例談“1”的妙用

胡紅凌

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，若巧妙地用“1”，往往會(huì)給問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便，本文從不等式，三角函數(shù)，幾何，向量等六個(gè)方面，淺談“1”的妙用.

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；1

牢記幾種不等式中“1”的妙用模型，可以減少思維的糾結(jié)，時(shí)間的消耗.

一、基本不等式

例1已知a>0，b>0，且a+4b=1，求1a+1b的范圍.

解∵a>0，b>0，a+4b=1，

∴1a+1b=1a+1b（a+4b）

=1+4+ab+4ba

≥5+24ba·ab

=9，

當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab時(shí)取“=”，即a=2b，

∴b=16，a=13時(shí)取“=”.

二、與三角函數(shù)的結(jié)合

例2已知0

分析難點(diǎn)在于挖掘隱藏條件“sinx+（1-sinx）=1”，并進(jìn)行“1”的妙用.

解∵x∈0，π2，∴sinx>0，1-sinx>0，

∴f（x）=1sinx+20091-sinx

=1sinx+20091-sinx[sinx+（1-sinx）]

=1+2009+1-sinxsinx+2009sinx1-sinx

≥2010+22009.

當(dāng)且僅當(dāng)1-sinxsinx=2009sinx1-sinx時(shí)取“=”.

三、與解析幾何的結(jié)合

例3已知直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)，且滿足2a+1b=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積的最小值為.

解∵a>0，b>0，2a+1b=1，

∴S△=12ab=12ab·2a+1b

=12（2b+a）

=12（a+2b）·2a+1b

=122+2+4ba+ab

≥124+24ba·ab

=12（4+4）

=4.

當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab即a=2b時(shí)取“=”.∴Smin=4.

四、不等式與向量的結(jié)合

例4設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AB·AC=23，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積.若f（M）=12，x，y，則1x+4y的最小值是.

解設(shè)AB=c，AC=b，∠BAC=30°

則AB·AC=b·c·cos30°=23，

∴bc=4.

又∵m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積，

∴m+n+p=S△ACB=12bc·sinA=1.

若f（M）=12，x，y，則12+x+y=1，即x+y=12，

∴2（x+y）=1，

∴1x+4y=1x+4y·2（x+y）

=2+8+2yx+8xy

≥10+22yx·8xy

=18.

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)取“=”.

五、不等式與應(yīng)用題的結(jié)合

例5在下面等號(hào)右側(cè)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母處，各填上一個(gè)正整數(shù)，并且使這兩個(gè)正整數(shù)的和最小，1=1[]+9[]，則這兩個(gè)數(shù)分別是.

解設(shè)1=1x+9y，x∈Z+，y∈Z+，

∴x+y=（x+y）1x+9y

=1+9+yx+9xy

≥10+2yx·9xy

=16.

當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy時(shí)取“=”即y=12，x=4時(shí)取等號(hào).

六、不等式與參數(shù)相結(jié)合

例6設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且a、b滿足1a+9b=1，以使a+b≥c恒成立的c的取值范圍.

解∵a、b、c都是正數(shù)，1a+9b=1，

∴a+b=（a+b）·1a+9b

=10+ba+9ab

≥10+2×3

=16.

當(dāng)且僅當(dāng)ba=9ab，即b=3a時(shí)“=”成立.

∴a+b≥16，要使a+b≥c恒成立，只需0

∴c的取值范圍是（0，16].

【變式】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求證：1a+1b+1c≥9.

證明∵a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，

∴1a+1b+1c=1a+1b+1c·（a+b+c）

=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc

≥3+2ba·ab+2ca·ac+2cb·bc

=9.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”.

通過(guò)以上例子不難看出，涉及“1”的問(wèn)題中若能重視“1”的靈活運(yùn)用，可以起到“一”點(diǎn)通的妙效.