在數(shù)學(xué)實驗中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——《釘子板上的多邊形》教學(xué)

田媛媛 韋波富（特級教師）

【教材內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊。

【教學(xué)過程】

一、圍一圍，提出初步猜想

1．圍一圍。

（1）（課件出示圖 1）認(rèn)識這個嗎？（這是釘子板）

（2）（課件依次在釘子板上圍出3個大小、形狀各不相同的長方形）老師在釘子板上圍了三個長方形，看看哪個面積最大，哪個面積最小？

2.猜一猜。

（1）剛才我們圍了三個大小不同的長方形，你覺得在釘子板上圍出的長方形的面積可能跟什么有關(guān)系？說說你這樣猜想的理由。

（2）揭題：多邊形的面積和內(nèi)部釘子數(shù)、邊上釘子數(shù)之間究竟有什么關(guān)系呢？今天這節(jié)課我們就來研究釘子板上的多邊形。（板書課題：釘子板上的多邊形）

3.變一變。

為了研究方便，我們把釘子板上的釘子用點表示，釘子板就變成了點子圖。

【設(shè)計意圖：從認(rèn)識釘子板開始，感知圍成的圖形面積的大小，并引導(dǎo)學(xué)生猜想：在釘子板上圍成的圖形面積的大小可能與什么有關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)象思考產(chǎn)生變化的內(nèi)在因素，為接下來的實驗研究確定方向。釘子板變身點子圖，是一次抽象，是數(shù)學(xué)化的過程，這一過程也是數(shù)學(xué)研究活動的經(jīng)驗。】

二、示范實驗，探索“多邊形內(nèi)部是1枚釘子”的規(guī)律

1.計算，收集數(shù)據(jù)。

（1）（課件出示4個圖形）我們先從一組簡單的圖形開始研究。

（2）（出示下表 1）要研究這4個圖形面積跟內(nèi)部釘子數(shù)、邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，你覺得我們需要哪些數(shù)據(jù)？（根據(jù)學(xué)生的回答，形成下表2）

表1

表2

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生收集數(shù)據(jù)，形成表3。

表3

2．比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）有了這些數(shù)據(jù)，接下來干什么？（找規(guī)律）觀察表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（內(nèi)部都只有1枚釘子、多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積數(shù)的2倍）

（2）老師引導(dǎo)學(xué)生逐一核對，確認(rèn)四個圖形都符合這一規(guī)律。

（3）這個發(fā)現(xiàn)我們還可以用含有字母的式子來表示。如果用a表示多邊形內(nèi)部釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，用n表示多邊形邊上釘子數(shù)，那么S=？(板書：S=n÷2)

3．沖突，凸顯前提。

（1）（課件出示上圖）我們再來看幅圖，數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)是多少？（n=8）根據(jù)剛才的規(guī)律，面積是多少？（S=4）數(shù)一數(shù)圖形的面積是多少？（S=5）怎么回事??？（剛才的多邊形內(nèi)部都只有1枚釘子，而現(xiàn)在這個多邊形的內(nèi)部有兩枚釘子）

（2）現(xiàn)在對于S=n÷2這個結(jié)論你有什么前提條件需要補充的？（只有多邊形內(nèi)部是1枚釘子的多邊形，面積是邊上釘子數(shù)的一半）

完善板書：當(dāng)a=1時，S=n÷2+1

4.舉例，驗證規(guī)律。

是不是所有內(nèi)部只有1枚釘子的多邊形都符合這個規(guī)律呢？你準(zhǔn)備怎樣驗證？（在點子圖上任意畫一個內(nèi)部只有1枚釘子的多邊形，先算面積，再數(shù)邊上的釘子數(shù)，看看是否符合規(guī)律。）

【設(shè)計意圖：從收集數(shù)據(jù)——尋找規(guī)律——驗證規(guī)律，在老師的引導(dǎo)下學(xué)生經(jīng)歷了實驗研究的一般過程，為下面的實驗提供了方法上的指導(dǎo)?！靶枰占男?shù)據(jù)”“有了數(shù)據(jù)，接下來干什么”“你準(zhǔn)備怎樣驗證”等問題的提出突出了實驗中的關(guān)鍵元素、實驗的目的以及驗證的方法。而這些對于學(xué)生來說是極其寶貴的經(jīng)歷和經(jīng)驗。在這一環(huán)節(jié)學(xué)生建立了內(nèi)部釘子數(shù)為1時，多邊形面積與邊上釘子數(shù)之間關(guān)系的模型?！?/p>

三、嘗試實驗，探索“多邊形內(nèi)部是2枚釘子”的規(guī)律

1.討論實驗方法。

（1）剛才我們研究的是內(nèi)部只有1枚釘子的多邊形，接下來你們想研究什么？（研究內(nèi)部是2枚釘子的）出示：實驗單一（如下表）

（2）討論：你準(zhǔn)備怎么研究呢？根據(jù)學(xué)生的回答依次在實驗單中顯示實驗步驟以及4個圖形（如下表）：

2.合作完成實驗。

（1）要求：同桌合作收集數(shù)據(jù)填入實驗單中，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫實驗結(jié)果。

（2）匯報交流。根據(jù)學(xué)生的回答板書：當(dāng)a=2時，S=n÷2+1。

【設(shè)計意圖：“接下來你們想研究什么”體現(xiàn)了問題由學(xué)生提出的教學(xué)指導(dǎo)思想；“你準(zhǔn)備怎么研究”體現(xiàn)了實驗方法的遷移和指導(dǎo)。在這一環(huán)節(jié)學(xué)生建立了內(nèi)部釘子為2時，多邊形面積與邊上釘子數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

四、獨立實驗，驗證“多邊形內(nèi)部是3枚、4枚釘子”的規(guī)律。

1.類推猜想。

（1）通過研究，我們發(fā)現(xiàn)了這樣的兩個規(guī)律：當(dāng)a=1時，S=n÷2，當(dāng) a=2 時，S=n÷2+1。接下來你們還想研究什么？（當(dāng)a=3時、當(dāng)a=4時，多邊形面積的規(guī)律）

（2）猜一猜：當(dāng) a=3時，S=？當(dāng)a=4時呢？

（3）這個猜想究竟對不對？有辦法驗證嗎？（做實驗驗證）

2.實驗驗證。

（1）接下來我們就通過實驗來驗證這兩個規(guī)律是否成立。請每個實驗小組的組長拿出實驗單（二），分組、分別驗證a=3時，S=n÷2+2；a=4時，S=n÷2+3。

（2）要求：小組合作，先討論并寫出實驗步驟，接著畫出要研究的圖形形成實驗材料，再收集數(shù)據(jù)填在表中，最后填寫實驗結(jié)果。

3.匯報交流。

（1）先看驗證a=3的，你們的實驗步驟是什么？你們收集了這些數(shù)據(jù)，規(guī)律成立嗎？怎么發(fā)現(xiàn)的？

（2）再看看驗證a=4的，你們的實驗結(jié)果是什么？怎么發(fā)現(xiàn)的？

【設(shè)計意圖：在前兩個實驗的基礎(chǔ)上放手讓學(xué)生獨立進行第三個實驗是水到渠成的。猜想的過程是學(xué)生依據(jù)已有結(jié)論進行合情推理的過程。驗證的步驟是學(xué)生依據(jù)先前的經(jīng)驗自主擬定的，實驗材料和實驗數(shù)據(jù)是學(xué)生尋找并發(fā)現(xiàn)的，實驗結(jié)論是學(xué)生自己得出的。充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生實驗方法及技能的教學(xué)意圖。這一環(huán)節(jié)學(xué)生先猜想內(nèi)部釘子為3、4時多邊形面積的模型，再通過驗證進行了確認(rèn)?！?/p>