利用二元函數(shù)性質來刻畫集值映射的單調性

龍?zhí)煊?葉明露,李 軍

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院,四川 南充 637009)

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利用二元函數(shù)性質來刻畫集值映射的單調性

龍?zhí)煊?葉明露,李 軍

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院,四川 南充 637009)

首先回顧了集值映射和二元函數(shù)的幾種單調性,包括單調、嚴格單調、強單調、偽單調、擬單調以及弱單調,并定義了二元集值函數(shù)的這幾種單調性,同時舉出大量例子說明這些單調性之間的關系。最后,利用二元實值函數(shù)和二元集值函數(shù)的六種單調性分別刻畫了集值映射的六種單調性。

集值映射;二元函數(shù);單調性條件

0 引 言

許多數(shù)學模型,包括優(yōu)化問題、多目標優(yōu)化問題、變分不等式問題、不動點問題、互補性問題和非合作Nash均衡問題等,都可以通過均衡問題來進行表達:找到向量x*∈S,使得

f(x*,y)≥0，?y∈S，

變分不等式理論被廣泛地運用于各個領域,如經(jīng)濟學、物理學、工程學、優(yōu)化與控制、運輸業(yè)等[4,5]。像數(shù)學規(guī)劃問題中的凸性一樣,單調性在求解變分不等式時起到了非常重要的作用。為了研究變分不等式,Karamardian和Schaible在文獻[6]中引入了各種單調映射。在文獻[7]中,Crouzeix,Marcotte和Zhu引入了單調加映射并利用切平面方法證明了求解變分不等式解的迭代算法的收斂性。Bigi和Passacantdo在文獻[8]中,給出了12種二元函數(shù)的單調性,并且概括了他們之間的關系。特別地,還分別對變分不等式和線性均衡問題進行了詳細地描述。那么,由此我們聯(lián)想到了利用二元函數(shù)的單調性來刻畫集值映射的單調性。

本文的主要目的是研究集值映射的單調性,并通過構造二元函數(shù)和二元集值函數(shù)來刻畫集值映射單調性的一些條件。為了得到這些條件,我們首先給出了集值映射的單調性, 二元函數(shù)和二元集值函數(shù)單調性定義,并且給出了這些單調性之間的蘊涵關系,還舉出了一些反例來證明他們之間的反蘊涵關系不成立。然后建立起了它們之間的一些等價關系。

本文的安排如下,在第1節(jié)中,我們回顧一些相關的概念和結論來作為我們理論分析的主要工具,并舉出幾個相關例子。在第2節(jié)中,我們通過構造二元函數(shù)和二元集值函數(shù)來刻畫集值映射幾類單調性的等價條件。

1 集值映射和二元函數(shù)的單調性及例子

我們首先回顧一些相關的概念和結論來作為我們理論分析的主要工具。

我們首先給出集值映射的單調性定義:

x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y)?〈ty-tx,y-x〉≥0

成立,則稱F在S上單調;若

x,y∈S,x≠y,tx∈F(x),ty∈F(y)?〈ty-tx,y-x〉>0

成立,則稱F在S上嚴格單調;若存在常數(shù)τ>0,使得

x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y)?〈ty-tx,y-x〉≥τ‖y-x‖2

〈tx,y-x〉≥0?〈ty,y-x〉≥0，

則稱F在S上偽單調;若對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有

〈tx,y-x〉>0?〈ty,y-x〉≥0

則稱F在S上擬單調;若存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有

〈ty-tx,y-x〉≥-τ‖y-x‖2，

則稱F在S上弱單調。

由定義顯然有強單調性蘊涵嚴格單調性,嚴格單調性蘊涵單調性,單調性蘊涵偽單調性,而偽單調性又蘊涵擬單調性。同時單調性也蘊涵弱單調性。但是,反過來就不一定有這樣的蘊涵關系了。比如下面的幾個映射:

很容易驗證:映射F1單調但非嚴格單調,映射F2嚴格單調但非強單調。

f(x,y)+f(y,x)≤0

f(x,y)+f(y,x)<0

f(x,y)+f(y,x)≤-τ‖y-x‖2

成立,則稱f在S上強單調。

二元函數(shù)的偽單調性、擬單調性和弱單調性定義如下:

f(x,y)≥0?f(y,x)≤0,

f(x,y)>0?f(y,x)≤0,

f(x,y)+f(y,x)≤τ‖y-x‖2，

則稱f在S上弱單調。

顯然,根據(jù)定義可得強單調性蘊涵嚴格單調性,而嚴格單調性又蘊涵單調性。單調性蘊涵偽單調性,偽單調性蘊涵擬單調性,單調性蘊涵弱單調性。然而,反過來同樣也不一定具有這樣的蘊涵關系,如下面的例子。

f(x,y)+f(y,x)=(x3-y3)(y-x)<0。

f(x,y)+f(y,x)=0

f(x,y)≥0?y≥x?f(y,x)≤0，

f(x,y)>0?y>x?f(y,x)≤0，

f(x,y)+f(y,x)=(y-x)2

下面,我們給出二元集值函數(shù)的幾種單調性定義。

成立,則稱T在S上強單調。

則稱T在S上弱單調。

根據(jù)定義顯然有以下蘊涵關系:強單調性蘊涵嚴格單調性,嚴格單調性蘊涵單調性,而單調性又蘊涵偽單調性,偽單調性蘊涵擬單調性,同時也有單調性蘊涵弱單調性。但是,反過來的蘊涵關系就不一定成立了。顯然,當二元集值映射T只有一個元素的時候,它就是一個簡單的二元函數(shù)。因此,請看下面的幾個例子。

由定義易知T1單調而非嚴格單調,T2嚴格單調而非強單調。

由定義易知T5弱單調。但是T5(-1,-2)+T5(-2,-1)=1,即T5不是單調的。

2 集值映射單調性的刻畫

命題1 下列結論成立：

(a)F在S上單調的充要條件是:對任意的x,y∈S,有

(b)F在S上嚴格單調的充分條件是:對任意的x,y∈S,x≠y,有

若集值映射F在S上有緊值,則必要性成立。

(c)F在S上強單調的充要條件是:存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,有

命題2 以下結論成立:

(a)F在S上單調的充要條件是:對任意的x,y∈S，有

(b)F在S上嚴格單調的充要條件是:對任意的x,y∈S,x≠y，有

(c)F在S上強單調的充要條件是:存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,有

同理可證(b)、(c)。

由此,下面我們通過構造二元函數(shù)來刻畫集值映射的單調性。

定理1 對任意的x,y∈S令

(1)

則以下的結論成立:

(a)F在S上單調的充要條件是:在f上S單調;

(b)F在S上嚴格單調的充分條件是:f在S上嚴格單調;若集值映射F在S上有緊值, 則必要性成立;

(c)F在S上強單調的充要條件是:f在S上強單調;

(d)F在S上偽單調的充分條件是:f在S上偽單調; 若集值映射F在S上有緊值, 則必要性成立;

(e)F在S上擬單調的充分條件是:f在S上擬單調; 若集值映射F在S上有緊值, 則必要性成立;

(f)F在S上弱單調的充要條件是:f在S上弱單調。

證明 (a)首先證明必要性。由(1)式可得

(2)

將(1)式與(2)式相加,即可得

(3)

又因為F在S上單調,則對任意的x,y∈S,由命題1(a)可得

(4)

成立,即f在S上單調。

下面證明充分性。若f在S上單調,則對任意的x,y∈S,均有(4)式成立,再由命題1(a)有F在S上單調。

(b)首先證明充分性。因為f在S上嚴格單調,則對任意的x,y∈S,x≠y,有f(x,y)+f(y,x)<0成立,再由(3)式即有

(5)

由命題1(b)可得F在S上嚴格單調。

再證明必要性。若F在S上嚴格單調,則對任意的x,y∈S，x≠y，有

〈tx,y-x〉<〈ty,y-x〉

成立,又因為集值映射F在S上有緊值,從而

成立。因此有(5)式成立,即f在S上嚴格單調。

(c)首先證明必要性。假設F在S上強單調,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有〈ty-tx,y-x〉≥τ‖y-x‖2成立,即

〈tx,y-x〉-〈ty,y-x〉≤-τ‖y-x‖2

成立,由tx和ty的任意性,對任意的x,y∈S,有

成立,即

(6)

因此f在S上強單調。

下面證明充分性。因為f在S上強單調,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,使得

f(x,y)+f(y,x)≤-τ‖y-x‖2

成立。又因為

則由(6)式可得,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有〈ty-tx,y-x〉≥τ‖y-x‖2成立,即F在S上強單調。

(e)與(d)證明方法類似。

(f)首先證明必要性。假設F在S上弱單調,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y)，有

〈ty-tx,y-x〉≥-τ‖y-x‖2

成立,即

〈tx,y-x〉-τ‖y-x‖2≤〈ty,y-x〉

(7)

成立,從而

(8)

成立,即

(9)

成立,因此f在S上弱單調。

其次證明充分性。若f在S上弱單調,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,都有(9)式成立,即(8)式成立,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有(7)式成立,因此F在S上弱單調。

定理2 對任意的x,y∈S令

(10)

這里α∈[0,1],則以下結論成立:

(a)F在S上單調的充要條件是:f在S上單調;

(b)F在S上嚴格單調的充分條件是:f在S上嚴格單調;若集值映射F在S上有緊值,則必要性成立;

(c)F在S上強單調的充要條件是:f在S上強單調;

(d)F在S上弱單調的充要條件是:f在S上弱單調。

證明 由(10)式可得

(11)

將(10)式與(11)式相加,即可得

(12)

于是(a)— (d)的證明分別與定理1(a)— (c)和(f)的證明方法相似。

上述的二元函數(shù)都是單值的函數(shù),下面通過二元集值函數(shù)單調性來刻畫集值映射的單調性。

定理3 對任意的x,y∈S令T(x,y)=〈F(x),y-x〉,則有以下結論成立:

(a)F在S上單調的充要條件是:T在S上單調;

(b)F在S上嚴格單調的充要條件是:T在S上嚴格單調;

(c)F在S上強單調的充要條件是:T在S上強單調;

(d)F在S上偽單調的充要條件是:T在S上偽單調;

(e)F在S上擬單調的必要條件是:T在S上擬單調;

(f)F在S上弱單調的充要條件是:T在S上弱單調。

證明 (a)首先證明必要性。假設F在S上單調,由命題2(a),則對任意的x,y∈S,都有

成立,由于T(x,y)=〈F(x),y-x〉,可得

(13)

即T在S上單調。

下面證明充分性。由于T在S上單調,則對任意的x,y∈S,顯然有(13)式成立。由命題2(a)可得,F在S上單調。

(b)、(c)的證明與(a)證明方法相似。

(e)的證明與(d)證明方法相似。

(f)若F在S上弱單調,則存在常數(shù)τ>0,對任意的x,y∈S,tx∈F(x),ty∈F(y),有

〈ty-tx,y-x〉≥-τ‖y-x‖2，

等價于對任意的x,y∈S,有

因此T在S上弱單調。

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Some Characterizations of Monotonicity of Set-valued mappings By Using Properties of Bifunctions

LONG Tianyou,YE Minglu,LI Jun

(College of Mathematics and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637009,China)

In this paper,we first recall the monotonicity of set-valued mappings and bifunctions,such as monotonoicity,strict monotonicity, strong monotonicity,pseudomonotonicity,quasimonotonicity and weak monotonicity.We then define these monotonicity of set-valued bifunctions.Several examples are given to illustrate these monotonicity.We also give some new characterizations of six kinds of monotonicity of set-valued mappings by using bifunctions and set-valued bifunctions.

set-valued mapping;bifunction;monotonicity

1673-5072(2016)03-0289-08

2015-10-21 基金項目：國家自然科學基金項目(11371015); 教育部科學技術重點項目(211163); 四川省青年科技基金(2012JQ0035)

龍?zhí)煊? 1990—) , 女, 四川隆昌人, 碩士研究生, 主要從事優(yōu)化理論及應用研究。

李 軍( 1974—) , 男, 四川旺蒼人,教授,主要從事優(yōu)化理論及應用研究。E-mail: junli1026@163.com

O221

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.03.011