Duffing系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔與全局特性分析

石建飛，張艷龍，王 麗，杜三山

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070； 2.蘭州城市學院 數(shù)學學院，蘭州 730070）

Duffing系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔與全局特性分析

石建飛1，張艷龍1，王 麗2，杜三山1

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070； 2.蘭州城市學院 數(shù)學學院，蘭州 730070）

通過數(shù)值計算分析Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上最大Lyapunov指數(shù)的分布特性，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上混沌運動、穩(wěn)定周期運動和各種分岔曲線的參數(shù)區(qū)域，結合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖和相圖等，討論參數(shù)耦合對系統(tǒng)動力學特性的影響和系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔與混沌過程。結果顯示在雙參數(shù)平面上由于混沌運動的參數(shù)區(qū)域被一系列的倍周期分岔曲線環(huán)包圍，導致系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)連續(xù)周期泡結構，系統(tǒng)局部分岔特性變得非常復雜；在雙參數(shù)平面上，經(jīng)叉式分岔后系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔等各種分岔曲線，使得系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后出現(xiàn)各種吸引子共存現(xiàn)象，利用多初值分叉圖和胞映射法對系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動力學特性進行詳細深入地研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)對各吸引子的穩(wěn)定性和吸引子吸引域的演變規(guī)律有重要影響。

振動與波；Duffing系統(tǒng)；雙參數(shù)特性；分岔；Lyapunov指數(shù)；全局特性

20世紀80年代以來，對非線性系統(tǒng)的研究掀起了一股熱潮，作為典型的非線性系統(tǒng)模型，Duffing系統(tǒng)一直是國內外研究的熱點[1—7]，文獻[8]研究了Duffing系統(tǒng)在簡諧激勵下發(fā)生的對稱破裂分岔與激變現(xiàn)象；文獻[9]研究了兩個自由度并且含3次耦合項的Duffing系統(tǒng)在周期性作用力下的動力學；文獻[10]研究了Duffing系統(tǒng)在加性二值噪聲作用下的隨機分岔現(xiàn)象；文獻[11]研究了級聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)的隨機共振特性；文獻[12]對基于可調頻Duffing振子的弱信號檢測方法進行了研究；文獻[13]研究了Duffing方程在隨機系數(shù)下的數(shù)值解問題；文獻[14]研究了強迫Duffing振子的反周期震蕩；文獻[15-17]對分數(shù)階Duffing系統(tǒng)的非線性動力學與混沌控制進行了一定的研究.文獻[18]對硬彈簧Duffing隔振系統(tǒng)的跳躍機理進行了研究。文獻[19]對Holmes型Duffing系統(tǒng)動力學特性進行仿真和實驗研究。近年來不少學者對Duffing系統(tǒng)進行了各種研究，并取得了大量研究成果[20-21]，但都研究系統(tǒng)在單參數(shù)條件下的動力學特性，在多參數(shù)條件下對Duffing系統(tǒng)分岔與混沌特性的研究卻鮮有文獻報道。對多參數(shù)耦合系統(tǒng)來說，系統(tǒng)在實際運動過程中不可能只受單參數(shù)的影響，而是各參數(shù)相互耦合共同作用的結果。故有必要研究Duffing系統(tǒng)在多參數(shù)耦合之下的動力學特性。

最大Lyapunov指數(shù)(top Lyapunov exponent，TLE)是判斷系統(tǒng)運動是否穩(wěn)定最直接、最有效的方法之一，通過計算Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布特性來研究系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔混沌過程以及參數(shù)耦合對系統(tǒng)動力學特性的影響。在雙參數(shù)平面上系統(tǒng)出現(xiàn)周期跳躍、叉式分岔以及倍周期分岔等各種分岔曲線，系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象，結合多初值分叉圖和胞映射法[22—23]對系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動力學特性進行了深入地研究。

1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性

研究如下Duffing方程

式中，無量綱參數(shù)a為阻尼系數(shù)、b為剛度系數(shù)、c為非線性項系數(shù)、a1為外激勵幅值、ω為外激勵角頻率、τ為初相位。給定a=0.83、b=1.0、c=0.5、τ=0.0，令ω和a1為參數(shù)變量，利用上述方法計算Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上最大李雅普諾夫指數(shù)的分布特性，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上TLE特性分布

圖中深灰色區(qū)域為系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)大于零的混沌區(qū)域；淺灰色區(qū)域為最大李雅普諾夫指數(shù)小于零的穩(wěn)定周期區(qū)域；黑色實線或虛線表示系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)近似等于零，當系統(tǒng)參數(shù)經(jīng)過該曲線時，系統(tǒng)發(fā)生分岔或跳躍。由圖知，在不同參數(shù)耦合下系統(tǒng)運動特性不同，曲線PBi(i=1，2，3，4)為系統(tǒng)叉式分岔曲線，曲線DB1和DB2為倍周期分岔曲線，虛線S1為周期跳躍曲線；在曲線S1左邊系統(tǒng)出現(xiàn)兩條叉式分岔曲線PB2和PB3，當系統(tǒng)參數(shù)落在曲線PB2和PB3之間時，系統(tǒng)對初值具有較強的敏感性，即存在吸引子共存的現(xiàn)象（后面詳細分析），而在S1左邊其它區(qū)域內系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期一運動；在曲線S1右邊系統(tǒng)出現(xiàn)了叉式分岔曲線PB1，隨ω的增加系統(tǒng)經(jīng)PB1之后出現(xiàn)倍周期分岔曲線環(huán)DB1和DB2以及由倍周期分岔曲線環(huán)所包圍的混沌區(qū)域，在混沌區(qū)域內系統(tǒng)又出現(xiàn)了淺灰色周期區(qū)域和叉式分岔曲線PB4；在叉式分岔曲線PB1右邊整個區(qū)域內系統(tǒng)對初值具有較強的敏感性。系統(tǒng)參數(shù)經(jīng)過叉式分岔曲線PB1后，系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性變得非常復雜。下面結合單參數(shù)分叉圖具體分析。

在叉式分岔曲線PB1右邊區(qū)域內，由于系統(tǒng)在倍周期分岔曲線環(huán)內不斷嵌套倍周期分岔曲線環(huán)，導致系統(tǒng)最終經(jīng)倍周期分岔序列進入混沌運動，造成系統(tǒng)單參數(shù)分岔具有連續(xù)的周期泡結構，保持其它參數(shù)與圖1一致，分別取a1的值為4.45、4.25、4.14和4.1，ω∈(1.8，2.8)計算系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖如圖2所示，隨ω增加，圖2(a)系統(tǒng)由周期一倍化為周期二運動，后又退化為周期一運動；圖2(b)系統(tǒng)由周期一倍化為周期二運動，再由周期二倍化為周期四運動，后由周期四退化為周期二運動，最后由周期二退化為周期一運動；圖2(c)系統(tǒng)由周期一經(jīng)倍周期分岔序列倍化為周期八運動，隨后由周期八運動經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期一運動；圖2(d)系統(tǒng)由周期一經(jīng)倍周期分岔序列進入混沌運動，隨后由混沌運動經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期一運動；系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性變得非常復雜。

在雙參數(shù)平面ω-a1上，系統(tǒng)在混沌區(qū)域內出現(xiàn)了淺灰色周期三區(qū)域，在該周期三區(qū)域內系統(tǒng)又出現(xiàn)了叉式分岔曲線PB4，在PB4左邊區(qū)域內系統(tǒng)周期三運動不穩(wěn)定，對初值具有較強的敏感性；在PB4右邊區(qū)域內系統(tǒng)為穩(wěn)定周期三運動。保持其它參數(shù)與圖1一致，取a1=2.65、ω∈(1.2，3)計算系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖如圖3(a)所示，圖3(b)為其相應TLE圖。

隨ω的增加，系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔曲線PB1后由周期一運動經(jīng)倍周期分岔序列進入混沌運動，對應圖1中系統(tǒng)經(jīng)過叉式分岔曲線PB1后，經(jīng)倍周期分岔曲線環(huán)DB1和DB2等進入混沌運動；當ω繼續(xù)增加時系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)逆倍周期分岔序列退化為不穩(wěn)定的周期三運動，該周期三運動對初值具有較強的敏感性，在不同初值條件下系統(tǒng)相軌圖不同，其它參數(shù)保持不變，取ω=1.58計算系統(tǒng)在不同初值條件下的相圖如圖4(a)中粗實線和細實線所示；隨ω進一步增加，系統(tǒng)經(jīng)過逆叉式分岔曲線PB4由不穩(wěn)定周期三運動變?yōu)榉€(wěn)定周期三運動，其相圖如圖4(b)所示。

圖2 系統(tǒng)周期泡結構在ω∈(1.8， 2.8)時系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖

圖3 a1=2.65、ω∈(1.2，3.0)時系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖和相應TLE圖

隨ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)由周期三運動進入混沌運動，最后經(jīng)逆倍化分岔序列退化為穩(wěn)定周期一運動，對應圖1中，隨ω的增加系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)倍周期分岔曲線環(huán)退化為穩(wěn)定周期一運動。圖3系統(tǒng)分岔點位置及分岔趨勢與圖1中當a1=2.65、ω∈(1.2，3)時相吻合。

圖4 系統(tǒng)相圖

由以上分析得知，通過計算系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的TLE得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面ω-a1上各種分岔曲線、穩(wěn)定周期運動以及混沌運動的參數(shù)區(qū)域；在周期跳躍曲線S1左邊，系統(tǒng)在大部分參數(shù)區(qū)域內為穩(wěn)定周期一運動，而在叉式分岔曲線PB2和PB3之間的參數(shù)區(qū)域內系統(tǒng)為不穩(wěn)定周期一運動；在周期跳躍曲線S1右邊，經(jīng)叉式分岔曲線PB1后系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔曲線環(huán)DB1、DB2等和由這些倍周期分岔曲線所包圍的混沌運動，在混沌區(qū)域內系統(tǒng)又出現(xiàn)了周期三運動和叉式分岔曲線PB4，使得系統(tǒng)在曲線S1右邊部分參數(shù)范圍內的分岔特性變得極為復雜。

2 系統(tǒng)全局動力學特性分析

在圖1中保持其它參數(shù)不變，取a1=5.1計算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應TLE圖如圖5(a)和5(b)所示。

圖5(a)中隨ω的增加，系統(tǒng)在ω=0.787時發(fā)生叉式分岔，對應圖1中叉式分岔曲線PB2，系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，隨ω繼續(xù)增加，當ω=0.897時系統(tǒng)發(fā)生逆叉式分岔，其缺邊現(xiàn)象消失，對應圖1中叉式分岔曲線PB3；當ω增加到1.771時系統(tǒng)發(fā)生一次跳躍，跳躍前后系統(tǒng)均為周期一運動，對應圖1中的周期跳躍曲線S1；ω進一步增加，當ω=1.914時系統(tǒng)再次發(fā)生叉式分岔，其單參數(shù)分岔圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，對應圖1中叉式分岔曲線PB1；隨ω進一步增加，當ω=2.223時系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，由周期一運動倍化為周期二運動，隨后當ω=2.625時系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，由周期二退化為周期一運動，對應圖1中，隨ω的增加，系統(tǒng)先后經(jīng)過倍周期分岔曲線環(huán)DB1。由以上分析知，系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖與圖1相對應；在雙參數(shù)平面上系統(tǒng)經(jīng)過叉式分岔曲線后，其單參數(shù)分叉圖出現(xiàn)缺邊現(xiàn)象，系統(tǒng)對初值具有較強的敏感性，在不同初值條件下系統(tǒng)可能會運動到不同的吸引子上。下面利用多初值分岔圖并結合簡單胞映射法對系統(tǒng)全局動力學特性進行詳細分析。

圖5 a1=5.1、ω∈(0.05，3.5)時系統(tǒng)單參數(shù)分叉圖和相應TLE圖

圖5(a)中保持其它參數(shù)不變，分別取ω∈(0.7，1.0)和ω∈(1.5，3.5)計算系統(tǒng)隨ω變化的多初值分叉圖如圖6(a)和圖6(b)所示，系統(tǒng)在多初值條件下其分叉圖上經(jīng)叉式分岔點后缺失的邊出現(xiàn)，表明系統(tǒng)在該叉式分岔點后出現(xiàn)多吸引子共存現(xiàn)象。

圖6(a)中，保持其它參數(shù)不變，取ω=0.8，研究考擦區(qū)域定義為x∈(-5，5)、∈(-5，5)，利用簡單胞映射法計算系統(tǒng)在考察區(qū)域內各吸引子的吸引域如圖7(a)所示，圖中白色+代表周期一P1的吸引子，淺灰色區(qū)域為其吸引子的吸引域；白色×代表另一周期一Q1的吸引子，黑色區(qū)域為其吸引子的吸引域；由圖知淺灰色區(qū)域與黑色區(qū)域形狀相似且相互嵌套在一起，黑色區(qū)域面積較淺灰色大，表明系統(tǒng)在該考擦區(qū)域內吸引子Q1的穩(wěn)定性較P1強。

圖6 系統(tǒng)多初值分岔圖

圖6(b)中，當ω=1.914時系統(tǒng)經(jīng)過叉式分岔曲線PB1，出現(xiàn)兩周期一吸引子共存的現(xiàn)象，隨ω的增加，當ω=2.223時系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，出現(xiàn)了兩個周期二吸引子共存的現(xiàn)象，當ω=2.625時系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，系統(tǒng)又出現(xiàn)了兩個周期一吸引子共存的現(xiàn)象。保持其它參數(shù)不變，分別取ω的值為2.15、2.5和2.75計算系統(tǒng)在考察區(qū)域x∈(-3，3)、∈(-3，3)內各吸引子的吸引域分別如圖7(b)、7(c)和7(d)所示。

在圖7(b)中存在兩周期一吸引子P1和Q1共存的情況，其中白色×代表周期一P1的吸引子，淺灰色區(qū)域為其吸引子的吸引域；白色+代表周期一Q1的吸引子，黑色區(qū)域為其吸引子的吸引域。由圖知淺灰色區(qū)域與黑色區(qū)域相互嵌套并纏繞在一起，表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下兩吸引子的全局動力學特性都不穩(wěn)定，初值的稍微變動都能使系統(tǒng)運動到不同的吸引子上；在圖7(c)中，由于倍化分岔的原因系統(tǒng)存在兩周期二吸引子P2與Q2共存的情況，其中白色×為P2的吸引子，淺灰色區(qū)域為其吸引子的吸引域；白色+為Q2的吸引子，黑色區(qū)域為其吸引子的吸引域；對比7(b)，在圖7(c)中各吸引子吸引域的相互嵌套和纏繞度有所降低，各吸引子的吸引域不斷集中，其穩(wěn)定性有所增強，此外在考察區(qū)域內各吸引子吸引域的形狀由中心向外不斷擴大；在圖7(d)中，由于逆倍化分岔的原因，系統(tǒng)又出現(xiàn)兩周期一吸引子共存的現(xiàn)象，對比圖7(b)和7(c)，各吸引子吸引域的形狀由中心向外逐漸擴展，且各吸引子吸引域的分布變得比較集中，使各吸引子穩(wěn)定性逐漸提高。

由以上分析得知，系統(tǒng)經(jīng)過叉式分岔后出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象，通過計算系統(tǒng)各吸引子吸引域發(fā)現(xiàn)其吸引域的拓撲結構相似且相互嵌套并纏繞在一起，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性降低；隨參數(shù)ω的增加，各吸引子吸引域不斷集中，且由中心向外逐漸擴展，使得系統(tǒng)各吸引子的穩(wěn)定性有所增強。

3 結語

給出了系統(tǒng)在參數(shù)空間TLE的計算方法，這種方法不但計算簡單而且實用性很強，對高維系統(tǒng)同樣適用。數(shù)值計算了Duffing系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布特性，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上混沌運動、穩(wěn)定周期運動和各種分岔曲線的參數(shù)區(qū)域；結合單參數(shù)分岔圖和相圖，詳細分析了系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔混沌過程，在雙參數(shù)平面上混沌運動的參數(shù)區(qū)域被一系列倍周期分岔曲線環(huán)包圍，導致系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖具有連續(xù)的周期泡結構；在混沌運動參數(shù)區(qū)域內，系統(tǒng)出現(xiàn)了周期三運動參數(shù)區(qū)域和叉式分岔曲線PB4，周期三區(qū)域被曲線PB4分成左右兩部分，左邊區(qū)域周期三運動不穩(wěn)定，右邊區(qū)域周期三運動穩(wěn)定。

利用多初值分岔圖和簡單胞映射法，對系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后的全局動力學特性進行了詳細深入的分析，在多初值條件下在分岔圖上系統(tǒng)經(jīng)叉式分岔后缺失的邊出現(xiàn)；系統(tǒng)叉式分岔點之后存在多吸引子共存現(xiàn)象，通過計算各吸引子的吸引域，詳細深入地研究了各吸引子在考察區(qū)域內的穩(wěn)定性以及隨ω變化時各吸引子吸引域的演變規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)隨ω的增加系統(tǒng)各吸引子的穩(wěn)定性逐漸增強，各吸引子的吸引域面積不斷集中。

圖7 吸引子的吸引域

利用系統(tǒng)在參數(shù)平面上TLE的分布特性來研究非線性系統(tǒng)具有一定的有效性和可行性，以上研究對多參數(shù)耦合系統(tǒng)在較寬條件下的非線性動力學行為研究及混沌控制具有參考價值。

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Double-parameter Bifurcation and Global Characteristic Analysis of Duffing Systems

SHI Jian-fei1,ZHANG Yan-long1,WANG Li2,DU San-shan1
(1.School of Mechanical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China; 2.School of Mathematics,Lanzhou City University,Lanzhou 730070,China)

The distribution characteristics of the Top Lyapunov exponent of Duffing systems on the double-parameter plane are calculated.The parameter areas of the chaotic motion,the stable periodic motion and the various bifurcation curves are obtained on the double-parameter plane.Combined with the system single-parameter bifurcation diagram and the phase diagram,the bifurcation and chaos process on the double parameter plane and the influence of parameter-coupling on system dynamic performance are discussed.The results show that the parameter region of the chaotic motion is surrounded by a series of double periodic bifurcation curves,therefore the continuous bubble structures appear in the system single-parameter bifurcation diagrams and the local bifurcation characteristics become very complicated.In the double parameter plane, various bifurcation curves,for example the period-doubling bifurcation curves,occur after the pitchfork bifurcation curve, which leads to the phenomenon of various attractors coexistence after the pitchfork bifurcation.The system global dynamic characteristics are studied by using multi-initial value bifurcation diagrams and the cell-to-cell mapping method.It is found that the system parameters have an important influence on the stability of the attractors and the evolution of the attractor domains.

:vibration and wave;Duffing system;double-parameter character;bifurcation;Lyapunov exponent;global dynamic characteristic

O322

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.007

1006-1355(2016)06-0032-06+50

2016-06-08

國家自然科學基金項目(11302092)

石建飛（1990-），男，甘肅省隴南市人，碩士生，主要研究方向為非線性動力學及控制。E-mail:sjf0214286@126.com

張艷龍（1981-），男，河北省圍場縣人，副教授，碩士生導師。E-mail:zhangyl@mail.lzjtu.cn