直面障礙讓教學(xué)有理有據(jù)
——《除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法》教學(xué)思考

羅鳴亮

“筆算除法”是計(jì)算教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。也是教師教學(xué)的老大難。許多教師都曾有“為什么筆算除法老是教不會(huì)”的困惑。學(xué)生在學(xué)習(xí)《除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法》時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)例。有些錯(cuò)誤即使教師一再強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的錯(cuò)誤還是層出不窮。學(xué)生學(xué)不會(huì)的原因究竟是什么？筆算除法到底應(yīng)該怎么教？

一、前測，尋找存在問題

為了尋找學(xué)生在學(xué)習(xí)《除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法》中的障礙，我做了前測，發(fā)現(xiàn)在筆算42÷2這個(gè)算式中，測試的46個(gè)學(xué)生中，76%的學(xué)生都列出了如圖（1）的算式，有4個(gè)學(xué)生出現(xiàn)空白，6個(gè)學(xué)生直接口算出答案而沒有列豎式。追問列豎式學(xué)生的想法，學(xué)生是這么回答的：“42÷2先算4個(gè)十除以2商2個(gè)十,2寫在十位；再算2除以2，商1寫在個(gè)位上?！睂W(xué)生的回答言之鑿鑿，皆認(rèn)為這樣列式是正確的。

在第二題筆算52÷2的前測中，有21個(gè)學(xué)生列出了如圖（2）的豎式，其原因是口算52÷2等于26，所以就和第一題列出一樣的算式。10多個(gè)學(xué)生列出了圖（3）的式子后，就留白不會(huì)做。問其想法，說是2÷2等于1，十位的5÷2除不盡，不知道該怎么做了？

圖（1）

圖（2）

圖（3）

二、溯因，理清認(rèn)知障礙

1.計(jì)算過于簡單，無需筆算。

要求學(xué)生先嘗試計(jì)算42÷2時(shí)，很多學(xué)生能夠用口算的方法直接得到結(jié)果為21，于是認(rèn)為不需要通過筆算除法的方法得到結(jié)果。也就是說，學(xué)生認(rèn)為，與其用筆算除法進(jìn)行計(jì)算，不如用口算得到21，所以學(xué)生所寫的豎式只不過是口算結(jié)果的表達(dá)。

2.受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移。

學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是二年級(jí)下冊《有余數(shù)除法》的豎式計(jì)算，這一知識(shí)點(diǎn)所涉及的都是表內(nèi)除法的計(jì)算，都只需要一步計(jì)算就夠了。學(xué)生計(jì)算42÷2時(shí)，已經(jīng)通過口算得到結(jié)果，所以采用由表內(nèi)除法的一步計(jì)算，直接列出一步的豎式計(jì)算，并且把這種經(jīng)驗(yàn)遷移到52÷2。

部分學(xué)生明白42÷2要經(jīng)歷兩步計(jì)算才能得到結(jié)果，但是由于原來教學(xué)12×3時(shí)，如圖（4），當(dāng)學(xué)生用兩個(gè)豎式計(jì)算時(shí)，教師提出把10×3和2×3兩個(gè)豎式合成一個(gè)算式，比較簡潔。到了除法，學(xué)生自然地想到了把兩步合成一步計(jì)算比較簡單。

圖（4）

通過以上的分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)產(chǎn)生的負(fù)遷移造成了學(xué)生認(rèn)定圖（1）的方法是有道理的，老師再讓學(xué)生用小棒幫助理解算理就形同虛設(shè)，學(xué)生依然堅(jiān)定地說：“老師，這樣可以看出4個(gè)十除以2等于2個(gè)十，2個(gè)一除以2等于1，這樣比較簡便啊?！贝藭r(shí)的操作得不到學(xué)生的認(rèn)可，認(rèn)為老師非要我們這么列豎式是不講道理。也有的老師花費(fèi)了大力氣教學(xué)完42÷2后，再教學(xué)52÷2時(shí)，大部分學(xué)生依舊出現(xiàn)圖（2）的這種做法，說明了這樣的教學(xué)與學(xué)生的實(shí)際情況并不吻合，需要進(jìn)行合理調(diào)整。

三、策略，直面障礙說理

從學(xué)生的前測交流中可知，由于學(xué)生能夠一眼看出42÷2的結(jié)果，所以無法感受到筆算除法兩步的必要性和優(yōu)越性。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙，教師可以改變例題中“42÷2”和“52÷2”的先后順序。先教學(xué)“52÷2”這一例題，由于沒有42÷2做支撐，雖然有一部分學(xué)生也能通過口算得到結(jié)果，但多數(shù)學(xué)生無法直接得到結(jié)果，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望。此時(shí)教師提供教具“52根小棒”，讓學(xué)生操作理解，借助具體直觀感受既解決了學(xué)生為什么要從高位除起的道理，又讓學(xué)生感悟了除法筆算中分兩步“算”的必要性，讓學(xué)生從操作說理中領(lǐng)悟筆算除法的算理。

四、教學(xué)，“理”“法”有效融合

1.開門見山，理解除法算式。

出示例題：52÷2。

（1）理解除法算式的含義。

師：52÷2這道除法算式，你能解決生活中的哪些問題？

生：把52塊糖果平均分給2個(gè)人，每人分得幾塊？

生：52個(gè)同學(xué)，平均分成2個(gè)組，每組幾個(gè)人？

……

（2）嘗試筆算，產(chǎn)生問題。

師：52÷2該怎么豎式計(jì)算，請大家試著動(dòng)手計(jì)算看看。

師：在計(jì)算過程中，你們遇到了什么困難？想一想，該如何解決這個(gè)問題？

【說明：本環(huán)節(jié)從抽象的算式入手，讓學(xué)生回歸生活應(yīng)用追溯算式表示的含義，在明晰除法模型含義的同時(shí)，也為理清豎式計(jì)算的算理埋下伏筆?！?/p>

2.動(dòng)手操作，明晰算理。

（1）獨(dú)立操作，同桌交流。

師：52根小棒平均分成兩份，先獨(dú)立分一分，再把你的分法和同桌交流一下。

（2）匯報(bào)交流，初感算理。

師：52根小棒平均分成兩份，怎么分？誰愿意到上面來分一分小棒？

分法一：先分2根，再分4捆，最后拆開1捆，分3次得到結(jié)果26。

分法二：先分4捆，再拆開1捆和2根合在一起成為12根。

師：仔細(xì)回想下剛才這兩位同學(xué)分小棒的過程，找找有什么相同和不同的地方？

生：兩種分法都是平均分，都得到了26的結(jié)果。

生：第一種分法先分整根的，再分整捆的；第二種分法先分整捆的，再把剩下的拆開來一起分。

師：你覺得哪種分法更簡單？為什么？

生：第二種更簡單，因?yàn)榈谝环N要分3次，第二種只要分2次就夠了。

師：都是分，為什么第二種只要分2次就夠了呢？

生：第二種分法把剩下的1捆和余下的2根合起來一起分，所以少分了1次。

【說明：在學(xué)習(xí)除法豎式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加、減、乘的豎式，這三種豎式都有一個(gè)共同的地方：都是從低位算起。那為什么除法豎式要從高位算起？這是學(xué)生的一個(gè)認(rèn)知障礙，也是本課的知識(shí)難點(diǎn)。其實(shí)筆算除法并不是不能從低位算起，只是從低位算起會(huì)讓原本簡單的過程復(fù)雜化。此環(huán)節(jié)，借助小棒分的過程，讓學(xué)生直觀感受到先分整捆比較簡便，遷移到除法豎式，也就是先算整十?dāng)?shù)比較簡便。借助操作明晰筆算除法從高位算起的道理?！?/p>

3. 抽象概括，“理”“法”結(jié)合。

（1）自主列式，形成表象。

師：同學(xué)們，剛才在筆算的時(shí)候我們遇到了困難，那現(xiàn)在通過兩次分小棒的過程，你有沒有得到一些啟發(fā)和幫助，試著再筆算一下52÷2。

（2）對(duì)比分析，理解算法。

展示學(xué)生作業(yè)：

師：這兩種做法，你覺得那種更能清晰地表現(xiàn)出剛才分小棒的過程？為什么？

生：第一種寫法更簡單，一步就完成了。

生：我覺得應(yīng)該是第二種，從第二種我們可以看出來第一次分了4捆，第二次分了12根，把我們分小棒的過程都寫清楚了。

生：用第二種辦法，當(dāng)你不知道答案的時(shí)候，你也可以想象分小棒，先分幾捆，再把剩下的合起來分，就能知道答案了。

師：他們的意思你們明白了嗎？誰能把第二種寫法的道理再說一遍？

師：同意他們的說法嗎？按照他們的說法，把你的豎式再修改修改。

【說明：學(xué)生受原有“表內(nèi)除法”豎式的影響，無法完全擺脫一步到位的豎式計(jì)算的負(fù)遷移。在原有認(rèn)知障礙的干擾下，只有讓學(xué)生直面障礙，把兩種方法列出來讓其進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生在說理辨析中，逐步明白了第二種豎式能清晰地將剛才分小棒的過程表達(dá)出來，便于以后計(jì)算不好直接口算的題目。這個(gè)豎式能幫助我們理清計(jì)算過程，讓學(xué)生感受到筆算除法這樣列式的優(yōu)勢及其作用，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有豁然開朗的感覺?！?/p>

4.練習(xí)鞏固，深化算理。

（1）計(jì)算：42÷3 42÷2

說理：請你說一說每一步所表示的意思。

（2）微課：筆算除法為什么要從高位算起

【說明：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知障礙，本節(jié)課從例題2入手，明晰了例題2的算理和算法，再回頭教學(xué)例題1，學(xué)生會(huì)用新知的模型進(jìn)行正遷移。此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生再來講明42÷2的筆算原理，不僅避免了學(xué)生受到口算及一步計(jì)算的豎式干擾，把算法合理地遷移，而且能在解釋算理中進(jìn)一步把握算法，使得數(shù)學(xué)教學(xué)有理有據(jù)。】

算理與算法是計(jì)算教學(xué)兩個(gè)不可或缺的關(guān)鍵。算理是對(duì)算法的解釋，是理解算法的前提，算法是對(duì)算理的總結(jié)與提煉，是技能形成的關(guān)鍵，它們是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的整體。透徹理解算理和熟練掌握算法是提高學(xué)生計(jì)算能力的重要保證。計(jì)算教學(xué)不僅要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生理解抽象的算法，還要讓學(xué)生體驗(yàn)直觀到抽象的過渡和演變過程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)掌握。