非磁性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)阻尼效應(yīng)的定量研究

劉雨龍,俞曉明

(鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 鹽城 224051)

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非磁性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)阻尼效應(yīng)的定量研究

劉雨龍,俞曉明

(鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 鹽城 224051)

應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)出非磁性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)衰減方程;定義并測(cè)量了導(dǎo)體盤(pán)的摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù);分析研究了電磁阻尼系數(shù)與勵(lì)磁電流平方間的關(guān)系.

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán);摩擦阻尼系數(shù);電磁阻尼系數(shù);轉(zhuǎn)速衰減方程

非磁性導(dǎo)體與磁體間因相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生電磁感應(yīng)效應(yīng),由此產(chǎn)生的阻尼力已被廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)[1]通過(guò)分析磁體與非磁性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體的相互作用,發(fā)現(xiàn)了一種由非磁性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體驅(qū)動(dòng)永動(dòng)磁體轉(zhuǎn)動(dòng)的非接觸驅(qū)動(dòng)方式,文獻(xiàn)[2]基于氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子阻尼振動(dòng)的實(shí)驗(yàn),通過(guò)給滑塊的兩側(cè)安裝金屬片,并在金屬片的上下方放置磁條分析空氣阻尼和磁阻尼的影響.文獻(xiàn)[3]利用霍爾開(kāi)關(guān)測(cè)量磁性滑塊在鋁質(zhì)導(dǎo)體斜面上下滑的速度,求出磁阻尼系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù).文獻(xiàn)[4]利用氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng),將高強(qiáng)度釹鐵硼永磁體對(duì)稱的固定于滑塊兩側(cè)斜面上,使導(dǎo)軌內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌表面,研究磁阻尼效益,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與改造設(shè)計(jì)模型的理論吻合.

本文應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律、電阻定律、安培定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律等推導(dǎo)出非磁性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)衰減方程,在定義了摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)后,利用廢舊儀器設(shè)備自組實(shí)驗(yàn)裝置并利用手機(jī)的錄像功能和視頻分析、角度度量等軟件測(cè)得旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)的摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)；根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，還探索研究了電磁阻尼系數(shù)與勵(lì)磁電流的平方間所成的正比例關(guān)系.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 電磁阻尼系數(shù)的定義

如圖1(a),半徑為R、厚度為d、電導(dǎo)率為σ、質(zhì)量密度為ρ的非磁性金屬導(dǎo)體盤(pán)與軸承固結(jié)后可在豎直平面內(nèi)繞水平軸OO′旋轉(zhuǎn).如圖1(b),在導(dǎo)體盤(pán)的下邊緣左右兩側(cè)施加截面長(zhǎng)AC=DE=a、寬CD=EA=b且垂直于導(dǎo)體盤(pán)面的矩形近距勻強(qiáng)磁場(chǎng),其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,陰影部分表示磁場(chǎng)在導(dǎo)體上的投影.忽略矩形磁鐵的邊緣效應(yīng),并設(shè)陰影部分之外無(wú)磁場(chǎng).

(a)

(b)

當(dāng)導(dǎo)體盤(pán)以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,陰影部分的導(dǎo)體將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

(1)

在金屬導(dǎo)體盤(pán)上的陰影處取長(zhǎng)AC=a、寬CD=b、厚為d的塊狀導(dǎo)體,設(shè)該塊狀導(dǎo)體的電阻為r1,導(dǎo)體AC、DE兩端間的路端電壓為U,導(dǎo)體以外的圓盤(pán)電阻為r2,回路中的感應(yīng)電流為i,則根據(jù)閉合電路的歐姆定律和電阻公式有

ε=U+ir1=i(r1+r2)

(2)

式(2)中塊狀導(dǎo)體的電阻:

(3)

在b相對(duì)于a較小的情況下,可視導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電流均勻分布在邊AC與邊DE間,感應(yīng)電流

(4)

記式(4)中

(5)

根據(jù)安培定律,當(dāng)該塊狀導(dǎo)體受到的切向電磁阻尼力為F時(shí)，電磁阻尼力矩:

M=RF=RBib=-ασB2R2abdω

(6)

設(shè)勵(lì)磁電流I與磁感應(yīng)強(qiáng)度B間存在線性關(guān)系,系數(shù)為C,即

B=CI

(7)

將式(7)代入式(6)得

M=-ασC2R2abdωI2

(8)

定義旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)的電磁阻尼系數(shù):

K1=ασC2R2abdI2

(9)

式(9)表明電磁阻尼系數(shù)K1不是常量,而是勵(lì)磁電流的函數(shù),與勵(lì)磁電流I的平方成正比.則電磁阻尼力矩:

M=-K1ω

(10)

式(10)中“-”表明電磁阻尼力矩M與導(dǎo)體盤(pán)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω方向相反,導(dǎo)體盤(pán)將在電磁阻尼力矩的作用下減速轉(zhuǎn)動(dòng).

1.2 摩擦阻尼系數(shù)的定義

導(dǎo)體盤(pán)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,除受電磁阻尼力矩外,還受空氣的摩擦阻尼作用以及軸承處的摩擦阻尼作用.定義導(dǎo)體盤(pán)與空氣和軸承的摩擦阻尼系數(shù)為K2,則摩擦阻尼力矩為

Mf=-K2ω

(11)

1.3 導(dǎo)體盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)衰減方程

應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得

即

(12)

式(12)中J為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)對(duì)水平軸OO′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

積分式(12)得旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)衰減方程：

(13)

2 實(shí)驗(yàn)裝置

1) 如圖2,將直徑D鋁約500 mm、厚度d鋁約2 mm的鋁盤(pán)中心鉆孔,孔徑約25 mm.用螺絲將鋁盤(pán)固定在外徑D軸外約80 mm、內(nèi)徑D軸內(nèi)約25 mm、厚度d軸約28 mm的軸承上,軸承固套在水平軸OO′上,鋁盤(pán)和軸承可繞水平軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng).

2) 將水平軸OO′架在高度可調(diào)的鐵質(zhì)支架上,沿鋁盤(pán)半徑貼狹長(zhǎng)白紙條,以便度量導(dǎo)體盤(pán)的旋轉(zhuǎn)角度.

3) 將廢舊TH-H型霍爾效應(yīng)試驗(yàn)儀上密繞導(dǎo)線的U型硅鋼片放在鐵架上,調(diào)節(jié)支架的高度,使鋁盤(pán)的下邊緣恰好處于U型硅鋼片的狹縫中心.安裝時(shí)注意使鋁盤(pán)與U型硅鋼片間的狹縫平行并使二者保持一定的距離,避免鋁盤(pán)旋轉(zhuǎn)時(shí)觸及硅鋼片.固牢U型硅鋼片的兩極,避免線圈通電時(shí)兩極因相互吸引而夾住旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán).

4) 將密繞在U型硅鋼片上的導(dǎo)線與TH-H型霍爾效應(yīng)測(cè)試儀連接,測(cè)試儀接入到220 V的電源上.

5) 用手機(jī)支架將手機(jī)架好,攝像頭正對(duì)轉(zhuǎn)軸,手機(jī)屏幕能清晰呈現(xiàn)完整的轉(zhuǎn)盤(pán)圖像.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與數(shù)據(jù)采集

1) 用游標(biāo)卡尺測(cè)量軸承的內(nèi)徑、外徑和厚度以及U型硅鋼片的狹縫長(zhǎng)度a、寬度b;用毫米刻度尺測(cè)量鋁盤(pán)的直徑;用螺旋測(cè)微器測(cè)量鋁盤(pán)的厚度;

2) 調(diào)試手機(jī),使其處于畫(huà)面清晰的攝像狀態(tài),轉(zhuǎn)動(dòng)固結(jié)鋁盤(pán)的軸承使鋁盤(pán)獲得初始轉(zhuǎn)速,待鋁盤(pán)轉(zhuǎn)速衰減接近靜止時(shí)保存錄像文件;

3) 調(diào)試手機(jī),待其處于畫(huà)面清晰的攝像狀態(tài),調(diào)節(jié)TH-H型霍爾效應(yīng)測(cè)試儀,使U型硅鋼片外密繞線圈中的勵(lì)磁電流為0.2 A,轉(zhuǎn)動(dòng)軸承使鋁盤(pán)獲得初速度,待鋁盤(pán)轉(zhuǎn)速衰減接近靜止時(shí)保存錄像文件;

4) 將勵(lì)磁電流分別調(diào)為0.4 A、0.6 A和0.8 A,重復(fù)步驟3).

5) 重復(fù)以上2)、3)、4)三步,多次測(cè)量求平均值.

6) 將手機(jī)與電腦連接,從合適的地方截取實(shí)驗(yàn)視頻畫(huà)面,應(yīng)用視頻分析軟件以1秒為單位,利用角度度量軟件分析導(dǎo)體盤(pán)在此1秒內(nèi)的平均轉(zhuǎn)速.

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表1 轉(zhuǎn)速角速度的測(cè)量 (ω單位rad·s-1)

注：D軸內(nèi)=24.99 mm，D軸外=78.99 mm，d軸=27.62 mm，D鋁=500.89mm，d鋁=2.120 mm，a=50.07mm，b=20.44mm.

5 數(shù)據(jù)處理與分析

5.1 旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J系的計(jì)算

軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

8.12×10-4(kg·m2)

鋁盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

則鋁盤(pán)(含軸承)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J系=J鋁-J軸≈3.54×10-2(kg·m2)

這說(shuō)明鋁盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J鋁遠(yuǎn)大于軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J軸,在計(jì)算系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)可以忽略軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

5.2 摩擦阻尼系數(shù)K2的測(cè)量

表2 摩擦阻尼系數(shù)的測(cè)量 (ω的單位rad·s-1)

5.3 電磁摩擦阻尼系數(shù)K1的測(cè)量

表3 電磁阻尼系數(shù)的測(cè)量 (ω的單位rad·s-1)

表3計(jì)算結(jié)果表明：電磁阻尼系數(shù)K1不是常量,與勵(lì)磁電流I有關(guān),I越大,K1也越大.

5.4 電磁阻尼系數(shù)與勵(lì)磁電流的平方間的關(guān)系

式(9)K1=ασC2R2abdI2表明,電磁阻尼系數(shù)K1與勵(lì)磁電流I的平方成正比,設(shè)系數(shù)為ζ,則有

(14)

式(14)表明，在保持狹縫長(zhǎng)度a、寬度b以及鋁盤(pán)厚度d等條件不變時(shí)，電磁阻尼系數(shù)K1與勵(lì)磁電流I的平方之比ζ為定值，與勵(lì)磁電流無(wú)關(guān).

表4 ζ的測(cè)量 (ζ的單位kg·m2/(rad·A2))

表4數(shù)據(jù)表明，在勵(lì)磁電流I分別取0.2 A、0.4 A、0.6 A和0.8 A時(shí)，ζ值近乎相等，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推導(dǎo)一致.當(dāng)勵(lì)磁電流I=0.8A時(shí)誤差較大，此時(shí)可能要考慮磁場(chǎng)的邊緣效應(yīng)和導(dǎo)體的磁化等因素的影響.

6 小結(jié)

本文推導(dǎo)出非磁性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)有關(guān),在定義了摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)后,利用自組實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)得旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體盤(pán)的摩擦阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù),在所得到電磁阻尼系數(shù)與勵(lì)磁電流的平方成正比關(guān)系的定性基礎(chǔ)上,定義并測(cè)量了電磁阻尼系數(shù)與勵(lì)磁電流的平方間的關(guān)系,對(duì)其他相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供很好的理論參考.

[1] 顧萍萍,謝中, 王祝盈,等.磁體與非磁性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體相互作用之討論[J].大學(xué)物理，2010(8)：27-32.

[2] 姚合寶,賀慶麗.氣墊導(dǎo)軌上阻尼振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的磁阻尼分析及其改進(jìn)[J].物理實(shí)驗(yàn)，1987(4):148-149.

[3] 張平.用集成開(kāi)關(guān)型霍爾傳感器測(cè)量磁阻尼系數(shù)和動(dòng)摩擦系數(shù)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2001(1):5-8.

[4] 謝曉,王祝盈,顧萍萍,等.氣墊導(dǎo)軌上磁阻尼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)[J].物理實(shí)驗(yàn)，2005(11):45-47.

Quantitative study of dampening effect on the nonmagnetic revolving metal plate

LIU Yu-long,YU Xiao-ming

(School of Mathematics and Physics, Yancheng Institute of Technology,Yancheng,Jiangsu, 224051,China)

The regression equation of angular velocity of a nonmagnetic revolving metal plate is deduced by using the Faraday’s law of induction. Then, both frictional damping coefficient and electromagnetic damping coefficient are defined and measured. Lastly, the relationship between the electromagnetic damping coefficient and the value of exciting current is analyzed.

revolving metal plate; frictional damping coefficient; electromagnetic damping coefficient; regression equation of angular velocity

2016-01-15；

2016-08-26

劉雨龍(1965—),男,江蘇鹽城人,鹽城工學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授,碩士,主要從事基礎(chǔ)物理教學(xué)和納米材料性能研究工作.

O 441

A

1000- 0712(2016)12- 0030- 04