(jì)劃所對(duì)應(yīng)的原先客流量的不確定區(qū)間模型為

2.3 約束條件

1）客流動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化約束。由假設(shè)4，可得任意兩站之間三種類型原先客流量經(jīng)動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化后的實(shí)際客流量計(jì)算公式為[5]

2）區(qū)段客流運(yùn)輸量約束。區(qū)段客流運(yùn)輸量不能超過其運(yùn)輸能力限制，即

3）區(qū)段通過能力約束。各區(qū)段上的運(yùn)行列車數(shù)目不能大于其通過能力上限，令Le（ei）為區(qū)段ei的通過能力上限，即

4）車站通過能力約束。通過各車站的列車數(shù)目不能大于其通過能力上限，令Ls（si）為車站si的通過能力上限，即

5）

停站約束。由假設(shè)2可知，站站停普速列車有約束

此外，擇站停高速和擇站停中速列車在起始站與終點(diǎn)站必須停，即。

2.4 目標(biāo)函數(shù)

式中：CI為鐵路部門運(yùn)營(yíng)收益；n為客運(yùn)專線車站總個(gè)數(shù)；dij為車站i，j之間的距離；pk為k型列車旅客公里票價(jià)率；分別為k型列車的車站停站費(fèi)用，車公里費(fèi)用，。這樣既能保證當(dāng)客流量在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)模型約束條件始終成立（不發(fā)生“棄流”），又能實(shí)現(xiàn)鐵路部門的收益最大化，從而達(dá)到兼顧開行方案魯棒性和經(jīng)濟(jì)性的目的。

3 模型求解

4 算例及分析

4.1 算例描述

為驗(yàn)證所建模型的有效性，構(gòu)造如圖1所示的客運(yùn)專線網(wǎng)絡(luò)。各區(qū)段的上方標(biāo)注了該區(qū)段相應(yīng)的編號(hào)和長(zhǎng)度（km）[5]。區(qū)段的通過能力上限均取263對(duì)，始發(fā)站和終點(diǎn)站的通過能力上限取350對(duì)，中間站的通過能力上限取200對(duì)。模型其它基本參數(shù)如表1所示。

圖1 城際客運(yùn)專線路網(wǎng)圖Fig.1 Network of intercity dedicated passenger lines

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

4.2 模型的魯棒性

1）常規(guī)優(yōu)化模型下的開行方案。利用專門求解最優(yōu)化問題的軟件LINGO13.0對(duì)模型式（11）進(jìn)行求解，取Γ=0，即為不考慮魯棒性的常規(guī)優(yōu)化模型，用黑色圓表示列車在該站停車，白色圓表示列車在該站不停車，可得常規(guī)優(yōu)化模型下的開行方案如圖2（a）所示，并作出該開行方案下各型列車的運(yùn)能約束如圖3（a）（圖中橫坐標(biāo)為）所示。由圖3（a）可知，當(dāng)不考慮魯棒性時(shí)，G、Z型列車均存在運(yùn)能約束違背風(fēng)險(xiǎn)（圖中實(shí)線與虛線的交點(diǎn)即為運(yùn)能約束違背臨界點(diǎn)）。大約當(dāng)時(shí)，G型列車運(yùn)能約束違背，發(fā)生“棄流”；大約當(dāng)時(shí)，Z型列車運(yùn)能約束違背，發(fā)生“棄流”?？梢?，標(biāo)稱模型下求得的開行方案魯棒性差，不能有效適應(yīng)客流量發(fā)生波動(dòng)的情形。

2）魯棒優(yōu)化模型下的開行方案。若取Γ=5，即考慮最強(qiáng)魯棒性，可得魯棒優(yōu)化模型下的開行方案如圖2（b）所示，并可作出該開行方案下各型列車的運(yùn)能約束如圖3（b）所示。如圖3（b）可知，當(dāng)不考慮魯棒性時(shí)，G、Z、L型列車均不存在運(yùn)能約束違背風(fēng)險(xiǎn)（因?yàn)閳D中實(shí)線與虛線不存在任何交點(diǎn)）?？梢姡敯魞?yōu)化模型下求得的開行方案魯棒性好，可以很好地適應(yīng)客流量發(fā)生波動(dòng)的情形，即當(dāng)受到不確定性影響，在內(nèi)發(fā)生任意波動(dòng)時(shí)，對(duì)比上述常規(guī)優(yōu)化模型下的開行方案，魯棒開行方案可以使各型列車的運(yùn)能約束始終保持成立，不會(huì)發(fā)生“棄流”現(xiàn)象。

圖2 開行方案對(duì)比Fig.2 Comparison of passenger train plans

圖3 列車運(yùn)能約束情況對(duì)比Fig.3 Comparison of transportation capability constraints

4.3 魯棒代價(jià)

表2 魯棒最優(yōu)解Tab.2 Robust optimal solutions

表2中，運(yùn)營(yíng)收益損失是以不考慮魯棒性情形下的運(yùn)營(yíng)收益658 920.1（元）作為比較基準(zhǔn)計(jì)算得出的。由表2數(shù)據(jù)結(jié)果，可得到γ、Γ與運(yùn)營(yíng)收益三者的關(guān)系：

1）對(duì)比表2中Γ取不同值的情況可知，當(dāng)γ一定時(shí)，運(yùn)營(yíng)收益與Γ成反比。Γ越大，原先客流量矩陣hk中不確定參數(shù)的可變化個(gè)數(shù)越多，魯棒優(yōu)化模型考慮的不確定性影響因素越多，提供的約束保護(hù)越強(qiáng)（即模型的魯棒性越強(qiáng)），運(yùn)營(yíng)收益越?。此韪冻龅摹棒敯舸鷥r(jià)”越大）。對(duì)表2中γ=0.04及γ=0.05進(jìn)行表內(nèi)數(shù)據(jù)對(duì)比也可得出一致的結(jié)論。

2）對(duì)比表2中γ取不同值的情況可知，當(dāng)Γ一定時(shí)，運(yùn)營(yíng)收益與γ亦成反比。γ越大，不確定客流量的允許波動(dòng)范圍越大，魯棒優(yōu)化模型所提供的約束保護(hù)越強(qiáng)（即模型的魯棒性越強(qiáng)），運(yùn)營(yíng)收益越小（即所需付出的“魯棒代價(jià)”越大）。

綜上所述，在魯棒優(yōu)化的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，必須根據(jù)實(shí)際情況對(duì)模型的魯棒性和經(jīng)濟(jì)性作出適當(dāng)?shù)娜∩峋駬?。過分追求模型的魯棒性會(huì)大大削減經(jīng)濟(jì)性，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)使運(yùn)營(yíng)收益過低而使優(yōu)化本身失去意義；反之，過分追求經(jīng)濟(jì)性則可能會(huì)使模型的抗干擾能力脆弱，導(dǎo)致系統(tǒng)不能安全穩(wěn)定運(yùn)行。如表2所示，若是過分注重模型的魯棒性，取γ=0.5，Γ=5，則運(yùn)營(yíng)收益損失百分比將達(dá)到13.22%，這將使模型的經(jīng)濟(jì)性承受較嚴(yán)重的損失；而若取γ=0.02，Γ=1，則運(yùn)營(yíng)收益損失百分比雖然只有1.06%，但模型的保護(hù)范圍過小，以致客流量即便只發(fā)生微小的波動(dòng)，都有可能使得模型約束發(fā)生違背而導(dǎo)致“棄流”。如果客觀要求運(yùn)營(yíng)收益損失不得大于10%，為了同時(shí)兼顧系統(tǒng)運(yùn)行的魯棒性和經(jīng)濟(jì)性，取γ=0.04，Γ=2，情形下對(duì)應(yīng)的魯棒優(yōu)化開行方案應(yīng)是較好的選擇。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于不確定區(qū)間可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化理論，考慮客運(yùn)專線客流量不確定性的影響，構(gòu)建了魯棒性與經(jīng)濟(jì)性相協(xié)調(diào)的客運(yùn)專線開行方案可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化模型，并成功將其轉(zhuǎn)化為魯棒對(duì)等式進(jìn)行了有效求解。算例應(yīng)用結(jié)果充分表明了該模型在抵抗不確定性干擾方面的優(yōu)勢(shì)及魯棒性所需付出的代價(jià)。通過對(duì)魯棒優(yōu)化問題在魯棒性和經(jīng)濟(jì)性上的博弈關(guān)系分析，提出了一種在實(shí)際應(yīng)用中兼顧模型魯棒性與經(jīng)濟(jì)性的抉擇方法，為客運(yùn)專線開行方案優(yōu)化問題提供了新思路。

考慮到乘客換乘、選乘等問題的復(fù)雜性，所建立的魯棒優(yōu)化模型還有待進(jìn)一步完善。此外，也可在本文的基礎(chǔ)上考慮多目標(biāo)魯棒優(yōu)化等更復(fù)雜的模型，以使客運(yùn)專線開行方案滿足更為全面豐富的需求。

參考文獻(xiàn)：

[1]史峰，周文梁，陳彥，等.基于彈性需求的旅客列車開行方案優(yōu)化研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，2008，30（3）：1-6.

[2]李倩.基于路網(wǎng)的高速鐵路客流預(yù)測(cè)方法研究[D].北京：北京交通大學(xué)，2011.

[3]駱晨.基于多次修正殘差灰色模型的鐵路客流預(yù)測(cè)[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（4）：19-23.

[4]陶思宇，李美彥.基于客流動(dòng)態(tài)反饋控制的客運(yùn)專線旅客列車開行方案調(diào)整方法[J].鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2012，34（10）：20-25.

[5]彭宏勤，朱郁俊.基于客流動(dòng)態(tài)分配的城際列車開行方案[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2013，13（1）：111-117.

[6]梅生偉，郭文濤，王瑩瑩，等.一類電力系統(tǒng)魯棒優(yōu)化問題的博弈模型及應(yīng)用實(shí)例[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33（19）：47-56.

[7]劉寶旋，趙瑞清.隨機(jī)規(guī)劃與模糊規(guī)劃[M].北京：清華大學(xué)出版社，1998：37-222.

[8]BEN-TAL A，NEMIROVSKI A.Robust optimization methodology and applications[J].Mathematical Programming，2002，92（3）：453-480.

[9]彭春華，謝鵬，陳臣，等.大規(guī)模光伏電站接入電網(wǎng)可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化調(diào)度[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2014，34（25）：4324-4332.

[10]宗群，竇立謙，王維佳.電梯群控系統(tǒng)的一種魯棒離散優(yōu)化調(diào)度策略[J].控制與決策，2008，23（5）：520-524.

[11]李斯，周任軍，童小嬌，等.基于盒式集合魯棒優(yōu)化的風(fēng)電并網(wǎng)最大裝機(jī)容量[J].電網(wǎng)技術(shù)，2011，35（12）：208-213.

[12]BEN-TAL A，GORYASHKO A，GUSLITZER E，et al.Adjustable robust solutions of uncertain linear programs[J].Mathematical Programming，2004，99（2）：351－376.

[13]BERTSIMAS D，SIM M.The price of robustness[J].Operations Research，2003，52（1）：35-53.

[14]BERTSIMAS D，SIM M.Robust discrete optimization and network flows[J].Mathematical Programming，2003，98（1/3）：49-71.

[15]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：234-238.

[16]吳昌進(jìn).昌九城際軌道交通運(yùn)量預(yù)測(cè)及運(yùn)輸方案研究[D].北京：清華大學(xué)，2008：26-55.

Robust Optimal Model of Train Plans for Passenger Dedicated Lines in View of Uncertainty of Passenger Flow

Sun Huijuan，Cai Zhongqi，Peng Chunhua
（School of Electrical and Automation Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The uncertainty of traffic flow often makes the present train plans for dedicated passenger traffic lines cannot meet train capacity constraints,which results in traffic flow loss and operation benefit loss of railway department.To enhance the overall operation benefit of dedicated passenger traffic lines and the robustness of train plans,with the application of adjustable robust optimization theory for optimization of train plans,considering the uncertainty of passenger flow and the response of train plans on passenger flow,setting passenger traffic volume of railway section,railway section and station carrying capacity as constraints and the maximal net income of railway department as objective,this paper establishes the adjustable robust optimization model in uncertain intervals of train plans for dedicated lines,which coordinates robustness and economy.Finally,the model’s feasibility and superiority are verified by a calculation example,and the robustness and the price of robustness are further analyzed.

passenger dedicated lines；train plans；uncertainty of passenger flow；adjustable robust optimization

TP13；U292

A

1005-0523（2016）06-0083-08

（責(zé)任編輯 姜紅貴）

2016－06－28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51567007）；教育部人文社科青年基金項(xiàng)目（14YJCZH135）；江西省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（20142BBE50001）；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（20152ACB20017）；華東交通大學(xué)校立科研基金項(xiàng)目（15DQ03）

孫惠娟（1982—），女，講師，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化研究。