環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp上(1-u)-常循環(huán)碼的深度譜

鄭喜英,孔 波

(1.黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院,中國 鄭州 450063; 2. 河南財(cái)政金融學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，中國 鄭州 450046)

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環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp上(1-u)-常循環(huán)碼的深度譜

鄭喜英1*,孔 波2

(1.黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院,中國 鄭州 450063; 2. 河南財(cái)政金融學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，中國 鄭州 450046)

本文研究環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp上長為n(這里p?n)的(1-u)-常循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式. 基于差分運(yùn)算的線性性質(zhì)及環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp上(1-u)-循環(huán)碼的結(jié)構(gòu),給出其上(1-u)-常循環(huán)碼的深度譜.

有限鏈環(huán)；常循環(huán)碼；深度譜；深度分布

有限環(huán)上常循環(huán)碼理論的研究是目前的熱點(diǎn)問題. Etizion[1]把微分運(yùn)算應(yīng)用到線性碼中,給出了一些碼的深度分布. Mitchell[2]用整數(shù)值有理多項(xiàng)式的理論給出了二元循環(huán)碼的深度分布.Luo等[3]利用矩陣?yán)碚摻o出了線性碼深度分布的一般計(jì)算公式, 給出了有限域上線性碼的深度分布和深度譜. 廖群英等[4]給出了兩類環(huán)上線形碼的深度譜和深度分布的計(jì)算公式. 石立葉等[5]在研究了四元循環(huán)碼生成多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上給出了四元循環(huán)碼的深度譜. 鄭喜英等[6]給出了環(huán)Zpm上循環(huán)碼的深度譜. Chen等[7]給出了環(huán)Fpm+uFpm上長為2ps常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu). 石立葉等[8]用差分運(yùn)算的線性性質(zhì)給出了有限域上循環(huán)碼的深度分布. 施敏加等[9]研究了環(huán)Fq+uFq+…us-1Fq上常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu). Kai等[10]研究了有限環(huán)F2+uF2+vF2+uvF2上長為奇數(shù)的Fp+uFp+…uk-1Fp-常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu). Chen等[11]研究了有限域上的常循環(huán)碼的等價(jià)性, 并對(duì)其上常循環(huán)碼的生成員進(jìn)行了刻畫. 向躍明等[12]給出了半本元環(huán)的一些刻畫. 鄭喜英等[13]給出了有限鏈環(huán)上循環(huán)碼的深度分布. 本文的第一部分對(duì)環(huán)p上常循環(huán)碼和深度分布及深度譜的概念和性質(zhì)進(jìn)行了介紹. 第二部分根據(jù)環(huán)p上(1-u)-常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)給出了該環(huán)上的(1-u)-常循環(huán)碼深度譜.

文中出現(xiàn)的p均是素?cái)?shù),(n,p)=1,環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp均記為R.

1 基本概念

定義1 環(huán)R上長為n的線性碼是R-模Rn的一個(gè)加法子模. C為環(huán)R上長度為n的線性碼,如果?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C ?((1-u)cn-1,c0,c1,…,cn-2)∈C, 則稱C為(1-u)-常循環(huán)碼.

本文中的(1-u)-常循環(huán)碼均認(rèn)為是線性的.

C是環(huán)R上長為n的循環(huán)碼的充分必要條件是C是R[x]/(xn-1)的理想. C是環(huán)R上長為n的(1-u)-常循環(huán)碼的充分必要條件是C是R[x]/(xn-1+u)的理想.

下面定義3個(gè)線性算子.

(1) ?x=(x1,x2,…,xn)∈Rn定義x的差分為D(x)=(x2-x1,x3-x2,…xn-xn-1).約定n=1時(shí)D(x)=0. 當(dāng)1

(2) 對(duì)任意多項(xiàng)式l(x)∈R[x],定義線性算子

Ll(x):R[x]/(xn-1+u)→R[x]/(xn-1+u),

證明同文獻(xiàn)[5]引理2.1.

定義2 對(duì)向量x=(x0,x1,…,xn-1)∈Rn, 稱使Di(x)=0成立的最小非負(fù)整數(shù)i稱為向量x的深度, 記為depth(x), 否則記x的深度為n.

定義3[3]設(shè)C是環(huán)R上長為n的線性碼, Di表示碼C中深度為i的碼字的個(gè)數(shù), 則集合{D0,D1,…,Dn}稱為碼C的深度分布, {i|Di≠0,1≤i≤n}為碼C的深度譜,記作Dept(C). 約定Dept({0})=?.

引理3 (1) D是從Rn到Rn-1的滿線性同態(tài)；

(2) 若depth(x)=d>t>0, 則depth(Dt(x))=d-t；

(3) Dept(Rn)={1,2,…,n}.

證 將文獻(xiàn)[8]中引理2.5證明中的F換成R即可.

引理4 設(shè)C是環(huán)R上長為n的碼, 記C′=Di(C)是碼C通過算子Di在Rn-i中的像, 這里1≤i≤n, 記C″={c∈C| Di(C)=0},則

Dept(C)=Dept(C″)∪(i+Dept(C′))

證 將文獻(xiàn)[5]中定理2.6證明中的F換成R即可.

2 主要結(jié)果

證 由

(1)

可知C是R[x]/(xn-1+u)的理想且在算子Lx-1之下封閉, 得線性同態(tài)

(2)

記f′(x)=(x-1)ef1(x),則(2)的像是由f′(x)生成的(1-u)-常循環(huán)碼, 記為C′, 檢驗(yàn)多項(xiàng)式是h1(x),所以C′={g(x)f′(x)mod(xn-1+u)|g(x)∈R[x]}. 因C′的生成多項(xiàng)式是首一的且次數(shù)為n-t且dimC′=degh1(x)=t. 則可以將線性映射(2)改為線性滿同態(tài)

(3)

由于s+t≤n, 即n-s-t≥0,且C′是(1-u)-常循環(huán)碼.

進(jìn)一步考慮線性變換

(4)

(5)

進(jìn)一步,對(duì)C′考慮截取算子,可得下面的線性同構(gòu)

(6)

Dn-t:C→Rt

C″={c∈C| Dn-t(c)=0}=

(7)

Dept(C)=Dept(Ker(Dn-t))∪(n-t+Dept(lmf(Dn-t)).

Dept(C)=Dept(C″)∪(n-t+Dept(Rt))={1,2,…,s}∪{n-t+1,n-t+2,…,n}={1,2,…,s,n-t+1,n-t+2,…,n}.

根據(jù)定理1,2可得下面的定理：

{1,2,…,s1,n-(m1-s1)+1,n-(m1-s1)+2,…,n;…;

1,2,…,sk,n-(mk-sk)+1,n-(mk-sk)+2,…,n}

綜上可得,環(huán)R長為n的(1-u)-常循環(huán)碼的深度譜為集合

{1,2,…,s1,n-(m1-s1)+1,n-(m1-s1)+2,…,n;…;

1,2,…,sk,n-(mk-sk)+1,n-(mk-sk)+2,…,n}.

[1] ETIZION T. The depth distribution: a new characterization for linear codes [J]. IEEE Trans Infor Tech, 1997,43(4):1361-1363.

[2] MITCHELL C J. On integer-valued rational polynomials and depth distributions of binary codes [J]. IEEE Trans Infor Tech, 1998,44(7):1346-1350.

[3] LUO Y, FU F W, WEI V. On the depth distribution of linear codes [J]. IEEE Trans Inform Theor, 2000,46(2):2197-2203.

[4] 廖群英,蒲可莉. 環(huán)上線性循環(huán)碼的深度譜以及深度分布的一個(gè)注記[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,36(2):159-164.

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[8] 石立葉,循環(huán)碼的深度分布[D].武漢：華中師范大學(xué), 2007.

[9] 施敏加,朱士信. 環(huán)Fq+uFq+…us-1Fq上的常循環(huán)碼[J]. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009,39(6):583-587.

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[11] CHEN B C, FAN Y, LIN L R,etal. Constacyclic codes over finite fields[J]. Finite Fields Their Appl, 2012,18(6):1217-1231.

[12] 向躍明, 吳毅清. Small理想都是投射的環(huán)[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2012,35(1):1-4.

[13] 鄭喜英, 常曉鵬. 有限鏈環(huán)上循環(huán)碼的深度分布[J]. 河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012,42(4):347-350.

(編輯 HWJ)

The Depth Spectrum for (1-u)-Constacyclic Codes overFp+uFp+…uk-1Fp

ZHENGXi-ying1*,KONGBo2

(1. Institute of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China；2. School of Mathematics and Statistics, Henan Institute of Economy, Zhengzhou 450046, China)

The generator polynomial for (1-u)-constacyclic codes of lengthnover the ringFp+uFp+…+uk-1Fpis established whenp?n. In light of the linear property of difference and the structure of (1-u)-constacyclic codes over ringFp+uFp+…+uk-1Fp, the depth spectrum of (1-u)-constacyclic codes over the ring is given.

finite chain ring; constacyclic code; depth spectrum; depth distribution

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.06.015

2015-10-17

河南省基礎(chǔ)與前沿項(xiàng)目(162300410083)；鄭州市科技局項(xiàng)目(20141375)

O157.4

A

1000-2537(2016)06-0085-04

*通訊作者,E-mail：zxyccnu@163.com