巧解一道二元最值問題

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇 孫瓊

巧解一道二元最值問題

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇 孫瓊

本文應(yīng)用待定系數(shù)法、整體法及該二元問題的幾何意義來求解該問題.

待定系數(shù)法整體法數(shù)形結(jié)合

在很多期刊上面都出現(xiàn)了如下這道例題:設(shè)實數(shù)x,y滿足4x2?5xy+4y2=5,求x2+y2的取值范圍.該題的解法很多,但大多應(yīng)用換元的方法求解.如文[1]、[2]、[3].本文轉(zhuǎn)換思路,嘗試應(yīng)用如下方法,求解該題.

1.待定系數(shù)法

解對于條件,設(shè)

同理,我們也可以得到x2+y2的最小值.不過要將題目變形為:

2.整體法

由方法1可知,在原題干下可得

一般的證明思路都是先證一邊,再證另一邊.其實該結(jié)論也可以同時證明.該不等式等價于

上式顯然≤0,原命題成立.

顯然方法2屬于驗證性證明,方法1屬于獲得性證明.但在多數(shù)情形下,題目的答案是未知的,所以方法1的實用性更強(qiáng)一些.

3.數(shù)形結(jié)合1

由文[4]可知,定理1:當(dāng)Ax2+Bxy+Cy2=D,D≠0有無數(shù)個解時,當(dāng)B2?4AC＜0時,Ax2+Bxy+Cy2= D,D≠0表示的曲線是橢圓,當(dāng)B2?4AC＞0,Ax2+Bxy+Cy2=D,D≠0表示的曲線是雙曲線.

對于4x2?5xy+4y2=5,A=4,B=?5,C=4,滿足B2?4AC＜0.所以該式對應(yīng)的圖像是一個橢圓.但該橢圓的對稱軸并不在坐標(biāo)軸上.現(xiàn)做一個線性代換,將其對稱軸旋轉(zhuǎn)到坐標(biāo)軸上.

令x=u+v,y=u?v.原題干轉(zhuǎn)變?yōu)?u2+13v2=5,如圖1所示,令u為橫軸,v為縱軸.

圖1

對于x2+y2,轉(zhuǎn)換為2u2+2v2.那么該問題就轉(zhuǎn)換為如下的一道幾何題目,已知橢圓C:3u2+13v2=5,求橢圓C上一點P,使點P到原點距離的平方的2倍為最大或最小,即2u2+2v2的最值.

根據(jù)橢圓的性質(zhì),該最值一定在橢圓的四個頂點處取得,易知

4.數(shù)形結(jié)合2

將式4x2?5xy+4y2=5,變形為聯(lián)系余弦定理,x,y可表示為某一個三角形的兩條邊.且該三角形的一條邊為且該邊所對角θ的余弦值為弊端:三角形要求各邊長必須＞0,而原題干中x,y為實數(shù).所以該方法只能求得當(dāng)x,y＞0或x,y＜0(若x,y＜0,則有?x.?y＞0,再代入上式.)時,x2+y2的范圍.所以不妨設(shè)x＞0,y＞0.

圖2

[1]徐元根.二次方程約束條件下的一類取值范圍問題[J].數(shù)學(xué)通報,2007,9.

[2]姜坤崇.一類求取值范圍問題的解法[J].數(shù)學(xué)通報,2006,4.

[3]厐景生.用三角換元巧解二元齊次式的最值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2007,5上.

[4]翁錦春,陳文灶.圓錐曲線與二元二次方程[J].福建師大福清分校學(xué)報,1993,3.