隔聲量計算的邊界元-有限元-統(tǒng)計能量法

石嘉欣，楊德慶，郁 揚

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國家重點實驗室，高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

隔聲量計算的邊界元-有限元-統(tǒng)計能量法

石嘉欣，楊德慶，郁 揚

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國家重點實驗室，高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

提出邊界元-有限元-統(tǒng)計能量（BEM+FEM+SEA，簡稱BFS）混合方法模擬駐波管，即BFS駐波管模擬法，計算材料的隔聲量。探究了不同邊界條件對BFS駐波管模擬法隔聲量計算結(jié)果的影響；通過與有限元（FEM）駐波管模擬法、有限元-統(tǒng)計能量（FEM+SEA，簡稱FS）混響室模擬法以及瑞利-李茲理論法所得隔聲量對比，驗證BFS方法的有效性和精度。結(jié)果表明，BFS駐波管模擬法能夠較為準(zhǔn)確地模擬駐波管，得到待測材料的隔聲量，相對于有限元（FEM）駐波管模擬法，能夠有效解決震蕩問題，減小計算量，提升計算速度，可適用于全頻段聲學(xué)材料性能的計算和評估，彌補實驗手段耗時費力的缺點，尤其是在新產(chǎn)品的開發(fā)階段具有一定的實際意義。

振動與波；BFS方法；有限元法；駐波管；隔聲量

實驗測定材料吸聲性能主要有駐波管法和混響室法兩種手段。駐波管法實驗設(shè)備簡單，測試精度可接受，缺點在于不能完全模擬真實的聲學(xué)環(huán)境[1-2]；混響室法模擬實際受聲環(huán)境，但實驗成本高，難度大[3]?？傮w來說，實驗方法測定材料吸聲性能對設(shè)備、環(huán)境以及人員的要求較高，需要耗費較大的人力物力。為了規(guī)避實驗手段的缺點，快速、方便、準(zhǔn)確地獲得待測材料的聲學(xué)性能參數(shù)，近些年利用數(shù)值模擬進行材料聲學(xué)性能評估的技術(shù)得到了發(fā)展。模擬混響室的數(shù)值方法發(fā)展得相對比較完善，主要有兩種，即統(tǒng)計能量（SEA）混響室數(shù)值模擬法以及有限元-統(tǒng)計能量混響室數(shù)值模擬法（FEM+ SEA，簡稱FS混響室模擬法）[4-5]。經(jīng)實驗驗證，這兩種方法在高頻段均能較為準(zhǔn)確地擬合實驗結(jié)果，得到混響聲源作用下待測聲學(xué)材料的隔聲量和吸聲系數(shù)，后者在低頻段也能保證一定的精度。而模擬駐波管的數(shù)值方法主要運用有限元法，簡稱FEM駐波管法?，F(xiàn)有的基于聲學(xué)軟件Virtual Lab對駐波管法的模擬在高頻段存在震蕩嚴(yán)重、運算量大、速度慢等問題，推廣使用上受到諸多限制；而王英敏基于Ansys平臺將聲壓和力進行轉(zhuǎn)換的駐波管模擬方法存在高頻精度差、操作過程復(fù)雜、計算效率較低的問題[6]。

為了進一步提升駐波管模擬法的精度，使其能夠在全頻段得到較為準(zhǔn)確的計算結(jié)果，本文提出了邊界元-有限元-統(tǒng)計能量（BEM+FEM+SEA）混合方法，簡稱BFS駐波管模擬法。該方法適用于聲學(xué)材料研究階段或聲學(xué)產(chǎn)品開發(fā)初期，無需耗費巨大的人力、物力、財力進行實驗就可以通過數(shù)值模擬的手段得到待測試件的隔聲量預(yù)測值，有效地降低了研究成本。該方法能夠較為準(zhǔn)確地擬合FEM駐波管模擬法的計算結(jié)果，同時有效改善有限元法曲線震蕩的現(xiàn)象，一定程度上克服有限元駐法高頻計算模型規(guī)模大的問題，有效提升計算速度，在全頻段隔聲量計算上顯示出優(yōu)勢。

1 BFS駐波管模擬法的原理

邊界元-有限元-統(tǒng)計能量（BFS）駐波管模擬法的基本原理是，基于駐波管法的實驗條件要求確定試件尺寸和邊界條件（包括入射波的類型及強度、試件邊界約束條件等），建立包含邊界元、有限元和統(tǒng)計能量子系統(tǒng)的試件結(jié)構(gòu)與周邊流體的混合聲學(xué)數(shù)值模型，通過求解統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)與聲學(xué)耦合方程，計算出全頻段材料的隔聲量。BFS駐波管模擬法主要包括邊界元方程與有限元方程的耦合以及有限元方程與統(tǒng)計能量方程的耦合兩個過程。

1.1 邊界元方程與有限元方程的耦合

考慮邊界元流體作用時，結(jié)構(gòu)振動方程可用下式表示

其中K、C、M分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)構(gòu)阻尼矩陣和結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；u為節(jié)點位移向量；fs為外激力向量；fp為流體對結(jié)構(gòu)的作用力，可表示為

其中Csf為耦合系數(shù)矩陣；Ns為結(jié)構(gòu)插值形函數(shù)矩陣；Nf為流體插值形函數(shù)矩陣；n為流固耦合面上單元的法向向量；p為流固耦合面上節(jié)點的聲壓向量；Γi為流固耦合面[7]。

1.2 有限元方程與統(tǒng)計能量方程的耦合

有限元統(tǒng)計能量混合方法將聲場分為直接場和混響場，前者定義為入射波產(chǎn)生的聲場；后者指經(jīng)過一次以上反射形成的聲場。結(jié)構(gòu)響應(yīng)q可寫為以下形式

其中Dd是確定性子系統(tǒng)有限元模型的動力剛度矩陣；f是施加在確定性子系統(tǒng)上的外力是子系統(tǒng)k上在混響場所中所受到的力；Dtot是被統(tǒng)計能量子系統(tǒng)直接場的動力剛度矩陣增廣后模型的總動力剛度矩陣，是的線性疊加，為有限元和統(tǒng)計能量模型連接處的動力剛度矩陣。子系統(tǒng)j輸入到直接場的平均功率為

式(10)和式(11)為有限元統(tǒng)計能量理論的主要方程[8]。

1.3 BFS駐波管模擬法的建模原理

還可得到響應(yīng)q的互譜矩陣

BFS駐波管模擬法的基本建模過程為：首先建立待測材料構(gòu)件的有限元模型，以模擬構(gòu)件聲學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性；其次，在構(gòu)件有限元模型入射波側(cè)建立模擬流體介質(zhì)的邊界元模型（空氣、海水或者其它流體），與構(gòu)件有限元模型耦合連接；最后，在有限元模型反射波側(cè)建立統(tǒng)計能量半無限流場子系統(tǒng)，與有限元模型耦合連接。

接下來施加上述模型的邊界條件：模擬駐波管測量隔聲量實驗中的平面波聲源，在邊界元流體上施加平面波激勵，使其垂直入射于構(gòu)件表面。利用另一側(cè)的半無限流場子系統(tǒng)獲得透射聲壓。

最后，綜合求解邊界元、有限元和統(tǒng)計能量耦合方程，獲得全頻段待測材料的隔聲量。

具體的建模尺寸、聲源以及邊界條件的設(shè)置說明如下：BFS駐波管模擬法直接設(shè)置聲源為平面波，且不設(shè)管壁，不會激發(fā)出高次波，因此聲源距離待測平面的距離不會影響計算結(jié)果，且因為BFS駐波管模擬法透射端無反射，所以半無限流體距待測試件的距離也不會影響計算結(jié)果。一般的，BFS駐波管模擬法選擇與實驗所用駐波管橫截面大小相當(dāng)?shù)某叽鐏斫⒋郎y試件的有限元模型，文中推薦待測試件為350 mm×220 mm的矩形有限元結(jié)構(gòu)，入射聲源距離待測試件500 mm，另一側(cè)的半無限流場也距待測試件500 mm。同樣由于BFS駐波管模擬法消除了高次波和管壁的影響，其工作頻率也不再受到駐波管尺寸的限制，所以可以在全頻域內(nèi)求解隔聲量。建議在測試頻段內(nèi)均采用聲壓值為1 Pa（折算為94 dB）的平面入射聲波，方向垂直于待測試件平面；待測材料在安裝時不應(yīng)受到不恰當(dāng)?shù)臄D壓，BFS駐波管模擬法可以采用的邊界條件為無約束邊界條件。具體模型如圖1所示。

圖1 BFS駐波管模擬法示意圖

下述的算例分別探討無約束邊界、四邊固支邊界、四邊簡支邊界、短邊簡支邊界以及長邊簡支邊界五種邊界條件下隔聲量計算的精度。

2 BFS駐波管模擬法的算例驗證

以鋁板隔聲量計算為例對提出的BFS駐波管模擬法進行精度驗證。首先探討不同的邊界條件對BFS駐波管模擬法計算結(jié)果的影響，其結(jié)果與FEM駐波管模擬法得到的結(jié)果進行對比，從而確定BFS駐波管模擬法應(yīng)當(dāng)采用的、使隔聲量計算結(jié)果最為準(zhǔn)確的邊界條件，其中FEM駐波管模擬法采用Virtual Lab標(biāo)準(zhǔn)算例算法；其次，BFS駐波管模擬法的隔聲量計算結(jié)果與FS混響室模擬法隔聲量計算值和瑞利李茲理論計算值相比較，從而說明不同聲源條件對隔聲量計算結(jié)果的影響，其中瑞利李茲法是混響聲源激勵下隔聲量的理論計算方法，F(xiàn)S混響室模擬法采用的是VA One軟件算例。本研究采用目前國際上公認(rèn)的權(quán)威聲學(xué)分析軟件VA One進行數(shù)值模擬，其耦合損耗因子由VA One程序內(nèi)嵌算法確定，程序中參數(shù)一般取常規(guī)經(jīng)驗值，所得結(jié)果滿足常規(guī)計算精度。

2.1 模型描述

BFS駐波管模型描述如下：測試件為鋁板，尺寸為350 mm×220 mm×1 mm，彈性模量G=71.0 GPa，泊松比為0.33，密度為2.81×103kg/m3，損耗因子為0.1%。建立如圖1所示的BFS模型，半無限流場子系統(tǒng)（SIF）距鋁板有限元模型表面500 mm，流體邊界元（BEM Fluid）距鋁板有限元模型表面500 mm，入射平面波（plane wave）聲壓值為1Pa（折算為94 dB），頻率區(qū)間為16 Hz～8 kHz。

對比模型說明：

(1)FEM駐波管模型：采用Virtual Lab軟件計算，鋁板的尺寸及材料特性同BFS駐波管模型，定義為結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格，在發(fā)聲側(cè)和受聲側(cè)建立空氣聲學(xué)有限元網(wǎng)格，將單板模態(tài)耦合到空氣與單板的接觸面上進行計算。單板的兩側(cè)500 mm處建立場點，提取場點聲壓值。在入射聲波一側(cè)建立平面波激勵，聲壓值為1 Pa（折算為94 dB），頻率區(qū)間為16 Hz～8 kHz，F(xiàn)EM駐波管模型如圖2所示。

圖2 FEM駐波管模擬法示意圖

(2)FS混響室模型：FS混響室模擬法可得到混響聲源激勵下待測材料的隔聲量。鋁板的尺寸及材料特性同BFS駐波管模型。半無限流場子系統(tǒng)（SIF）距鋁板有限元模型表面500 mm，混響聲源聲壓值為1Pa（折算為94 dB），鋁板有限元模型的邊界條件為簡支，頻率區(qū)間為16 Hz～8 kHz[4]，F(xiàn)S混響室模型如圖3所示。

圖3 FS混響室模擬法示意圖

(3)瑞利李茲法：瑞利李茲法是求取混響聲源激勵下隔聲量的理論解法，文獻(xiàn)[8]中給出了詳細(xì)的計算方法，文中引用其中低頻段的數(shù)據(jù)進行對比。

2. 2 邊界條件對隔聲量計算的影響

BFS駐波管模型分別采用無約束邊界、四邊固支邊界、四邊簡支邊界、短邊簡支邊界以及長邊簡支邊界，定義為工況一、工況二、工況三、工況四和工況五，分別計算五種工況下單層鋁板的隔聲量，與FEM駐波管模型、FS混響室模型以及瑞利李茲法計算得到的隔聲量進行比較，從而確定BFS駐波管模型的邊界條件。采用隔聲量TL為指標(biāo)對結(jié)果進行評價，定義

其中LP1為入射聲壓值，LP2為透射聲壓值，單位為dB。

本例中入射聲壓LP1為94 dB(Pa)，由于軟件算法的原因，利用VA One軟件求取時，不能直接認(rèn)為受聲側(cè)半無限流體的聲壓值LSIF為透射聲壓，需要進行修正，因此利用BFS駐波管模擬法計算隔聲量時需引入修正量L0，單位為dB。

五種工況下單層鋁板的隔聲量曲線與FEM駐波管模擬法得到的隔聲量曲線如圖4所示。

圖4 五種工況隔聲量計算結(jié)果曲線圖

從整體看，F(xiàn)EM駐波管模擬法在高頻段有明顯的震蕩現(xiàn)象。而在高頻段（110 Hz以上），五種工況的BFS駐波管模型均進入了質(zhì)量控制區(qū)，邊界條件對結(jié)果影響很小，這也顯示了統(tǒng)計能量法的優(yōu)點，即由于是平均意義上能量分析結(jié)果，高頻段計算結(jié)果準(zhǔn)確、震蕩小。而在低頻段（160 Hz以下），模型處于剛度控制區(qū)，不同工況的邊界條件對隔聲量影響較大，由于共振，不同邊界條件的模型在各自固有頻率附近隔聲量表現(xiàn)出明顯的峰谷現(xiàn)象，且邊界約束越強，震蕩現(xiàn)象越嚴(yán)重。從單個曲線看，F(xiàn)EM駐波管模型結(jié)果在高頻段不穩(wěn)定，震蕩嚴(yán)重；從平均意義上說，工況一（無約束邊界條件）的隔聲量曲線在低頻段低于FEM駐波管模型結(jié)果，高頻段較為準(zhǔn)確；工況二（固支邊界條件）由于邊界約束強，總體震蕩嚴(yán)重，低頻段計算結(jié)果偏大；工況三（簡支邊界條件）隔聲量曲線中頻段有小幅度震蕩，低頻段和高頻段擬合較好；工況四（短邊簡支邊界條件）和工況五（長邊簡支邊界條件）與FEM駐波管模擬法隔聲量對比，存在低頻段偏小、中頻段震蕩的問題。

綜合分析來看，工況一（無約束邊界條件）的隔聲量曲線整體趨勢和緩，無明顯震蕩，較早地進入質(zhì)量控制區(qū)，因此，當(dāng)重點關(guān)注待測材料的全頻段的平均吸聲性能時，可采用無約束邊界條件；工況三（簡支邊界條件）在全頻段擬合最好，低頻段的隔聲量計算結(jié)果最接近FEM駐波管模擬法結(jié)果，高頻段趨勢平緩，因此工況三可用于全頻段隔聲量的計算。缺點在于，在結(jié)構(gòu)共振頻率附近，隔聲量曲線會出現(xiàn)明顯的峰值現(xiàn)象，在使用時需要進行人為修正。

從圖5中可以看出：FS混響室模擬法和瑞利李茲法計算的都是混響聲源激勵下的隔聲量，本質(zhì)上模擬的是混響室實驗方法；而BFS駐波管模擬法和FEM駐波管模擬法計算的是平面聲源激勵下待測材料的隔聲量，本質(zhì)上是模擬駐波管實驗方法。圖5顯示，兩種激勵下的隔聲量趨勢一致，但是混響室模擬法的隔聲量會高于駐波管模擬法的隔聲量。

圖5 BFS、FEM、FS以及瑞利李茲法隔聲量計算結(jié)果對比

綜上所述，BFS駐波管模擬法采取無邊界條件時，從平均意義上講，全頻段隔聲量計算較為準(zhǔn)確，這與王英敏對FEM駐波管模擬法研究的結(jié)論一致[6]，即邊界條件越弱，對隔聲量結(jié)果的影響就越?。贿吔缂s束越強，隔聲量曲線會出現(xiàn)大的波動，需要人為進行修正；BFS駐波管模擬法采取簡支邊界條件時與FEM駐波管模擬法隔聲量擬合最好。因此，BFS駐波管模擬法建議根據(jù)所關(guān)注的重點不同，對試件采用無約束邊界條件或者簡支邊界條件。

3 結(jié)語

為了彌補聲學(xué)材料實驗研究方法要求高、成本大的缺點，結(jié)合邊界元、有限元以及統(tǒng)計能量法的原理，提出了一種新的駐波管數(shù)值模擬方法，即BFS駐波管模擬法，給出該方法的使用條件以及實施該方法的具體試件尺寸、約束邊界條件、聲源強度等建模細(xì)節(jié)。對該方法在采用不同邊界條件時的隔聲量計算結(jié)果進行探究，通過與FEM駐波管模擬法結(jié)果的對比，驗證了該方法的有效性。研究表明：

（1）材料隔聲量研究的實驗手段需要耗費較大的人力、物力、財力，BFS駐波管模擬法利用數(shù)值模擬的方法較為準(zhǔn)確地得到待測材料全頻段的聲學(xué)性能，在產(chǎn)品研究和開發(fā)初期能夠起到有效節(jié)約成本、提高效率的作用。

（2）當(dāng)采用無約束邊界條件或簡支邊界條件時，BFS駐波管數(shù)值模擬法的隔聲量計算結(jié)果在全頻段上與FEM駐波管模擬法計算結(jié)果相當(dāng)；利用BFS駐波管數(shù)值模擬法計算得到的待測材料的隔聲量能夠保證一定的精度，可以正確反映材料的聲學(xué)性能。

（3）BFS駐波管數(shù)值模擬法能夠有效地模擬駐波管的聲學(xué)環(huán)境，并解決FEM駐波管數(shù)值模擬法震蕩嚴(yán)重、在高頻計算計算量大的問題，簡化了操作過程，在全頻段隔聲材料的性能評估方面顯示出優(yōu)勢。

總體來說，BFS駐波管模擬法是對實驗方法的有效數(shù)值模擬。在實際應(yīng)用中，可評估和計算待測材料聲學(xué)性能，作為實驗方法的輔助手段運用，還可用于復(fù)合材料的開發(fā)及聲學(xué)包的設(shè)計等工作。

[1]朱蓓麗，羅曉輝.駐波管中的隔聲量測試方法[J].噪聲與振動控制，2000，20(6)：41-43.

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BEM/FEM/SEAHybrid Method for Sound Transmission Loss Calculation ofAcoustic Materials

SHI Jia-xin,YANG De-qing,YU Yang
(Collaborative Innovation Center forAdvanced Ship and Deep-Sea Exploration, State Key Laboratory of Ocean Engineering,School of Ship,Ocean and Construction Engineering, Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

BEM-FEM-SEA hybrid method(BFS method)is proposed to simulate the standing wave tube to get the transmission loss of acoustic materials.The influence of different boundary conditions on the transmission loss is discussed. The effectiveness and accuracy of the BFS method is verified by comparing its isolation result with the results of FEM standing wave tube method,FEM-SEA reverberation simulating method and Rayleigh-Ritz method.The results show that the BFS method can accurately simulate the standing wave tube and obtain the sound insulation of the materials.In comparison with the FEM for simulation of the standing wave tube,this method can be used in the overall frequency domain with better accuracy and lower computation cost.It can make up for the shortcomings of the experimental means.It is of practical significance for research and development of new products.

:vibration and wave;BFS method;FEM method;standing wave tube method;sound transmission loss

O429

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.012

1006-1355(2016)06-0062-05

2016-07-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(51479115)

石嘉欣（1992-），女，陜西省銅川市人，碩士生，主要研究方向為船舶結(jié)構(gòu)減振降噪理論方法。

楊德慶（1968-），男，遼寧省海城市人，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:yangdeq@sjtu.edu.cn