一類n階三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻研究

譚志中，陸建隆

(1. 南通大學(xué) 物理系，江蘇 南通 226019;2. 南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097)

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一類n階三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻研究

譚志中1，陸建隆2

(1. 南通大學(xué) 物理系，江蘇 南通 226019;2. 南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097)

研究了一類n階三腳架網(wǎng)絡(luò)的等效電阻模型, 該模型含有7個不同的電阻元素，因而包含了多個網(wǎng)絡(luò)模型. 文章采用構(gòu)建等效模型的方法導(dǎo)出了一個非線性差分方程模型，采用變量代換的方法間接地給出了非線性差分方程的通解. 本文進一步創(chuàng)造了一個負(fù)電阻的概念，獲得了電阻網(wǎng)絡(luò)任意節(jié)點間的等效電阻公式. 利用特殊條件下的數(shù)個特殊例子與相關(guān)結(jié)果進行了比較. 本文的結(jié)論也適用于復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗研究.

三腳架網(wǎng)絡(luò)；等效模型；非線性差分方程；等效變換；負(fù)電阻

電阻網(wǎng)絡(luò)模型的建立與研究已經(jīng)歷了170多年的歷史. 自從1845年德國物理學(xué)家基爾霍夫(1824—1888)創(chuàng)立了節(jié)點電流定律和回路電壓定律以來，人類就開始通過建立電阻網(wǎng)絡(luò)模型解決許多抽象和復(fù)雜的科學(xué)問題[1-26].在自然科學(xué)領(lǐng)域與工程技術(shù)領(lǐng)域研究電阻網(wǎng)絡(luò)模型具有重要的理論與實踐意義, 其研究方法的創(chuàng)造性對于大學(xué)物理開展教學(xué)與科研協(xié)同相長教學(xué)具有很好的方法論意義，對培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新思維能力具有較好的教學(xué)實踐意義. 文獻[1]系統(tǒng)地研究了各種類型的電阻網(wǎng)絡(luò)模型，構(gòu)建了研究電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的一系列新的理論與方法，有力地推動了人類對電阻網(wǎng)絡(luò)模型的深入研究與應(yīng)用.

文獻[1-7]分別從不同側(cè)面及用不同的方法研究了一類n階梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻. 文獻[8]研究了一類n階矩形復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)問題, 文獻[9]研究了一類n階三角形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題. 這些研究工作推動了電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究與發(fā)展. 然而科學(xué)的發(fā)展不斷提出新的電阻網(wǎng)絡(luò)問題，有些新問題正在等待著研究者去解決. 本文擬研究一種新類型的含有復(fù)雜三腳架結(jié)構(gòu)的n階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，如圖1所示. 這一網(wǎng)絡(luò)模型中含有7個獨立的任意電阻元素，因而該電阻網(wǎng)絡(luò)具有多價值功能. 本文的研究目標(biāo)是獲得n階網(wǎng)絡(luò)左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻公式, 以及任意Ak和Bk兩節(jié)點間的等效電阻公式.

1 遞推方程模型建構(gòu)

圖1為一般形式的n級三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)模型. 該網(wǎng)絡(luò)有7個不同的任意電阻元素，即r、r0、r1、r2、r3、r4、R0.其中網(wǎng)絡(luò)最右端的一個電阻R0可視為網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載. 當(dāng)n→∞時，一般稱該網(wǎng)絡(luò)為無窮三腳架電阻網(wǎng)絡(luò).根據(jù)圖1的結(jié)構(gòu)特征，假設(shè)n階網(wǎng)絡(luò)的左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻為Rn，那么n-1階網(wǎng)絡(luò)的左端兩節(jié)點間(從左端向右看)的等效電阻為Rn-1. 因此我們可以將圖1簡化成為圖2所示的一個簡單模型.

圖1 一個n階三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)模型，其中右端為任意負(fù)載R0

圖2 二端網(wǎng)絡(luò)等效電路模型

電路圖2可以繼續(xù)等效為圖3(a)和圖3(b)結(jié)構(gòu). 在圖3(a)中計算得到

圖3 二端網(wǎng)絡(luò)中等效電阻的分級計算圖

(1)

在圖3(b)中計算得到

(2)

將式(1)代入式(2)中化簡得到

(3)

利用圖3(b)計算得到

(4)

將式(3)代入式(6)中化簡得到

(5)

其中a、b、c分別為

(6)

方程式(5)是我們尋找的遞推公式，此屬于非線性差分方程[1-4，8，9]. 這一數(shù)學(xué)模型的物理意義是非常明確的，即對于網(wǎng)格數(shù)為n的梯形電阻網(wǎng)絡(luò)，其等效電阻為Rn，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為n-1個時，其等效電阻為Rn-1，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為0時，其等效電阻為R0.

2 推導(dǎo)等效電阻公式

根據(jù)文獻[1]中建立的計算非線性差分方程的方法，設(shè)存在待定數(shù)列{xn}，并且xn滿足如下關(guān)系：

(7)

可以規(guī)定其初始項x0=1，進而根據(jù)式(7)得到

x0=1,x1=R0+c

(8)

將式(7)及其遞推式Rn-1代入式(5)化簡得到

xn+1=(c+b)xn+(a-bc)xn-1

(9)

設(shè)方程式(9)的特征方程的兩個根分別為α和β，則解得：

(10)

則差分方程式(9)可以重新寫成為

xn+1=(α+β)xn-αβxn-1

(11)

根據(jù)文獻[1]中建立的計算差分方程的方法得到

(12)

將初始條件式(8)代入式(12)化簡得到

(13)

如果應(yīng)用α+β=c+b(由式(10)導(dǎo)出)， 則可以將式(13)重新寫成

xn=Fn+1+(R0-b)Fn

(14)

其中

(15)

式(14)就是我們得到的差分方程式(9)的通項公式. 將式(14)及其遞推式xn+1代入式(7)化簡得到

(16)

將式(16)化簡得到

(17)

其中αβ=bc-a由式(9)得到，并且利用了α+β=c+b. 另外，應(yīng)用式(6)計算得到

(18)

式(16)和式(17)是等價的，都是一個對于r、r0、r1、r2、r3、r4、R0這7個任意電阻均成立的等效電阻公式，具有普遍意義. 這一簡潔公式的發(fā)現(xiàn)是一次有意義的創(chuàng)新.

3 任意節(jié)點間的等效電阻公式

式(17)僅僅給出了計算左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻，我們能否計算任意節(jié)點間的等效電阻呢？本文創(chuàng)造性地建立了負(fù)電阻的概念，巧妙地解決了這樣的問題. 設(shè)Ak、Bk分別是距離右端兩節(jié)點A0、B0間隔為k個網(wǎng)格的兩個任意節(jié)點，則有等效電阻公式

(19)

或者寫成

(20)

其中

(21)

(22)

下面給出式(19)的推導(dǎo)過程.

我們首先建立負(fù)電阻的假設(shè)，將電阻r0等效為3個電阻的并聯(lián)，如圖4所示，即r0=r0//(-r0)//r0. 這是一個非同一般的等效假設(shè)，因為人類科學(xué)史上從來沒有出現(xiàn)負(fù)電阻的概念，這一等效方法巧妙地解決了一個復(fù)雜的問題.

圖4 一個電阻等效為3個并聯(lián)電阻

為了計算任意Ak、Bk兩節(jié)點間的等效電阻，在圖4的等效假設(shè)之下將圖1等效為圖5的等效模型. 因為Ak、Bk分別是距離右端兩節(jié)點A0、B0間隔為k個網(wǎng)格的兩個任意節(jié)點，所以圖5中Ak、Bk的右端有k個網(wǎng)格，而Ak、Bk的左端有n-k個網(wǎng)格. 從Ak和Bk之間的負(fù)電阻分別向左右兩邊考慮，記向右和向左的等效電阻分別為Rright(k)和Rleft(n-k)，則根據(jù)上文得到的等效電阻公式(17)即可以得到式(21)和式(22).

圖5 圖1網(wǎng)絡(luò)模型的一種等效變換模型

圖5實際上是一個簡單的3個電阻并聯(lián)結(jié)構(gòu)(其中有一個負(fù)電阻-r0)，依據(jù)圖5容易得到等效電阻

(23)

由此化簡即得式(19)，而由式(19)化簡即得式(20).至此式(19)和(20)獲證.

4 應(yīng)用于復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)

設(shè)圖1網(wǎng)絡(luò)中的所有元素為復(fù)阻抗, 則稱圖1為一類n階三腳架結(jié)構(gòu)的復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò). 記圖1中的復(fù)阻抗為rk(k=0,1,2,3，…). 復(fù)阻抗子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6所示. 如果輸入電壓的圓頻率為ω，則根據(jù)混聯(lián)電路的計算規(guī)則得到等效復(fù)阻抗單元為

(24)

其中i為虛數(shù)單位，i2=-1.將式(17)中的電阻元素用式(24)取代即可以得到復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗公式.由于復(fù)阻抗的表達(dá)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜并且需要討論特征方程根的復(fù)數(shù)情形，此處不再給出具體公式與討論.

圖6 元素rk表達(dá)的等效復(fù)阻抗

5 數(shù)個特殊結(jié)論及應(yīng)用

情形1 當(dāng)r3=0及r1→∞時，圖1中的網(wǎng)絡(luò)單元退化為圖7所示的雙三角形結(jié)構(gòu)，顯然圖7結(jié)構(gòu)即為文獻[9]中研究過的三角形電阻網(wǎng)絡(luò)模型.

圖7 內(nèi)含2個三角形的子網(wǎng)絡(luò)模型

當(dāng)r3=0及r1→∞時，由式(6)中的3個等式取極限得到

(25)

則由結(jié)論式(17)得到

(26)

其中Fn=(αn-βn)/(α-β)，b由式(25)給出, 并且由式(10)得到

(27)

其中d=(r0+r)(r2+r4)+r2r4.通過對比發(fā)現(xiàn)結(jié)論式(26)與文獻[9]中的結(jié)論完全一致，這就間接地驗證了結(jié)論式(17)的正確性.

情形2 當(dāng)r3=0，r1=r2=∞時，圖1中的網(wǎng)絡(luò)單元退化為圖8所示的矩形結(jié)構(gòu)，這是一類常見的n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò)模型.

圖8 一個n階矩形網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)絡(luò)模型

由于r1、r2→∞相當(dāng)于斷路(等效于去掉r1、r2)，所以r1、r2→∞時的物理意義是，原三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)退化成為一般的n階矩形網(wǎng)絡(luò). 由式(6)取極限得到

a=r0(r+r4),b=r0,c=r0+r+r4

(28)

則由結(jié)論式(17)得到

(29)

圖8的網(wǎng)絡(luò)模型已經(jīng)被不少文獻研究過，如文獻[1]的研究, 比較式(29)與文獻[1]中的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)2種結(jié)論完全相同. 這就再次間接地驗證了結(jié)論式(17)的正確性.

情形3 當(dāng)r0=r1=r2=r3=r4=r時，由式(6)化簡得到

(30)

代入式(10)得到

(31)

則由式(17)得到

(32)

情形4 當(dāng)r=0，r2=∞時，圖1中的網(wǎng)絡(luò)單元退化為圖9結(jié)構(gòu).

圖9 一類二端梯形網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)絡(luò)模型

當(dāng)r=0，r2=∞時，由式(6)取極限得到

(33)

代入式(18)得到

(34)

因此由結(jié)論式(17)得到

(35)

情形5 當(dāng)r0=∞，r4=0時，圖1中的網(wǎng)絡(luò)單元退化為圖10結(jié)構(gòu).

圖10 一個n階三角形網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)絡(luò)模型

由于r0→∞相當(dāng)于斷路(等效于去掉r0)，所以r0→∞時的物理意義是，原三腳架電阻網(wǎng)絡(luò)退化成為一類n階三角形電阻網(wǎng)絡(luò).

當(dāng)r0=∞，r4=0時，由式(6)取極限得到

(36)

代入式(18)得到

(37)

則由結(jié)論式(17)得到

(38)

其中Fn=(αn-βn)/(α-β)，并且b由式(36)給出.

情形6 當(dāng)n→∞時，由式(10)得到0<β/α<1，故對式(17)取極限得到

(39)

其中a、b、c由式(6)給出. 結(jié)論式(39)說明式(17)是有界的.

情形7 當(dāng)R0=b時(b由式(6)給出)，由式(17)得到

(40)

其中α、β由式(10)給出，公式(40)是一個比較有趣的簡單結(jié)果.

情形8 當(dāng)R0=b-β時，由式(17)化簡得到

(41)

另外，當(dāng)R0=b-α?xí)r，由式(17)化簡得到

(42)

其中b由式(6)給出.式(41)、式(42)都是有限常數(shù)，表明b-α及b-β是該網(wǎng)絡(luò)的特征電阻值，與網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)n無關(guān).

6 小結(jié)與簡評

本文研究了一類三腳架結(jié)構(gòu)的電阻網(wǎng)絡(luò)模型，如圖1所示. 這一網(wǎng)絡(luò)模型中含有7個獨立的電阻元素，因而該電阻網(wǎng)絡(luò)具有多價值功能. 本文采用構(gòu)建等效模型的方法通過簡單的計算而建立了一個非線性差分方程模型，為了研究非線性差分方程的通解，我們采用變量代換的方法間接地給出了非線性差分方程的通解，進而導(dǎo)出了左端節(jié)點的等效電阻公式. 為了獲得電阻網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點間的一個等效電阻公式，本文創(chuàng)造了一個負(fù)電阻的概念，將一個電阻等效為3個并聯(lián)電阻，利用前文得到的結(jié)論應(yīng)用于計算任意節(jié)點間等效電阻，獲得了理想的等效電阻公式. 需要強調(diào)的是目前的現(xiàn)實世界中還沒有真正的“負(fù)電阻”，“負(fù)電阻”概念是創(chuàng)造的一種輔助技巧相當(dāng)于幾何證明中引進的輔助線，另外“負(fù)電阻”還可能相似于“數(shù)學(xué)中的虛數(shù)”，看上去沒有用其實能夠幫助人們解決許多復(fù)雜的問題. 當(dāng)然不排除未來發(fā)現(xiàn)的暗物質(zhì)中存在“負(fù)電阻”. 根據(jù)任意電阻可能存在的不同條件而給出了數(shù)個特殊例子，通過比較而間接地驗證了本文結(jié)論的正確性. 當(dāng)然，由于本文的理論推導(dǎo)是嚴(yán)密和精確的并且是自洽的，因而得到的結(jié)論必然是正確的. 本文的結(jié)論也適用于復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗研究，根據(jù)電路元件在計算中的對應(yīng)關(guān)系自然地得到純電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容公式. 本文的研究工作對大學(xué)物理開展教學(xué)與科研協(xié)同相長教學(xué)具有很好的指導(dǎo)意義，對培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新思維能力具有較好的教學(xué)實踐意義.

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A study of the equivalent resistance of ann-step network with tripod structure

TAN Zhi-zhong1, LU Jian-long2

(1. Department of Physics, Nantong University, Nantong, Jiangsu 226019, China; 2. College of Teacher Education，Nanjing Normal University, Nanjing，Jiangsu 210097，China)

We study the equivalent resistance of ann-step network with tripod structure,which is a profound problem, has not been resolved before. The network model contains seven arbitrary parameters which make the network contain a number of different types. First of all, we establish a nonlinear difference equation by means of simplifying a complex graphics into a simple equivalent model; next, we construct the method of equivalent transformation to obtain the general solution of the nonlinear difference equation. Finally, we create a new concept of negative resistance for the needs of the equivalent conversion, and obtain two general resistance formulae of ann-step network with tripod structure. We compare several results by making use of a number of specific examples in the special conditions. Our method and the results are suitable for the research of complex impedance network as well.

tripod structure network; equivalent model; nonlinear difference equation; equivalent transformation; negative resistance

2015-12-03；

2016-03-16

南通大學(xué)自然科學(xué)類科研基金前期預(yù)研項目(15ZY16)；南通大學(xué)教學(xué)改革研究項目“大學(xué)物理教學(xué)與科研相長模式研究”(2015B01)資助

譚志中(1965—)，男，江蘇興化人，南通大學(xué)教授，碩導(dǎo)，主要從事理論物理研究和物理教育研究工作.

教學(xué)討論

O 441.1， TN 711.3

A

1000- 0712(2016)12- 0013- 06