對一道華附復(fù)數(shù)題的深入探究和變式分析

廣東省汕頭市聿懷實驗學(xué)校(515000) 蔡昇

對一道華附復(fù)數(shù)題的深入探究和變式分析

廣東省汕頭市聿懷實驗學(xué)校(515000) 蔡昇

題目展示若對一切θ∈R,復(fù)數(shù)z=(a+cosθ)+(2a?sinθ)i的模不超過2,則實數(shù)a的取值范圍為___.(2011屆華附、省實、廣雅三校廣州一模后聯(lián)合適應(yīng)性考試)

1.正常思維—代數(shù)求解從正常角度出發(fā),上述題目是復(fù)數(shù)和不等式結(jié)合問題,用代數(shù)的方法求解是可以求出來的.

整理得到:0≤(a+cosθ)2+(2a?sinθ)2≤4,

也就是:?1≤5a2+2acosθ+4asinθ≤3,

根據(jù)三角函數(shù)化簡的規(guī)律,得

其中φ為定值,因為其不影響后續(xù)討論,故不用求出.

由于自變量取值范圍為R時,Asinx函數(shù)值的范圍由A決定.所以,上述不等式轉(zhuǎn)化成下述表示:

解后反思本題在3個方面設(shè)下了困難:(1)在化簡的過程中,不能想到采用輔助角,就無法繼續(xù)完成.(2)化簡后無法把三角函數(shù)看做整體,從而考慮最大值、最小值問題.(3)抓住了學(xué)生的慣性思維,讓學(xué)生在以為這類題很熟悉的情況下,對a的取值討論不充分,從而漏掉了解,導(dǎo)致答案出錯.

2.靈活變通—數(shù)形結(jié)合題目解題操作困難,就需要我們?nèi)グl(fā)掘較為簡便靈活的解法,本題恰有這樣的特點.本題可以通過轉(zhuǎn)化成為:與圓上一點距離值大小問題相關(guān)的問題.

筆者從復(fù)數(shù)z=x+yi得到啟發(fā),通過對比z=x+yi與z=(a+cosθ)+(2a?sinθ)i的形式,知道可以嘗試設(shè)x=a+cosθ,y=2a?sinθ.整理后,得x?a=cosθ,y?2a=sinθ.由于對此題的方向變?yōu)閷⑵滢D(zhuǎn)化為與圓的方程相關(guān)的問題,根據(jù)cos2θ+sin2θ=1,有(x?a)2+(y?2a)2=1,這個方程的圖像如下圖1,也就是圓心在(a,2a),半徑為1的圓O,并且可知圓心在直線y=2x上運動.

圖1

整理后得

解后反思本題新解的好處是通過數(shù)形結(jié)合的方法,將原本復(fù)雜的代數(shù)討論變成距離長度的討論.而且由于線段長度是正值,減少了部分討論.并且新解法和圓上移動點相聯(lián)系,并且涉及到圓心在定直線運動的特點,對于進一步思考圓上動點問題有拋磚引玉之效.

3.思維拓展—變式分析

出于對第二種解法的思考,考慮下述變式:(1)若對一切θ∈R,復(fù)數(shù)z=(a+cosθ)+(2a?sinθ)i的模不超過3,則實數(shù)的取值范圍為____.

變式思考:改變解題過程中的呈現(xiàn)的復(fù)數(shù)的模,從而改變題目.

(2)若對一切θ∈R,復(fù)數(shù)z=(a+cosθ)+(a?sinθ)i的模不超過2,則實數(shù)的取值范圍為____.

變式思考:改變解題過程中的圓心所在定直線,從而改變題目.

(3)若對一切θ∈R,復(fù)數(shù)z=(a+cosθ)+(2a? sinθ)i的模不小于2,則實數(shù)的取值范圍為____.

變式思考:改變解題過程中的對于模的大小限定范圍,從而改變題目.

(4)若對一切θ∈R,復(fù)數(shù)z=(a+cosθ)+(a?2sinθ)i的模不超過3,則實數(shù)的取值范圍為___.

變式思考:改變解題過程中的圓錐曲線,將圓變成橢圓,并讓學(xué)生自行探究橢圓心在定直線上的橢圓,何時距離原點最遠,從而改變題目.上述變式只是筆者稍作嘗試,讀者之后也可以繼續(xù)思考.