發(fā)展合情推理，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

李云康

創(chuàng)新教育是素質(zhì)教育的核心，它是教育對(duì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)向人才培養(yǎng)提出挑戰(zhàn)的回應(yīng)，是旨在激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的教育.在當(dāng)前建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家、全面推動(dòng)素質(zhì)教育的背景下，以培養(yǎng)創(chuàng)新精神，為培養(yǎng)人才奠基的創(chuàng)新教育開(kāi)辟了素質(zhì)教育研究的新領(lǐng)域.同時(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)展合情推理能力和演繹能力，清晰地表達(dá)自己的想法.”那如何發(fā)展合情推理能力，繼而培養(yǎng)創(chuàng)新能力呢？

一、培養(yǎng)和提升與合情推理相關(guān)的能力

1959年，波利亞以“數(shù)學(xué)作為學(xué)習(xí)合情推理的學(xué)科”為題，在美國(guó)《數(shù)學(xué)教師》（The Mathematics Teacher）雜志上發(fā)表論文，提出“合情推理”概念，認(rèn)為在數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理占有很重要的地位.隨后在《數(shù)學(xué)與合情推理》第二卷中，進(jìn)一步闡述了合情推理及其模式.波利亞的合情推理是指借助于歸納、模擬、限定、推廣、猜測(cè)、檢驗(yàn)等思維活動(dòng)來(lái)認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)真理的推理形式.其英文詞是“plausible reasoning”，直譯為“似乎可靠的推理”.那么發(fā)展合情推理需要哪些具體的能力呢？

（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題的能力

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，它“標(biāo)志著科學(xué)的進(jìn)步”.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生在歸納、猜測(cè)、探索中不斷地創(chuàng)新.

而豐富的、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，深刻的論證思維又決定了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的敏銳性和深刻性；好奇心，懷疑心，興趣廣泛與好學(xué)上進(jìn)，追求對(duì)問(wèn)題的透徹理解，是觀察時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題的動(dòng)力.因此在平時(shí)的教學(xué)中，要奠定扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，注意不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心與學(xué)數(shù)學(xué)的興趣.

（二）觀察能力

1.什么是觀察？

觀察是人們獲取信息，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提，數(shù)學(xué)家歐拉曾這樣評(píng)價(jià)過(guò)觀察方法的地位，“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察發(fā)現(xiàn)的”.觀察是獲得科學(xué)事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的重要方法，在平時(shí)教學(xué)中，要注意培養(yǎng)在觀察事物時(shí)從各個(gè)不同的側(cè)面考慮問(wèn)題、周密全面地獲得充分的材料，并能用精確的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確表達(dá)觀察結(jié)果的能力.

2.解題中的觀察方法有哪些？

觀察在解題中具有重要的作用，反之，解題訓(xùn)練也是培養(yǎng)觀察能力的重要手段.

（1）觀察條件（或式子）和所求問(wèn)題的特征.

簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是建立起聯(lián)系已知與未知間的橋梁，從而由已知通向未知.如：

例1①運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算（x+y）（x2-xy+y2）=，（x-y）（x2+xy+y2）=.

②運(yùn)用①中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（）（），a3+（2b）3=（）（），x3-8y3=（）（）.

分析觀察①中的計(jì)算結(jié)果x3+y3，x3-y3與原兩個(gè)因式的關(guān)系，特別注意符號(hào)特征，再觀察②中的題目特征與①中的整個(gè)等式相比較，分別確定與①中相應(yīng)的x與y.

（2）觀察數(shù)式相應(yīng)的圖像，用數(shù)形結(jié)合思想解題.

例2下列各三角形圖案是由若干個(gè)五角星組成的，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）五角星，每個(gè)圖案中五角星的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷：s與n的關(guān)系.

分析方法一：由于每條邊上的五角星數(shù)包括了兩個(gè)頂點(diǎn)，若每邊按n個(gè)計(jì)算，則發(fā)現(xiàn)重算了三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的三個(gè)，所以歸納得出：s=3n-3.

方法二：由圖觀察可知，每個(gè)圖案上的五角星總數(shù)，隨著各邊上五角星的增多而增多，并發(fā)現(xiàn)前面一個(gè)圖案中五角星總數(shù)總比其后面一個(gè)圖案中五角星總數(shù)少3，因此可猜想：s=kn+b，根據(jù)圖1、圖2中的條件就能求出k，b的值，再驗(yàn)證是否滿足圖3的條件.

解設(shè)s=kn+b，把n=2，s=3；n=3，s=6分別代入上式，得

2k+b=33k+b=6，解得b=-3k=3，∴s=3n-3.

經(jīng)檢驗(yàn)：n=4，s=9也滿足s=3n-3，所求s與n的關(guān)系為s=3n-3.

（3）觀察隱含條件.

題目中的隱含條件，往往是解題是否正確的關(guān)鍵，我們要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察、發(fā)現(xiàn)、利用題目中的隱含條件.如：

例3①計(jì)算下列各組算式并觀察它們的共同特點(diǎn).

7×9=11×13=79×81=

8×8=12×12=80×80=

②從以上的算式中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)用字母表示這一規(guī)律，并說(shuō)明它的正確性.

分析在這類題中除了要觀察算式的特征，還要注意在①的計(jì)算結(jié)果中其實(shí)隱含了一個(gè)條件，即下面一行算式的結(jié)果比上一行的要大1，觀察到這一隱含條件就不難得出規(guī)律.

（三）歸納能力

1.什么是歸納？

歸納是從多個(gè)個(gè)別事例中推演出同一類事物的一般性結(jié)論的思想方法，其基礎(chǔ)是觀察與實(shí)踐，它的一般模式是：x1具有性質(zhì)p，x2具有性質(zhì)p，x3具有性質(zhì)p，…，xn具有性質(zhì)p.{x1，x2，x3，…，xn}是集合A的真子集，推測(cè)集合A的任一元素具有性質(zhì)p.

歸納是人們尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的重要手段.但歸納與演繹推理是不同的，一方面因?yàn)樵谌魏问聦?shí)中包括某一種一般性，這使歸納結(jié)果具有某種可靠性；另一方面又因?yàn)槿魏蝹€(gè)別都不能完全代替一般，因而歸納的結(jié)果也可能是錯(cuò)誤的.歸納法可分為完全歸納法和不完全歸納法，因此，在利用歸納法的時(shí)候，要注意檢驗(yàn)結(jié)果的正確性.在我們初中數(shù)學(xué)解題中，用的一般是不完全歸納法.

不完全歸納法是通過(guò)對(duì)一類事物的部分對(duì)象的考察，從中做出有關(guān)這一類事物的一般性結(jié)論的猜想方法.其過(guò)程可歸納為：觀察、實(shí)踐→推廣→猜測(cè)一般結(jié)論.

2.歸納的兩個(gè)作用是什么？

（1）用歸納法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論.

在解題中一般由個(gè)別的情況直接歸納、猜測(cè)結(jié)論，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的證明.

例4計(jì)算：①11-2=3；②1111-22=33；

③111111-222=333；④11111111-2222=3333.

請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律寫出下式的結(jié)果：

11111…112n個(gè)1-2222…22n個(gè)2=….

分析從①至②式的左邊可以看出：被開(kāi)方數(shù)中被減數(shù)1的個(gè)數(shù)是減數(shù)2的二倍，其結(jié)果中3的個(gè)數(shù)是減數(shù)2的個(gè)數(shù).

解11111…112n個(gè)1-2222…22n個(gè)2=33…3n個(gè)3.

說(shuō)明解此類題目關(guān)鍵是正確觀察分析、歸納出題中的結(jié)果數(shù)字與算式中數(shù)字之間的特殊關(guān)系，再?gòu)奶厥馔茝V到一般.

（2）用歸納法發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑.

我們往往從幾個(gè)個(gè)別問(wèn)題的處理方法中歸納出一般問(wèn)題的處理方法，即發(fā)現(xiàn)解決一般問(wèn)題的途徑.如：

例5一個(gè)面積為S的等邊三角形，先將其三個(gè)邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作小等邊三角形（如圖4所示）.

（1）當(dāng)n=5時(shí)，共向外作了個(gè)小等邊三角形，每個(gè)小等邊三角形的面積為.

（2）當(dāng)n=k時(shí)，共向外作了個(gè)小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為（用含k的式子表示）.

分析從當(dāng)n=3，n=4，n=5的這幾種特殊情況中，發(fā)現(xiàn)每條邊向外作了n-2個(gè)小三角形，那當(dāng)n=k時(shí)，也是同樣的思考方法，于是得出當(dāng)n=k時(shí)，有3（k-2）個(gè).同樣，每個(gè)小三角形的面積根據(jù)相似三角形的面積比與邊長(zhǎng)比的關(guān)系可得出n=5時(shí)，為125S，由同樣的解題方法，可得出n=k時(shí)的所有小三角形的面積和為3（k-2）k2S.

解這類題只要找出特殊情況下的解題方法，整道題就迎刃而解了.

（四）猜測(cè)（或猜想）能力

數(shù)學(xué)猜測(cè)是指依據(jù)已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)研究的對(duì)象和數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、類比、聯(lián)想后，對(duì)未知的量和關(guān)系做出的一種預(yù)測(cè)性的判斷，這是一種創(chuàng)造性的思維，當(dāng)然猜測(cè)要讓學(xué)生做到猜之有理，猜之有據(jù)，不要主觀臆造，胡亂猜.

波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)也許往往像是猜想游戲，在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個(gè)定理，在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，你必須先猜想證明的主導(dǎo)思想.”這句話說(shuō)明了猜想的兩個(gè)重要作用：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑.在解題中，就要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件，在觀察、歸納的基礎(chǔ)上，大膽猜測(cè)尋求題目的結(jié)論，或猜測(cè)探索解題的方向與方法等等.

二、合情推理的應(yīng)用與教學(xué)

當(dāng)然，在教學(xué)中，觀察、歸納、猜測(cè)的思想并不是截然分開(kāi)的，相反，它們?cè)诮忸}中，是在觀察的基礎(chǔ)上歸納、猜測(cè)，而后又繼續(xù)觀察，甚至再歸納、猜測(cè)，這是一個(gè)交互與并用的過(guò)程.波利亞說(shuō)過(guò)：“通過(guò)觀察和比較數(shù)學(xué)中合情推理的例子，就有可能獲得關(guān)于歸納推理的一些知識(shí).”因此，在教學(xué)中我們可以這樣做：

（一）在新課教學(xué)的定義教學(xué)中，提升觀察、歸納、猜測(cè)的思想與能力

在教材中，許多定義的得出都為我們安排了觀察、歸納的內(nèi)容：

如一元一次不等式的教學(xué)：觀察下列不等式：①x<4；②3

這時(shí)我們可以留一些時(shí)間讓學(xué)生觀察、比較、分析、歸納它們的共同特點(diǎn)，從而自己發(fā)現(xiàn)一元一次不等式的概念，這也是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)，從中獲得創(chuàng)造的喜悅.類似的定義教學(xué)即使教材中沒(méi)有安排觀察、歸納的內(nèi)容，我們也可以創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生觀察、歸納、猜測(cè)的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生不斷提升這方面的能力，大膽地進(jìn)行創(chuàng)新.

（二）在新課教學(xué)的定理、法則教學(xué)中，培養(yǎng)觀察、歸納、猜測(cè)的能力

如，“整式乘法和因式分解”中的同底數(shù)冪的乘法法則、除法法則，積的乘方法則，冪的乘方法則等，都是先從幾個(gè)個(gè)別的例子出發(fā)，這時(shí)就可讓學(xué)生充分觀察這幾個(gè)個(gè)別例子的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能歸納出什么結(jié)論？你還能做什么猜測(cè)嗎？

若學(xué)生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣了運(yùn)用這一思想方法，就能很自然地運(yùn)用于平時(shí)生活與解題中，從而達(dá)到自覺(jué)創(chuàng)新的目的.

（三）在解題中培養(yǎng)觀察、歸納、猜測(cè)的能力

解題是思想方法運(yùn)用的舞臺(tái)，掌握思想方法能讓我們更迅速，敏捷地解題，相反，在解題中能不斷地提高觀察、歸納、猜測(cè)的能力，在解題中可以觀察、歸納、猜測(cè)題目的結(jié)論，或是解題的方向與方法等等.

例如圖5，△ABC中，A1，A2，A3，…，An是邊AC上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中有3個(gè)不同的三角形，再連接BA2圖中共有6個(gè)不同的三角形.

①連接到An時(shí)，請(qǐng)用n的代數(shù)式表示圖中共有三角形的個(gè)數(shù).

②若出現(xiàn)45個(gè)三角形，則共需連接多少個(gè)點(diǎn)？

分析我們需通過(guò)觀察個(gè)別情況，歸納出解題途徑與方法，由圖可知，當(dāng)AC上有1個(gè)點(diǎn)A1時(shí)，連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（2+1）個(gè)；當(dāng)AC上有2個(gè)點(diǎn)A1，A2時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（3+2+1）個(gè)；當(dāng)AC上有3個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（4+3+2+1）個(gè)；……由此可以歸納、猜測(cè)出：當(dāng)AC上有n個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，…，An時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為[（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1]個(gè).

解①當(dāng)連接到An時(shí)，所得三角形總個(gè)數(shù)為：

（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+4+3+2+1

=[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+…

=[（n+2）+（n+2）+…+（n+2）]n+12個(gè)（n+2）

=（n+1）（n+2）2

②由題意，得（n+1）（n+2）2=45.

原方程化為：n2+3n-88=0，

即（n+11）（n-8）=0，

∴n=8或n=-11（負(fù)值不合題意，舍去）.

答：當(dāng)出現(xiàn)45個(gè)三角形時(shí)，共連接8個(gè)點(diǎn).

解決此類題，關(guān)鍵是從個(gè)別情況中，歸納出一般情況下的解題方法與結(jié)論.

又如，（太原中考題）如圖6，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后得到折痕MN，當(dāng)CECD=12時(shí)，求AMBN的值.

類比歸納，在圖中，若CECD=13，則AMBN的值等于.若CECD=14，則AMBN的值等于.若CECD=1n（n為整數(shù)），則AMBN的值等于（用含n的式子表示）.

解決此題，在圖中，可連接BM，EM，設(shè)AM=y，可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y=14，而在三角形ENC中，設(shè)BN=x，則（2-x）2+1=x2，可得x=54，所以AMBN=15.同理，在CECD=13，CECD=14時(shí)，可觀察發(fā)現(xiàn)也能用這一方法很快得出答案為25，917.但這時(shí)思考，它們的答案是否有什么規(guī)律呢？還是沒(méi)有規(guī)律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一種情況是不太可能的，那就肯定能歸納出一種規(guī)律.于是引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納這三個(gè)答案的規(guī)律：15，25，917，這三個(gè)分?jǐn)?shù)分別與對(duì)應(yīng)的12，13，14相聯(lián)系觀察、歸納，可發(fā)現(xiàn)第一與第三個(gè)，與對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)有共同的特點(diǎn)，分母是已知比值分母的平方加1，那第二個(gè)答案是否也符合這一規(guī)律呢？從而想到把25轉(zhuǎn)化為410，分母確實(shí)也符合這一規(guī)律，再觀察分子，分別是對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的分子減1的差的平方.由此歸納得出，最后一小題的答案為（n-1）2n2+1.此題的解決充分顯示了觀察、歸納、猜測(cè)在探索解題思路、解題結(jié)論中的作用.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)，對(duì)于我們教師，能提高教學(xué)效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，優(yōu)化教學(xué)條件，提升教學(xué)水平和業(yè)務(wù)水平.對(duì)于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，會(huì)解決問(wèn)題而且能使學(xué)生在掌握在新問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)該如何應(yīng)對(duì)的思想方法.