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    逆問題的分解方法

    2009-03-10 06:01:18
    國外科技新書評介 2009年1期
    關(guān)鍵詞:散射體刻畫形狀

    Andreas Kirsch Institute of Algebra and

    Geometry University of Karlsruhe(TH)

    Karlsruhe, Germany

    The Factorization Method

    for Inverse Problems

    2008, 201pp.

    Hardcover

    ISBN:9780199213535

    Oxford University Press

    A.Kirsch等著

    逆問題廣泛出現(xiàn)于物理、生物、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域,在地震探測、光學(xué)、圖像處理、醫(yī)學(xué)成像、語音處理等問題中有著廣泛的應(yīng)用。逆問題中有很大一類是形狀確定問題,也就是如何利用探測到的數(shù)據(jù)去計算一個未知區(qū)域的邊界,例如利用聲波、電磁波或者彈性波的遠(yuǎn)場或近場數(shù)據(jù)去探測未知物體形狀的反散射問題,通過物體表層電勢的變化來反演內(nèi)部電導(dǎo)率異常區(qū)域的電阻尼成像(Elecctric Impedance Tomography)技術(shù)都屬于這一類問題。這類問題一般是非線性和不適定的。

    本書是介紹如何反演未知區(qū)域形狀的一本專著,所介紹的分解方法是近年發(fā)展起來的通過數(shù)值計算來反演區(qū)域邊界的一種非迭代方法。與傳統(tǒng)的迭代方法相比,分解方法的典型特征是它在不依賴于邊界條件和區(qū)域的拓?fù)湫再|(zhì)的基礎(chǔ)上,通過算子分解提出了刻畫未知區(qū)域邊界的充分必要條件,這種刻畫使得在數(shù)值計算方面更加迅速和準(zhǔn)確。分解方法是在線性采樣方法的基礎(chǔ)上建立起來的,但比線性采樣方法有更強的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。閱讀本書需要有扎實的泛函分析基礎(chǔ),同時對索伯列夫函數(shù)空間要有深刻的認(rèn)識。

    全書共分7章。1M4章主要介紹分解方法在三維聲學(xué)逆散射中的應(yīng)用。在這種聲學(xué)模型中,波的傳播可以用純量Helmholtz方程來刻畫,1M3章用于處理不可穿透散射體的Dirichlet、Neumann、 Robin以及混合邊界條件,第4章研究可穿透散射體(非齊次介質(zhì))的情形。第5M6章分別介紹分解方法在時諧電磁波反散射和阻尼成像問題中的應(yīng)用。第7章介紹反演區(qū)域幾何形狀的其它方法,包括線性采樣(Linear Sampling)方法、奇異點源(Singular Point Source)方法和探測(Probe )方法,以及這些方法和分解方法之間的聯(lián)系。

    由于分解方法的準(zhǔn)確和高效,該方法在周期散射、彈性介質(zhì)、光學(xué)成像等問題中不斷得到推廣和應(yīng)用。該書分章節(jié)著重介紹了分解方法在各個領(lǐng)域的應(yīng)用,給出了處理不同問題的不同數(shù)學(xué)模型。

    這本專著的作者之一A.Kirsch是電磁反散射領(lǐng)域知名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家,他和N.Grinberg所在的德國 Karlsruhe大學(xué)代數(shù)與幾何研究所逆問題課題組也是世界上知名的研究小組,近年來在逆問題理論和數(shù)值計算方面取得了很多結(jié)果。

    該書敘述嚴(yán)謹(jǐn)縝密,有很強的實用價值,因而很適合數(shù)學(xué)、物理學(xué)、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程等方面需要處理逆問題的研究生和其他科研工作者閱讀參考。

    胡廣輝,博士生

    (中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)所)

    Hu Guanghui, Doctoral Candidate

    (Institute of Applied Mathematics, CAS)

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