一類弱奇異積分不等式及其應(yīng)用

鐘 華，王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州 546300)

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一類弱奇異積分不等式及其應(yīng)用

鐘 華，王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州 546300)

研究了一類非線性弱奇異Volterra-Fredholm型迭代積分不等式, 把不含奇性的積分不等式推廣成弱奇異積分不等式，把線性奇異積分不等式推廣成非線性積分不等式. 根據(jù)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分數(shù)階積分的定義和運算法則，運用放大、 積分、 微分、 變量替換、 反函數(shù)等分析技巧給出了不等式中未知函數(shù)的估計，推廣了參考文獻的結(jié)果. 最后, 為了說明結(jié)果的有效性, 用所得結(jié)果給出了一類非線性Volterra-Fredholm分數(shù)階積分方程解的估計.

弱奇異積分不等式; 分析技巧; 分數(shù)階積分方程; 估計

由于Gronwall[1]型積分不等式在研究微分方程和積分方程中的重要作用，人們不斷地對其形式進行各個方向的推廣，使其應(yīng)用范圍不斷擴大[2-8]. 文獻[2]研究了積分不等式

(1)

文獻[3]研究了 Volterra-Fredholm 型積分不等式

(2)

文獻[4]研究了含有重積分的不等式

(3)

文獻[5]研究了一類特殊的非線性積分不等式

(4)

另一方面，工程實際中經(jīng)常遇到弱奇異微分和積分方程，為此許多數(shù)學(xué)工作者又致力于研究弱奇異積分不等式. 文獻[9]研究了弱奇異積分不等式

(5)

(6)

自此許多數(shù)學(xué)工作者又致力于研究各種類型的弱奇異積分不等式[9-18]. 文獻[14]進一步研究了Volterra-Fredholm型奇異積分不等式

(7)

受文獻[2-5，14]的啟發(fā)，本文研究了一類非線性Volterra-Fredholm 型迭代奇異積分不等式

(8)

式(8)把不等式(3)推廣成Volterra-Fredholm 型弱奇異積分不等式，式(8)把不等式(7)推廣成具有重積分的非線性積分不等式.

1 主要結(jié)果

在本文中，R表示全體實數(shù)的集合，T是正的實常數(shù). 令R+∶=[0，∞).

文獻[15-16]中定義了改進的Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分數(shù)階積分.

定義 1[15-16]改進的α階 Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)定義為

(9)

定義 2[15-16]區(qū)間[0，t]上改進的Riemann-Liouvilleα 階積分定義為

(10)

文獻[17-18]中介紹了復(fù)合函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)運算法則和分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與分數(shù)階積分的復(fù)合運算法則

(11)

(12)

Oldham和Spanier在文獻[19]介紹了下面的引理，Zheng在文獻[14]中又給出此引理的證明.

引理 1假設(shè)0<α<1，f是一個連續(xù)函數(shù)，那么

(13)

為了定理的敘述方便，利用不等式(8)中的函數(shù)g，h，w1，w2定義下面4個函數(shù)

(14)

(15)

H(u)=W2(W1(2u-C)-

(16)

Ξ(t)=W2(W1(z1(0))+

(17)

定理 1假設(shè)w1，w2，w2/w1都是區(qū)間[k，∞)上u的不減連續(xù)函數(shù). 假設(shè)C，α是正常數(shù)，0<α<1，g，h∈C(I，R+)是不減函數(shù). 假設(shè)函數(shù)H在區(qū)間[k，∞)上是u 的嚴減函數(shù)，函數(shù)Ξ滿足

(18)

如果函數(shù)u滿足不等式(8)，則有未知函數(shù)u的估計式

(19)

證明用函數(shù)z1(t)表示不等式(8)的右端，即

(20)

我們發(fā)現(xiàn)z1(t) 在區(qū)間 [0，T]上是正的不減函數(shù)，且有

(21)

u(t)≤z1(t)，t∈[0，T].

(22)

求函數(shù)z1(t)關(guān)于t的α階導(dǎo)數(shù)，利用式(13)和關(guān)系式(22)得到

g1(t)w1(lnz1(t))z2(t)，t∈[0，T]，

(23)

其中

z2(t)=z1(t)+

t∈[t0，T].

(24)

觀察到z2(t)是區(qū)間 [0，T]上正的不減函數(shù)，且滿足

z2(0)=z1(0)，z1(t)≤z2(t)，t∈[0，T].

(25)

求函數(shù)z2(t) 的α階導(dǎo)數(shù)，利用式(13)和關(guān)系式(25)得到

(26)

由式(23)，式(25)和式(26)得

h(t)z1(t)w2(lnz1(t))≤g(t)w1(lnz2(t))z2(t)+

h(t)z2(t)w2(lnz2(t))，t∈[t0，T].

(27)

不等式(27)的兩邊同除w1(lnz2(t))z2(t)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)式(11)得到

t∈[t0，T].

(28)

先把不等式(28)中的t改寫成τ，然后關(guān)于τ對不等式(28)兩邊求從 0 到t的 α階分數(shù)積分，利用式(11)和式(12)以及W1的定義，得到

W1(z2(t))≤

(29)

用函數(shù)z3(t)表示不等式(29)的右端，即

z3(t)=

(30)

可以看出z3(t) 在區(qū)間 [0，T]上是正的不減函數(shù)，且有

(31)

(32)

對式(30)兩邊關(guān)于t求α階導(dǎo)數(shù)，利用式(11)，式(12)，關(guān)系式(32)和定理假設(shè)得到

t∈[0，T].

(33)

進一步，由式(33)得到

W2(z3(t))≤W2(z3(0))+

(34)

綜上，由式(25)，式(32)和式(34)，得到

h(s)ds]}，t∈[0，T].

(35)

由式(25)，式(31)和式(35)得到

(36)

由式(21)，式(36)和z1的定義，得到

2z1(0)-C=C+

(37)

由式(37)，可得

W2(W1(2z1(0))-C)-W2(W1(z1(0))+

(38)

根據(jù)定理假設(shè)H在區(qū)間[k，∞)上是u 的嚴減函數(shù)，H(u) 有逆函數(shù) H-1. 由式(38)我們可以得到

(39)

把式(39)代入式(35)，利用式(22)，我們得到所求的估計式(19).

2 應(yīng) 用

為了說明所得結(jié)果的有效性，本節(jié)利用定理1中不等式的結(jié)果研究分數(shù)階積分方程解的估計.

dτ]ds，?t∈[t0，T]，

(40)

式中：x∈C([t0，T]，R)，F(xiàn)1∈C([t0，T]×R2，R)，F(xiàn)2∈C([t0，T]×R，R)，0<α<1.假設(shè)分數(shù)階積分方程(40)中的函數(shù)F1，F(xiàn)2滿足下面的條件

|F1(s，x，y)|≤g(s)w1(ln|x|)[|x|+|y|]，

(41)

|F2(s，x)|≤h(s)|x|w2(ln|x|)，

(42)

式中：g，h，w1，w2與定理1中相應(yīng)的定義相同. 如果函數(shù)x(t)是分數(shù)階積分方程(40)的解.利用條件(41)和(42)，由積分方程(40)推出不等式

|x(t)|≤

h(τ)|x(τ)|w2(ln|x(τ)|)dτ]ds，t∈[0，T].

(43)

可以看出不等式(43)具有不等式(8)的形式，不等式(43)中的函數(shù)滿足定理1中對應(yīng)函數(shù)的條件. 利用定理1就可以得到分數(shù)階積分方程(40)解的估計.

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A Class of Weakly Singular Integral Inequality and Its Application

ZHONG Hua, WANG Wu-sheng

(School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou 546300, China)

A class of iterated nonlinear Volterra-Fredholm type integral inequality with weak singularity was investigated, which generalized the integral inequality without singularity to the integral inequality with weak singularity, and generalized the linear integral inequality with weak singularity to the nonlinear integral inequality with weak singularity. By the definitions and rules of fractional differential and fractional integral, adopting analysis techniques, such as amplification method, differential and integration, change of variable, inverse function, the estimation of the unknown functions is given. The results of the references are generalized. Finally, to illustrate the validity of the results, our result is used to give the estimation of the solutions of a class of nonlinear Volterra-Fredholm type fractional integral equations.

weakly singular integral inequality; analysis technique; fractional integral equation; estimation

2016-03-06 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11161018)； 廣西自然科學(xué)基金資助項目(2012GXNSFAA053009)； 廣西高等學(xué)?？蒲许椖?KY2015ZD103, KY2015YB257)

鐘 華(1980-)，男，講師，主要從事微分方程的研究.

王五生(1960-)，男，教授，主要從事微分方程的研究.

1673-3193(2016)05-0446-05

O175.5

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.002