基于數(shù)學模型思想的絕對值三角不等式解題探究

陳香君 湯強

摘?要：數(shù)學模型思想是數(shù)學思想的重要組成部分，它體現(xiàn)了數(shù)學知識間的相互聯(lián)系，從數(shù)學模型角度來研究絕對值三角不等式的題目，可發(fā)現(xiàn)很多題目是形變質(zhì)不變，可用同一模型求解，從而降低了絕對值三角不等式題目的繁雜度，便于更靈活、系統(tǒng)地教學。

關(guān)鍵詞：數(shù)學模型思想;絕對值三角不等式;解題研究

絕對值三角不等式內(nèi)容在人教A版選修4-5教材中所占篇幅不多，但其兼具代數(shù)、幾何的性質(zhì)，且蘊含著豐富的實際意義，近年來在各種考試中成為炙手可熱的一類考題;同時，由于絕對值三角不等式知識繁雜，題目靈活多變，不管是教還是學的過程，都存在很大的困難。因此，基于數(shù)學模型思想來進行相應(yīng)的解題研究，將題目化繁為簡是十分必要的。

一、?數(shù)學模型思想

目前關(guān)于數(shù)學模型思想的看法眾多。有學者認為數(shù)學模型思想是能夠有意識地用數(shù)學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中的一類問題的那種思想，也有學者認為數(shù)學模型思想是對于某種事物系統(tǒng)的特征或者是數(shù)量依存關(guān)系概括、近似表述數(shù)學結(jié)構(gòu)的一類思想。

中小學數(shù)學教學中的很多概念、公式是從現(xiàn)實世界的原型中抽象出來的，是“現(xiàn)實”到“數(shù)學”的過程，即數(shù)學化的第一階段。而高中學段，學生的認知能力有了很大的提升，能在數(shù)學內(nèi)部進行更為抽象的推理，即數(shù)學化的第二階段：“數(shù)學”到“數(shù)學”的過程。學生在學習絕對值三角不等式時具備這樣的抽象概括能力，因此，運用模型思想在絕對值三角不等式數(shù)學知識內(nèi)部進行學習、研究是學生經(jīng)歷數(shù)學化第二階段的一個過程。

此外，滲透數(shù)學模型思想也為培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)打下基礎(chǔ)。數(shù)學建模素養(yǎng)能讓學生體會到數(shù)學知識的現(xiàn)實價值，增強學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。因此，數(shù)學模型思想對于中學階段的學生而言應(yīng)是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)學思想。

二、?絕對值三角不等式解題模型分析

（一）|x-m|+|x-n|型

圖1

f（x）=|x-m|+|x-n|（m

利用此模型可迅速找出f（x）=|x-m|+|x-n|（m

【例1】?（2018年全國卷Ⅱ理科第23題）設(shè)函數(shù)f（x）=5-|x+a|-|x-2|。

（1）略;（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍。

解析：此題即求使得|x+a|+|x-2|≥4成立的a的范圍，由前分析可知f（x）=|x+a|+|x-2|的圖像為“倒梯形”，其最小值為|（-a）-2|=|a+2|（當且僅當x=2時等號成立），所以f（x）≤1|x+a|+|x-2|≥4|a+2|≥4，解得a≤-6或a≥2。

模型應(yīng)用1?（2012年高考數(shù)學陜西理科第15題）若存在實數(shù)a使|x-a|+|x-1|≤3成立，求實數(shù)a的取值范圍。

（二）|x-m|-|x-n|型

當m>n時，f（x）=|x-m|-|x-n|的圖像是以C（n，m-n），D（m，n-m）為折點的“Z字形”（如圖2所示），在（-∞，n]恒取最大值m-n，在[m，+∞）恒取最小值n-m，在[n，m]單調(diào)遞減;當m

利用此模型可立即得f（x）=|x-m|-|x-n|的折點，最大、小值，從而只需在對應(yīng)可能的區(qū)間內(nèi)求使得不等式成立的臨界值即可。

圖2

圖3

【例2】?（2012年高考數(shù)學廣東理科第9題）不等式|x+2|-|x|≤1的解集為？

解析：|x+2|-|x|=|x-（-2）|-|x-0|，其圖像是“反Z字形”。x∈（-∞，-2]時恒取最小值-2，滿足;x∈[0，+∞）時恒取最大值2，舍去;所以只需在區(qū)間（-2，2）上求滿足條件的臨界值即可，此時解析式為2x+2，即2x+2≤1x≤-12，綜上，解集為-∞，-12。

模型應(yīng)用2?（2017年全國卷Ⅲ理科第23題）已知f（x）=|x+1|-|x-2|，若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍。

（三）a|x-m|+b|x-n|型

圖4

f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

（1）當a+b>0，圖像兩端向上無限延伸，折點處有最小值?min{f（m），f（n）};

（2）當a+b<0，圖像兩端向下無限延伸，折點處有最大值min{f（m），f（n）};

（3）當a+b=0，圖像平行于x軸。

利用此模型可知f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

【例3】?（2007年高考數(shù)學海南理科第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|。

（1）解不等式f（x）>2;

（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值。

解析：（1）f（x）=2|x+12|-|x-4|圖像開口向上，兩端無限延伸，f-12=-92<2，f（4）=9>2，因此，要使f（x）>2，只需在區(qū)間-∞，-12和-12，4上求滿足條件的范圍即可。x∈-∞，-12時，有-x-5>2x<-7;x∈-12，4，有3x-3>2x>53，故解集為（-∞，-7）∪53，+∞。

（2）最小值為minf-12，f（4），而f-12=-92，f（4）=9，故最小值為-92。

模型應(yīng)用3?（2009年高考數(shù)學福建理科第21題）解不等式|2x-1|<|x|+1。

（四）|x-m|+|x-n|+|x-t|型

此類型題目求解一般會考慮絕對值三角不等式取等條件求使得最值成立的條件。各類取等條件總結(jié)如下表1所示。

利用此模型可將三項絕對值不等式轉(zhuǎn)化為兩項，并求得等號成立的條件，從而得到不等式的解集。

【例4】?已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|，設(shè)其最小值為g（a），求g（a）的最小值。

解析：若a≤1，則f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|+|x-1|≥3-a，當且僅當x-1=0，且（x-a）（x-3）≤0，即x=1時等號成立;

若1

若a≥3，則f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|+|x-3|≥a-1，當且僅當x-3=0，且（x-1）（x-a）≤0，即x=3時等號成立。

綜上，g（a）=3-a，a≤12，1

【例5】?若不等式|x|+12x-1+|x-1|>m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：由題2|x|+|x-2|+2|x-1|>2m恒成立，令y=2|x|+|x-2|+2|x-1|=|x|+|x-2|+|x|+|x-1|+|x-1|≥|x-（x-2）|+|x-（x-1）|+|x-1|≥2+1+0=3，當且僅當x（x-2）≤0x（x-1）≤0x-1=0，即x=1時等號成立，此時ymin=3，所以2m<3，所以m∈-∞，32。

模型應(yīng)用4?解不等式|2x+1|-|x-2|<|x+3|。

（五）f（x）=∑nk=1|x-ak|型

f（x）=∑nk=1|x-ak|=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（a1

（1）若n=2k-1（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak-1）-（x-ak+1）|+|（x-ak）|=|（a1+a2+…+ak-1）-（ak+1+ak+2+…+a2k-1）|

當且僅當x=ak時取得最小值，其圖像是以（ak，f（ak））為頂點的“V字形”;

（2）若n=2k（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak）-（x-ak+1）|=|（a1+a2+…+ak）-（ak+1+ak+2+…+a2k）|

當且僅當x∈[ak，ak+1]時取得最小值，其圖像是以A（ak，f（ak）），B（ak+1，f（ak+1））為折點的“倒梯形”。

此模型求函數(shù)最值是運用絕對值三角不等式將多項絕對值放縮，消掉未知數(shù)，并求使得所有等號都成立的條件，從而求得最值。

【例6】?（2006年全國卷Ⅱ理科第12題）函數(shù)f（x）=∑19n=1|x-n|的最小值為？

解析：由題，原式即為：f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-18|+|x-19|≥|（x-1）-（x-19）|+|（x-2）-（x-18）|+…+|（x-9）-（x-11）|+|x-10|=18+16+…+2+0=90。

當且僅當（x-1）（x-19）≤0，（x-2）（x-18）≤0…（x-9）（x-11）≤0，且x-10=0，即x=10時等號成立，所以函數(shù)最小值為90。

模型應(yīng)用5?函數(shù)f（x）=∑2011n=1|x+n|+∑2011n=1|x-n|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），求所有滿足條件的互異整數(shù)a的值的和。

以上五類數(shù)學模型可用于很多絕對值三角不等式題目的求解。以絕對值三角不等式為例來探析數(shù)學模型思想只是冰山一角，同時，從數(shù)學模型思想來研究絕對值三角不等式也僅是一種角度，其他課題和思想、方法也應(yīng)進行挖掘、體會。

參考文獻：

[1]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016：216.

[2]凌密然，王娟娟.初中數(shù)學教學中數(shù)學模型思想的滲透[J].課程教育研究，2019（23）：154-155.

作者簡介：

陳香君，湯強，四川省南充市，西華師范大學數(shù)學與信息學院。