巧用圓錐曲線的定義求最值

基本題型 已知[A（4，0），B（2，2）]是橢圓[x225+y29=1]內(nèi)的兩個點，[M]是橢圓上的動點，求[MA+MB]的最大值和最小值.

分析 很容易聯(lián)想到三角形邊的關系，但無論[A，M，B]三點是否共線，總有[MA+MB>AB]，故取不到等號. 而利用橢圓定義合理轉化起到了“柳暗花明又一村”的作用.

解 由已知得，[A（4，0）]是橢圓的右焦點，設左焦點為[F（-4，0）]，根據(jù)橢圓定義可得，

[MA+MB=2a-MF+MB=10-MF+MB.]

因為[MB-MF≤FB=210]，

所以[MB-MF∈[-210，210]].

故[MA+MB]的最小值和最大值分別為[10-210]和[10+210].

點評 涉及橢圓焦點的題目，運用橢圓的定義進行轉化，使得復雜問題簡單化.

單變量最值問題

建立目標函數(shù)求解圓錐曲線的范圍、最值問題，是常規(guī)方法，關鍵是選擇恰當?shù)淖兞繛樽宰兞?

例1 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線[x+y+1=0]與以橢圓[C]的右焦點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設[P]為橢圓上一點，若過點[M（2，0）]的直線[l]與橢圓[E]相交于不同的兩點[S]和[T]，且滿足[OS+OT=tOP] （[O]為坐標原點），求實數(shù)[t]的取值范圍.

解析 （1）以橢圓[C]的右焦點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為：[（x-c）2+y2=a2].

故圓心到直線[x+y+1=0]的距離[d=|c+1|2=a.]（*）

因為橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

所以[a=2c]，代入（*）式得，

所以[b=1]，[a=2].

故所求橢圓方程為[x22+y2=1].

（2）由題意知，直線[l]的斜率存在，設直線[l]方程為[y=k（x-2）]，[P（x0，y0）].

將直線方程代入橢圓方程得，

[（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0.]

∴[Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8>0.]

∴[k2<12.]

設[S（x1，y1），T（x2，y2）]，

則[x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.]

當[k=0]時，直線[l]的方程為[y=0]，此時[t=0]，[OS+OT=tOP]成立，故[t=0]符合題意.

當[t≠0]時，[tx0=x1+x2=8k21+2k2，ty0=y1+y2=-4k1+2k2.]

∴[x0=1t?8k21+2k2，y0=1t?-4k1+2k2.]

將上式代入橢圓方程得，

[32k4t21+2k22+16k2t21+2k22=1].

整理得，[t2=16k21+2k2.]

由[k2<12]知，[0

所以[t∈-2，2].

點評 確定橢圓方程需要兩個獨立條件，需從題中挖掘關于[a，b，c]的等量關系. 對于直線和橢圓的位置關系問題，往往要利用韋達定理設而不求，利用點[P]在橢圓上和向量式得[t=f（k）]，進而求函數(shù)的值域.

二元變量最值問題

利用點在二次曲線上，將二元函數(shù)的最值問題轉化為一元函數(shù)的最值問題來處理.

例2 已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點為[F1，F(xiàn)2]，其離心率[e=12]，點[P]為橢圓上的一個動點，[△PF1F2]的內(nèi)切圓面積的最大值為[4π3].

（1）求[a，b]的值；

（2）若[A，B，C，D]是橢圓上不重合的四個點，且滿足[F1A//F1C， F1B//F1D， AC?BD=0]，求[AC+BD]的取值范圍.

解析 （1）當[P]為橢圓的下頂點時，[△PF1F2]的內(nèi)切圓面積取得最大值，設[△PF1F2]的內(nèi)切圓半徑為[r].

[∵4π3=πr2，∴r=233].

[∴S△PF1F2=12F1F2?b=bc=12（F1F2+PF1+PF2）r]

[=12（2c+2a）×233].

即[bc=233（a+c）].

又[ca=12，a2=b2+c2]，

聯(lián)立解得，[a=4，b=2，c=23].

（2）∵[F1A//F1C，F(xiàn)1B//F1D，AC?BD=0]，

∴直線[AC，BD]垂直相交于點[F1].

由（1）知，橢圓方程[x216+y212=1]，[F1（-2，0）].

①當直線[AC，BD]中有一條直線的斜率不存在時，[AC+BD=6+8=14].

②當直線[AC]的斜率存在且不為0時，設其方程為[y=kx+2，Ax1，y1，Cx2，y2]，

聯(lián)立[y=kx+2，x216+y212=1]得，

[3+4k2x2+16k2x+16k2-48=0].

[∴x1+x2=-16k23+4k2，x1x2=16k2-483+4k2].

[∴AC=1+k2x1+x22-4x1x2=241+k23+4k2].

設直線[BD]的方程為[y=-1k（x+2）]，

同理可得，[BD=241+k24+3k2].

[∴AC+BD=1681+k224+3k2?3+4k2].

設[t=k2+1k≠0，]則[t>1.]

[∴AC+BD=16812+t-1t2，t>1.]

[∵0

綜上可得，[AC+BD]的取值范圍是[[967，14]].

點評 直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關于[x]（或[y]）的一元二次方程，設出交點坐標[Ax1，y1，Cx2，y2]，利用韋達定理得出坐標的關系，同時注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關于參數(shù)的不等關系），然后將所求轉化到參數(shù)上再求解. 如本題先求[AC+BD=][1681+k224+3k2?3+4k2]，然后求值域即可. 圓錐曲線問題中，參數(shù)多、字母多、運算繁瑣，應注意設而不求思想和整體思想的應用.

雙參數(shù)最值問題

此類問題往往有三種類型：（1）建立兩個參數(shù)之間的等量關系和不等式關系，通過整體消元得到參數(shù)的取值范圍；（2）建立兩個參數(shù)的等量關系，通過分離參數(shù)，借助一個參數(shù)的范圍，確定另一個參數(shù)的取值范圍；（3）建立兩個參數(shù)的等量關系，通過選取一個參數(shù)為自變量，另一個參數(shù)為變量（主元思想），從而確定參數(shù)的取值范圍.

例3 在平面直角坐標系[xOy]中，已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的離心率[e=32]，且橢圓[C]上一點[N]到點[Q（0，3）]的距離最大值為4，過點[M（3，0）]的直線交橢圓[C]于點[A，B].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）設[P]為橢圓上一點，且滿足[OA+OB=tOP]（[O]為坐標原點），當[AB<3]時，求實數(shù)[t]的取值范圍.

解析 （1）[∵e2=a2-b2a2=34，]

[∴a2=4b2.]

則橢圓方程為[x24b2+y2b2=1]，即[x2+4y2=4b2].

設[N（x，y）]，

則[NQ=x-02+y-32]

[=4b2-4y2+y-32]

[=-3y2-6y+4b2+9]

[=-3y+12+4b2+12].

當[y=-1]時，

[NQ]有最大值為[4b2+12=4].

解得，[b2=1.] [∴a2=4.]

[∴]橢圓方程是[x24+y2=1] .

（2）設[A（x1，y1），][B（x2，y2），][P（x，y），][AB]的方程為[y=k（x-3），]

由[y=k（x-3），x24+y2=1]整理得，

[（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0.]

由[Δ=242k4-4（1+4k2）（36k2-4）]得，[k2<15].

又[x1+x2=24k21+4k2，x1x2=36k2-41+4k2]，

∴[OA+OB=（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）].

則[x=1t（x1+x2）=24k2t（1+4k2）]，

[y=1t（y1+y2）=1t[k（x1+x2）-6k]=-6k2t（1+4k2）].

又點[P]在橢圓上，則[（24k2）2t2（1+4k2）2+144k2t2（1+4k2）2=4.]

化簡得，[36k2=t2（1+4k2）]. ①

又[|AB|=1+k2|x1-x2|<3]，

即[（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]<3.]

將[x1+x2]，[x1x2]代入得，

[（1+k2）[242k4（1+4k2）2-4（36k2-4）1+4k2]<3，]

化簡得，[（8k2-1）（16k2+13）>0，]

則[8k2-1>0， 即k2>18.]

∴[18

由①得，[t2=36k21+4k2=9-91+4k2.]

聯(lián)立②解得，[3

∴[-2

點評 第（1）問轉化為求二次函數(shù)最大值后，要注意變量的取值范圍；第（2）問利用點[P]在橢圓上和已知向量等式得到變量[k， t]的等量關系和不等關系，聯(lián)立求參數(shù)[t]的取值范圍.