厘清數(shù)學思想方法突破學習重點難點

鄭金華

“走進圖形世界”是同學們進入初中后第一個接觸到的幾何章節(jié)，從我們生活的現(xiàn)實世界出發(fā)，認識各種各樣基本的幾何圖形、幾何體，無論多么復雜的現(xiàn)實世界其實都是由簡單的幾何圖形、幾何體組成的.在探索圖形世界時，遇到難題，如果能夠正確把握數(shù)學中的思想方法，則能開闊思路，達到事半功倍的效果，接下來講一講幾種數(shù)學思想方法在解決本章重難點問題中的作用.

例1 如圖所示，大圓的半徑是2厘米，以大圓半徑為直徑在上下兩側(cè)畫了兩個半圓，求圖中陰影部分的面積.

【分析】將圖中右下方位置的半個小圓旋轉(zhuǎn)到左上方位置的半個小圓處，所以圖中陰影部分的面積等于大圓面積的一半，大圓的半徑是2厘米.

解：S陰影=[12]S半圓=[12]π×22=2π（平方厘米）.

故答案為：2π（平方厘米）.

【點評】此題陰影部分的面積是一個不規(guī)則圖形，仔細觀察兩個小半圓，它們的直徑相等，所以面積也相等，于是我們想到把右下方位置的半個小圓（陰影部分）繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180° 到左上方位置的半個小圓（空白部分）處，從而陰影部分就變成了半個大圓.在求解圖形面積時，經(jīng)常會遇到此類不能直接求或圖形不規(guī)則的問題，我們需要換個角度去解決問題，通過分割（添輔助線）、變動（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等）其中某部分圖形的位置把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成幾個規(guī)則圖形面積和、差的形式來進行計算.此題還利用了圖形三種運動變換：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，其基本性質(zhì)：不改變運動前后圖形的大小和形狀.因此，圖形的運動變換不改變圖形面積的大小.

例2 探究學習：正方體切一刀（用平面去截），剩下的部分有幾個面？幾條棱？幾個頂點？

【分析】截后剩余的幾何體形狀有多種情況，關(guān)鍵看這一刀是如何切的，切面可能是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，在分類討論時要找準這一分類依據(jù)，再逐層探究，并力求最簡化.

① 7個面，15條棱，10個頂點；

② 7個面，13條棱，8個頂點；

③ 7個面，14條棱，9個頂點；

④ 7個面，12條棱，7個頂點；

⑤ 7個面，15條棱，10個頂點；

⑥ 6個面，12條棱，8個頂點；

⑦ 6個面，12條棱，8個頂點；

⑧ 5個面，9條棱，6個頂點；

⑨ 7個面，13條棱，8個頂點；

⑩ 7個面，14條棱，9個頂點；

11 6個面，12條棱，8個頂點；

12 7個面，15條棱，10個頂點；

13 4個面，6條棱，4個頂點.

綜上所述：（1）當有7個面時，有12條棱，7個頂點；或13條棱，8個頂點；或14條棱，9個頂點；或15條棱，10個頂點.（2）當有6個面時，有12條棱，8個頂點.（3）當有5個面時，有9條棱，6個頂點.（4）當有4個面時，有6條棱，4個頂點.

【點評】本題考查用一個平面去截幾何體，需要同學們有很強的空間想象能力，很具有挑戰(zhàn)性，截面的形狀是分類討論的關(guān)鍵. 截面是三角形的有：①②③④13；截面是四邊形的有：⑤⑥⑦⑧⑨；截面是五邊形的有：⑩11；截面是六邊形的是：12.在以邊數(shù)不同的多邊形截面作為分類依據(jù)時，還要結(jié)合截面頂點恰好是多少正方體頂點的個數(shù)再分級深入進行更細致的討論. 此題的歸納部分是解題的重中之重，雖然分類討論有很多種情況，但其中有一些是重復出現(xiàn)的，歸納時我們要科學羅列.

對于這類有較大難度的題型，大家在完成思考后最好再用蘿卜、橡皮泥之類的模擬正方體切一切，真實的操作不僅能讓你體會到切面必須是一個平面，還能讓你驗證自己的猜想是否正確，分類討論是否全面.

例3 如圖，一只蜘蛛在油桶的點A處，點B處有一只蒼蠅，蜘蛛想要過去把蒼蠅吃掉，那么蜘蛛應走怎樣的路線才能在最短時間捕獲蒼蠅呢？

【分析】首先將圓柱側(cè)面展開成矩形，再在矩形的長上找到點B的對應點B′，也就是矩形長的中點，最后連接AB′，線段AB′的長度即為所求最短距離.

解：

【點評】這個問題的本質(zhì)是在圓柱的側(cè)面上尋找路線，而圓柱的側(cè)面是一個曲面，在曲面上找到的路線就是曲線，大家目前所掌握的經(jīng)驗不足以求解曲線的長度，那么怎樣才能把曲面、曲線的問題轉(zhuǎn)化成平面、線段的問題解決呢？大部分同學在學過簡單幾何體的展開與折疊內(nèi)容后自然會聯(lián)想到去展開圓柱的側(cè)面，這里尋找點B的對應點B′是解決問題的重點也是難點，很多人極易誤認為B′是矩形的頂點.突破這一難點的關(guān)鍵是，圓柱側(cè)面展開后，圓柱上、下兩底面的圓周長為矩形上、下的兩條長邊，而點B在展開后是在矩形長邊的中點位置.此外，本題得以解決還依賴于這樣一個基本事實：兩點之間，線段最短.

例4 用7個小正方體堆在水平桌面上，堆出的幾何體主視圖和左視圖如下，則小正方體的堆放共有 種不同方式？

【分析】此題小正方體的個數(shù)是固定的，但只有兩個視圖不能確定小正方體堆放的位置，我們需要尋找堆放的規(guī)律.由于滿足條件的方式太多，沒辦法一一列舉，我們需要建構(gòu)解決這類問題的模型.

解：根據(jù)主視圖和左視圖，我們發(fā)現(xiàn)俯視圖是4×2（長×寬）的矩形，這里標注3的位置，其垂直位置是必須要堆放3個小正方體的，剩下的我們用字母a，b，c，d，e，f，g來表示其垂直位置上小正方體的個數(shù).

然后我們要考慮余下來的4個小正方體如何擺放. 在（a，d）兩位置中必須擺放1個，（b，e）兩位置中必須擺放1個，（c，g）兩位置中必須擺放1個，剩余的1個小正方體在底層留下來的四個空位中任選一個，于是小正方體擺放的方式一共是2×2×2×4=32種.

【點評】此類三視圖問題蘊含著構(gòu)建數(shù)學模型、用字母代表數(shù)、排列與組合等復雜的數(shù)學活動，這是本章“走進圖形世界”的難點內(nèi)容，學有余力的同學，不妨嘗試用這樣的方法解決類似的題目，肯定能找到解決問題的訣竅，收獲成功的喜悅.

同學們看完以上四例，能否很快與相應的數(shù)學思想聯(lián)系起來？用微信掃描二維碼，查看你的答案是否正確.

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)呂墅中學）