基于最優(yōu)PID和LQG算法的空間望遠鏡大口徑快擺機構(gòu)控制系統(tǒng)仿真

張茜丹，魏傳新，尹達一

（1. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039；2. 中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海 200083）

基于最優(yōu)PID和LQG算法的空間望遠鏡大口徑快擺機構(gòu)控制系統(tǒng)仿真

張茜丹1,2，魏傳新1,2，尹達一1,2

（1. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039；2. 中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海 200083）

空間望遠鏡在觀測時會受到不確定性擾動，這些擾動的特性為幅值小，頻帶寬，控制難，而且望遠鏡平臺的振動成分大部分在10 Hz以內(nèi)。為了減小這些低頻振動造成的干擾，對空間望遠鏡的大口徑FSM系統(tǒng)進行控制器設(shè)計使其能夠?qū)Φ皖l擾動具有良好的抑制作用，選擇的控制算法為在ITAE指標(biāo)最優(yōu)情況下的PID算法和帶有積分作用的LQG算法。利用Simulink對系統(tǒng)搭建模型，仿真結(jié)果表明：FSM系統(tǒng)在PID控制器作用下的響應(yīng)時間為0.4 s, 在LQG控制器作用的響應(yīng)時間為0.04 s，且都無穩(wěn)態(tài)誤差。利用OICETS衛(wèi)星的振動功率譜密度數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的抑制能力進行驗證，在低頻段0～10 Hz范圍內(nèi)：跟蹤模式時，系統(tǒng)在PID控制器作用下，抑制能力為14.5 dB，系統(tǒng)在LQG控制器作用下，抑制能力為32.5 dB；瞄準(zhǔn)模式時，系統(tǒng)在PID控制器作用下，抑制能力為10.3 dB，系統(tǒng)在LQG控制器作用下，抑制能力為23.6 dB。經(jīng)過比較，該大口徑FSM系統(tǒng)在LQG控制器作用下的系統(tǒng)性能明顯優(yōu)于在最優(yōu)PID控制器作用下。

大口徑快擺機構(gòu)控制系統(tǒng)；擾動抑制；PID算法；LQG算法

在空間進行天文觀測可以擺脫大氣影響，具有較低的背景噪聲而且觀測波長范圍廣，望遠鏡的角分辨率接近衍射極限，所以空間天文望遠鏡已成為天文觀測的重要手段?？臻g望遠鏡口徑越大，聚光能力越強，分辨率越高，所以大口徑空間望遠鏡可以獲得更清晰的圖像和更全面的信息?？臻g望遠鏡在軌運行時工作環(huán)境復(fù)雜，受到多種微振動影響，不同頻率和振幅的振動會對像質(zhì)產(chǎn)生不同的影響[1]。為了實現(xiàn)空間望遠鏡預(yù)期的探測精度，保證系統(tǒng)的分辨率不下降，圖像性能不退化，這就要求空間望遠鏡具有極高的穩(wěn)像能力。

目前國內(nèi)尚無在軌運行的大口徑空間望遠鏡，為了實現(xiàn)空間望遠鏡的大視場觀測，系統(tǒng)可以在觀測目標(biāo)光源與接收探測器之間通過控制大口徑快速擺動鏡（Fast Steering Mirror，F(xiàn)SM），在一定擺角范圍內(nèi)以一定速度調(diào)整光軸的穩(wěn)定，實現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)的高速精確指向、跟蹤和圖像穩(wěn)定。由于FSM具有大口徑，大慣量，如果要想取得高的定位精度和良好的動態(tài)性能，無論是采用開環(huán)控制還是閉環(huán)控制，都需要與一定的控制算法相結(jié)合。通過對快擺鏡結(jié)構(gòu)的頻響特性進行測量與分析，建立數(shù)學(xué)模型，采用可靠的控制算法，可提高系統(tǒng)的跟蹤和響應(yīng)能力。

1 空間望遠鏡平臺擾動分析

在FSM系統(tǒng)設(shè)計初期，首先要分析擾動的來源以及特性[2]?？臻g望遠鏡受到的擾動來源分別是航天器所處空間環(huán)境帶來的擾動，外部擾動源和內(nèi)部擾動源。外部擾動源主要是望遠鏡平臺振顫帶來的擾動，內(nèi)部擾動源主要與望遠鏡自身進行的某些特定操作有關(guān)。其中部分擾動來源如表1所示。望遠鏡平臺振顫是FSM系統(tǒng)最大擾動源，所以了解望遠鏡平臺振動頻譜特性對于穩(wěn)像系統(tǒng)而言是必要的。

對于特定的望遠鏡平臺，在設(shè)計初期很難給出其本身的振動數(shù)據(jù)，所以需要參考已經(jīng)成功發(fā)射的衛(wèi)星振動數(shù)據(jù)，根據(jù)這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)開展系統(tǒng)仿真估計。

Sudey和Sculman在1984年發(fā)表了由美國航空航天局（NASA）發(fā)射的LANDSAT-4衛(wèi)星振動功率譜密度（Power spectral density，PSD）數(shù)據(jù)[3]。Wittig在1990年發(fā)表了由歐洲航天局（ESA）發(fā)射的OLYMPUS通信衛(wèi)星PSD數(shù)據(jù)[4]。歐洲航天局SILEX計劃采用式(1)作為衛(wèi)星平臺振動 PSD 函數(shù)[4]，為圖 1中的ESAspec曲線。首先根據(jù)式(1)在實驗室對 ARTEMIS飛船進行了振動測試[5]，衛(wèi)星發(fā)射后，對ETS-VI衛(wèi)星做了在軌測量[6]，測量數(shù)據(jù)為圖1中ETS-VI曲線。

表1 望遠鏡平臺擾動來源Tab.1 Disturbance source of telescope platform

日本科學(xué)家先在實驗室對OICETS通信衛(wèi)星的振動情況做了最壞的預(yù)測[7]，并在衛(wèi)星發(fā)射之后對其振動情況做了測試。對比實驗室與在軌數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，衛(wèi)星在軌的振動程度比在實驗室預(yù)測的更嚴(yán)重[8]。圖1所示為典型的衛(wèi)星平臺振動功率譜密度[9]。LANDSAT和OLYMPUS使用相同的加速度計測量，LANDSAT的振動頻率最高達128 Hz，OLYMPUS衛(wèi)星的振動頻率最高達500 Hz。ETS_VI的振動數(shù)據(jù)是由位于其快擺鏡上的角位移測量裝置測得的，頻率最高可達250 Hz。OICETS衛(wèi)星由加速度計分別測試了跟蹤和瞄準(zhǔn)模式下1 Hz到1024 Hz的振動數(shù)據(jù)。

圖1 典型的衛(wèi)星平臺振動功率譜密度Fig.1 Vibration power spectrum density of typical satellite platform

空間飛行器與有效載荷交界處的振動均方根值可以由式(2)計算得到：

對OICETS衛(wèi)星振動數(shù)據(jù)進行計算，在表2中可以看到振動在每個頻率段的分布，大部分的振動成分都在10 Hz以下。由這些數(shù)據(jù)可以看出，振動顯示出低頻高幅，高頻低幅的特性。通常情況下低頻振動包括太陽電池陣列由于共振或熱瞬態(tài)影響引起的偏轉(zhuǎn)及偏航機動等，這類擾動頻率較低，一般是幾Hz量級。而高頻振動一般振動幅度在微弧度量級，帶寬 1～2 kHz，機械裝置、電機和其他硬件都可以產(chǎn)生這類擾動?？偟目梢詫⒖臻g衛(wèi)星平臺的振動概括為幅值小、頻帶寬、控制難。對于高頻段（10 Hz以上）的振動，通常利用隔離系統(tǒng)進行隔離，這種被動隔振的方法對于高頻振動有良好的隔振效果；對低頻段（10 Hz以下）振動，在空間望遠鏡主光學(xué)系統(tǒng)后端與成像探測器之間設(shè)計精密穩(wěn)像系統(tǒng)。其中精密穩(wěn)像系統(tǒng)的主體為大口徑FSM，通過驅(qū)動大口徑FSM在特定擺角范圍內(nèi)的運動來消除振源對負載的擾動影響，可以高精度的補償平臺姿態(tài)變化、振顫等引起的星象模糊，最終實現(xiàn)望遠鏡光學(xué)系統(tǒng)的高速精確跟蹤[10]、指向及成像穩(wěn)定。

表2 振動頻率分布情況Tab.2 Distribution of vibration frequency

2 大口徑FSM系統(tǒng)分析

對于FSM系統(tǒng)設(shè)計控制器，系統(tǒng)所用的FSM主要由驅(qū)動器、支撐架和鏡體三部分組成，鏡體口徑為600mm。選擇輸出帶寬大、精度高的壓電陶瓷制動器（PZT）作為系統(tǒng)的驅(qū)動機構(gòu)[11]；選擇柔性鉸鏈來支撐鏡面，具有精度更高，諧振頻率更高，沒有摩擦，無需潤滑等優(yōu)點[12]。FSM系統(tǒng)框圖如圖2所示。

FSM系統(tǒng)中，粗級控制系統(tǒng)的輸入為期望視軸位置R，輸出為YF，它們之間的控制殘差為E。

圖2 FSM系統(tǒng)原理圖Fig.2 Schematic of motor system

以粗級控制系統(tǒng)的殘差E作為精級控制系統(tǒng)的輸入，采用合適的控制算法對FSM進行控制，使其輸出的補償殘差yE與粗級控制系統(tǒng)的殘差E之間的差異e比E小得多。這樣補償殘差yE與粗級控制系統(tǒng)的輸出YF進行累加，可以得到與期望視軸位置R誤差更小的視軸指向YLOS。由式(4)可知，F(xiàn)SM的補償殘差決定了視軸穩(wěn)定精度。

通過對 FSM 系統(tǒng)進行系統(tǒng)辨識，輸入是驅(qū)動器PZT的工作電壓U，輸出是FSM的轉(zhuǎn)動角度θ。得到FSM繞一個軸平動時的狀態(tài)方程[13]，如式(6)所示：

3 大口徑FSM系統(tǒng)的控制器仿真

對于FSM系統(tǒng)控制器的設(shè)計，選擇Matlab中控制工具箱與Simulink仿真系統(tǒng)相結(jié)合的方法，針對式(6)所示的FSM系統(tǒng)，設(shè)計適合的控制器，給出在控制器作用下的系統(tǒng)特性以及系統(tǒng)對擾動抑制的仿真結(jié)果。

3.1 最優(yōu)PID控制器仿真

PID控制器在工業(yè)界應(yīng)用最廣泛[14]。將最優(yōu)控制器設(shè)計與數(shù)值最優(yōu)化問題結(jié)合起來，將Matlab語言的尋優(yōu)能力與Simulink的系統(tǒng)仿真結(jié)合起來，可以解決PID控制器參數(shù)的確定問題。

連續(xù)PID控制器的典型形式為

Laplace變換形式可以寫成：

式中：KP、Ki和Kd分別是對系統(tǒng)誤差信號e(t)及其積分、微分量的加權(quán)。在實際應(yīng)用中，由于純微分環(huán)節(jié)不能直接使用，通常用帶有濾波作用的一階環(huán)節(jié)來近似描述，所以設(shè)計的PID控制器的最終形式如式(9)所示：其中，Tf是濾波時間常數(shù)。

經(jīng)過Simulink建立模型和Matlab尋優(yōu)，得到在ITAE指標(biāo)最優(yōu)情況下的PID控制器。ITAE是一種最優(yōu)化指標(biāo)，其定義為

基于 ITAE指標(biāo)的最優(yōu)控制，可以實現(xiàn)控制系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)最小。通過對時間的加權(quán)方式使得無法控制的初始時刻的誤差加權(quán)變小，使得系統(tǒng)能夠保證調(diào)節(jié)時間變短，但調(diào)節(jié)的動態(tài)過程卻會更穩(wěn)定[15]。得到PID控制器為

系統(tǒng)在該PID控制器的作用下，閉環(huán)階躍響應(yīng)和開環(huán)頻率響應(yīng)如圖3所示。

由PID控制系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)圖可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)時間為0.4 s，無穩(wěn)態(tài)誤差；由開環(huán)伯德圖可以得到，系統(tǒng)幅值裕度為9.73 dB，相角裕度為89，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖3 在PID控制器作用下的系統(tǒng)特性Fig.3 System performance with PID controller

3.2 LQG控制器仿真

LQG是對已知的控制對象用式(12)表示：

dω和nω分別是擾動和量測噪聲，通常假設(shè)它們?yōu)椴幌嚓P(guān)的零均值白噪聲過程。LQG控制問題就是求取式13能夠最小化的最優(yōu)控制信號u(t)。

設(shè)計 LQG控制器一般分為兩個步驟[16]。第一步需要得到一個線性二次調(diào)節(jié)器（LQR），在不考慮dω和nω的情況下尋找得到一個最優(yōu)控制器，即

需要注意的是，式中要求x可量測并可用于反饋，但實際情況有些狀態(tài)變量不能直接測量，所以需要第二步尋求狀態(tài)x的最優(yōu)估計，這個最優(yōu)狀態(tài)估計由Kalman濾波器給出，并且與Q和R無關(guān)。用代替x就可獲得LQG問題的解，即

根據(jù)上述方法設(shè)計的 LQG控制器不具有積分作用，所以在設(shè)計狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器之前，利用圖4所示結(jié)構(gòu)給控制對象 FSM 添加一個積分器使系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 帶積分作用的LQG控制器Fig.4 LQG controller with integral action

根據(jù)上述結(jié)構(gòu)對FSM設(shè)計帶有積分作用的LQG控制器，如式(16)所示：

式中：Ki為積分器增益；Kx為最優(yōu)增益矩陣；L為Kalman濾波器的增益矩陣。帶入具體數(shù)值可得LQG控制器如式(17)所示：

系統(tǒng)在該 LQG控制器的作用下，閉環(huán)階躍響應(yīng)和開環(huán)頻率響應(yīng)如圖5所示。

由 LQG控制系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)圖可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)時間為0.04 s，無穩(wěn)態(tài)誤差；由開環(huán)伯德圖可以得到，系統(tǒng)帶寬為43.8 Hz，系統(tǒng)幅值裕度為3.28 dB，相角裕度為78.03，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5 在LQG控制器作用下的系統(tǒng)特性Fig.5 System performance with LQG controller

3.3 系統(tǒng)對擾動的抑制仿真結(jié)果

閉環(huán)控制系統(tǒng)的擾動抑制曲線如圖6所示，由圖中可以看出：在PID控制器的作用下，系統(tǒng)對擾動的抑制能力主要在10 Hz以下；在LQG控制器作用下，系統(tǒng)的抑制能力可以達到40 Hz，而且抑制能力比PID控制器的抑制能力強。這是因為系統(tǒng)的狀態(tài)變量受到擾動影響，LQG控制器中的Kalman狀態(tài)觀測器可以處理系統(tǒng)與觀測中的擾動問題，使?fàn)顟B(tài)估計誤差的協(xié)方差最小，而PID控制器并沒有這個功能，所以PID控制器在克服擾動影響方面比LQG控制器差些。

經(jīng)過 FSM 系統(tǒng)抑制后的殘余功率譜密度可由式(18)計算：

式中：E(f)為FSM系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)；S(f)為空間望遠鏡受到振動的PSD函數(shù)。選取圖1中OICETS衛(wèi)星振動數(shù)據(jù)，計算得到殘余功率譜密度θremains后，再根據(jù)式(2)進行計算，計算結(jié)果如表3所示。

圖6 系統(tǒng)分別在PID控制器和LQG控制器作用下的抑制特性曲線Fig.6 Curves of system error rejection with PID controller and LQG controller

根據(jù)圖6和表3可以看出，跟蹤模式和瞄準(zhǔn)模式振動數(shù)據(jù)在0～10 Hz范圍內(nèi)的PSD值的均方根值分別為22μrad和42μrad，經(jīng)過大口徑FSM系統(tǒng)以后，振動被抑制：在PID控制器的作用下，抑制后PSD值的均方根值分別為4.1μrad和12.6μrad，抑制效果分別為14.5 dB和10.3 dB；在LQG控制器的作用下，抑制后PSD值的均方根值分別為0.53μrad和2.75μrad，抑制效果分別為32.5 dB和23.6 dB。

表3 系統(tǒng)抑制前后數(shù)據(jù)Tab.3 Data before and after system suppressed

4 結(jié) 論

大口徑 FSM 系統(tǒng)對于抑制空間望遠鏡低頻擾動有著關(guān)鍵作用，本文分別采用最優(yōu)PID算法和帶積分作用的LQG算法對空間望遠鏡的大口徑FSM系統(tǒng)設(shè)計控制器，選擇OICETS衛(wèi)星振動數(shù)據(jù)作為擾動輸入對所設(shè)計的控制器作用進行驗證。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)在PID控制作用下的響應(yīng)時間為0.4 s, 在LQG控制作用下的響應(yīng)時間為0.04 s，且都無穩(wěn)態(tài)誤差。在低頻段0～10 Hz的范圍內(nèi)，所設(shè)計的FSM系統(tǒng)在完成系統(tǒng)跟瞄任務(wù)的同時，可以對該頻段擾動有很好的抑制作用。跟蹤模式時，系統(tǒng)在PID控制器作用下，抑制能力為14.5 dB，系統(tǒng)在LQG控制器作用下，抑制能力為32.5 dB；瞄準(zhǔn)模式時，系統(tǒng)在PID控制器作用下，抑制能力為10.3 dB，系統(tǒng)在LQG控制器作用下，抑制能力為23.6 dB。該大口徑FSM系統(tǒng)在LQG控制下系統(tǒng)性能明顯高于在ITAE指標(biāo)最優(yōu)情況下的PID控制。

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Large-aperture fast-steering mirror control system of space telescope based on optimal PID and LQG algorithms

ZHANG Xi-dan1,2, WEI Chuan-xin1,2, YIN Da-yi1,2
(1. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China;2. Shanghai Institute of Technical Physics of the Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200083, China)

The observation by space telescope is subject to uncertain disturbances with small vibration swing and wide frequency bandwidth. These disturbances are hard to be controlled, and most of them are within 10 Hz. In order to reduce these low-frequency disturbances, a controller with large-aperture fast-steering mirror system is designed. A PID algorithm at the condition of optimal integrated time absolute error (ITAE)criterion and a LQG algorithm with integral action are used respectively in designing the controller. A simulation model based on Simulink platform is built, and the simulation results show that the PID controller and the LQG controller have good performances in dynamic response and steady-state response. Meanwhile they can effectively suppress the low-frequency disturbances. The response time is 0.4 s and 0.04 s when the system is controlled by the PID and the LQG respectively, and the system is without steady state error in both situations. The vibration power spectrum density data of OICETS satellite verify the suppression ability of the system. In low-frequency range of 0-10 Hz: under the tracking mode, the disturbance restrain ability of the systems with PID controller and with LQG controller are 14.5 dB and 32.5 dB, respectively; while under targeting mode, the disturbance restrain ability of the systems with PID controller and with LQG controller are 10.3 dB and 23.6 dB, respectively. The comparison results indicate that the LQG controller has a better performance than the optimal PID controller in large-aperture FSM system.

large-aperture fast steering mirror; disturbance suppression; PID algorithm; LQG algorithm

U666.1

A

1005-6734(2016)05-0677-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.05.021

2016-04-26；

2016-06-16

國家自然科學(xué)基金資助項目（40776100）

張茜丹（1991—），女，博士研究生，從事空間高精度穩(wěn)像控制算法方面的研究。E-mail: zh_xidan@163.com

聯(lián) 系 人：尹達一（1976—），男，博士生導(dǎo)師。E-mail: yindayi@mail.sitp.ac.cn