含區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

張驁

摘要：文章研究了含區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題，獲到了一種新的判斷時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，通過(guò)引入新的積分不等式放縮，增加了適當(dāng)?shù)淖杂删仃?，從而獲得的結(jié)果具有更好的保守性，結(jié)論通過(guò)Matlab數(shù)學(xué)軟件求解線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）得以驗(yàn)證，最后數(shù)值仿真驗(yàn)證了提出的方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性分析；區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)；Lyapunov第二方法；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類(lèi)號(hào)：TP13 文章編號(hào)：1009-2374（2016）31-0054-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.31.028

時(shí)滯系統(tǒng)已經(jīng)得到了廣泛的研究，但是很多研究成果大多研究的是小時(shí)滯現(xiàn)象，區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)還沒(méi)有得到廣泛的關(guān)注，隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的發(fā)展，時(shí)滯在一個(gè)區(qū)間內(nèi)變化的系統(tǒng)得到了重視，時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于實(shí)際工程系統(tǒng)中，包括具體的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、傳輸系統(tǒng)等，因此，在某種條件下，含區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)既便于研究又具有更深的理論研究?jī)r(jià)值，比現(xiàn)實(shí)工業(yè)中的帶有區(qū)間時(shí)滯的時(shí)滯系統(tǒng)更加具有實(shí)際意義，不同的矩陣不等式放縮會(huì)得到不同的李雅普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定理論判據(jù)，現(xiàn)有的模型變換方法，帶來(lái)的計(jì)算很繁瑣，得到的線(xiàn)性矩陣不等式結(jié)構(gòu)也很復(fù)雜。

本文重點(diǎn)是把注意力都放在Jensen積分不等式放縮上來(lái)，根據(jù)現(xiàn)有的Jensen積分不等式放縮，得到了新的Jensen積分不等式放縮，使結(jié)果具有較好保守性，同時(shí)引入了新的自由矩陣，降低了結(jié)果的保守性。

1 系統(tǒng)問(wèn)題描述

考慮區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：

（1）

為初始值

式中：為狀態(tài)向量；0≤hm≤h（t）≤hM是系統(tǒng)中的變時(shí)滯；是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣；，，初始條件是在區(qū)間上的向量值函數(shù)具有連續(xù)性和可微性。

引理1：（Liu[9，10]）

假如存在，且適維的自由矩陣使得：

那么有以下結(jié)論：

引理2：狀態(tài)向量、以及任意適維正定矩陣，使得以下不等式成立：

2 主要結(jié)論

對(duì)于區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)（1），研究的目的是通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，對(duì)于不同的時(shí)滯下限，獲得使區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)（1）穩(wěn)定的最大時(shí)滯上限。

定理：考慮具有區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)的式子（1），假設(shè)是已知的，且，如果存在矩陣以及一些適維矩陣使得下面線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）成立，即：

那么系統(tǒng)（1）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：為了獲得更好的結(jié)果，引入以下Lyapunov Krasovskii泛函，并且得到如下線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）：

（2）

其中：

，

，

，

沿著標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)（1）求導(dǎo)并根據(jù)引理得：

最后根據(jù)引理可得：

，其中：

（3）

其中：

（4）

得出<0，故時(shí)滯系統(tǒng)（1）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，從而獲得了判別系統(tǒng)（1）漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。如果時(shí)變時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上限未知，在定理中的李雅普諾夫函數(shù)，可以去掉得到下面的推論。

3 數(shù)值仿真

數(shù)值例子說(shuō)明了文中給出方法的可行性、正確性和有效性。

例：考慮滿(mǎn)足條件（2）的中立時(shí)滯系統(tǒng)（3），其中：

，，，。

對(duì)于不同的給定下界，使系統(tǒng)具有漸進(jìn)穩(wěn)定的上界hM，表1表明了結(jié)果具有更小的保守性。

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