R3上一類Kirchhoff型方程組正解的存在性

梁 靜，張福偉，劉進生

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

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R3上一類Kirchhoff型方程組正解的存在性

梁 靜，張福偉，劉進生

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

利用變分方法研究了R3上一類具有典型非線性項的Kirchhoff型方程組正解的存在性.首先在合適的空間上得到了該方程組的能量泛函I，從而該方程組的解等價于泛函I的臨界點. 進而證明了泛函I具有山路引理的幾何結構，從而得到了泛函I的一個(PS)c序列, 同時也證明了此(PS)c序列是界的，于是它有收斂子列，即泛函I滿足(PS)c條件，所以由山路引理知泛函I在R3上存在臨界點(u,v).最后在一定的假設條件下證明了u>0且v>0，即該方程組至少存在一個正解.

Kirchhoff型方程組； 變分方法； 正解

1 主要結果

本文主要研究如下Kirchhoff型方程組

(1)

由于Kirchhoff型方程的重要性, 近年來, 很多學者研究了如下的Kirchhoff型方程

(2)

非平凡解的存在性[1-9]. 最近一些學者也研究了橢圓型方程組的問題[10-16]. 文獻[10]考慮了橢圓型方程組

(3)

的非平凡解, 它們指出了該方程組中此類非線性項的重要性.本文受此啟發(fā), 研究問題(1). 主要結論為

定理 1當k>max{k1,k2}時, 問題(1)至少存在一個正解(u,v). 其中

2 證 明

記

X={u∈H1(R3)∶∫R3(|u|2+

V(x)u2)dx<+∞}.

同文獻[7], 我們定義X上的內積和范數(shù)為

〈u,v〉X=∫R3(u·v+V(x)uv)dx,

對任意的(u,v), (φ,ψ)∈E= X×X, 定義其上的內積和范數(shù)為

〈(u,v),(φ,ψ)〉=〈u,φ〉+〈v,ψ〉,

那么E是一個希爾伯特空間. 由4<2q<6 及文獻[7]知X→→L2q(R3), 因此E上的泛函

I(u,v)=

有定義且I∈C1(E,R). 并且I在E上的臨界點就是問題(1)的弱解.

引理 1泛函I滿足山路引理的幾何結構, 即

1) I(0,0)=0并且?ρ, α>0, 當‖(u,v)‖=ρ時, 有I(u,v) ≥ α；

2) ?(u0,v0)∈E, 使得 ‖(u0,v0)‖>ρ 并且I(u0,v0)<0.

證明1) 顯然有I(0,0)=0. 因為

記X到L2q(R3)的最佳嵌入常數(shù)為S2q, 那么

注意到2q>4, 所以取充分小的ρ>0, ?α>0, 使得對‖(u,v)‖=ρ, 有I(u,v) ≥α.

2) 對任意的(u,v)≠(0,0)定義

(4)

由于4<2q<6, 則當t→∞時, 有I(tu,tv)→-∞, 即存在充分大的t0, 使得‖(u0,v0)‖>ρ，并且I(u0,v0)<0, 其中(u0,v0)=t0(u,v).

由引理1和山路引理知, 泛函I存在(PS)c序列{(un,vn)}?E, 即

I(un,vn)→c, I′(un,vn)→0,

其中

(5)

Γ={g∈C([0,1],E)∶g(0)=0,I(g(1))<0}.

引理 2若{(un,vn)}?E為I在E中的一個(PS)c序列, 那么{(un,vn)}在E中有界.

證明設{(un,vn)}?E為I在E中的一個(PS)c序列, 則有

I(un,vn)→c, I′(un,vn)→0.

所以

c+o(1)+‖(un,vn)‖.

又由于4<2q<6, 簡單計算可得

綜上則有

‖(un,vn)‖+c+o(1)≥

即{(un,vn)}在E中有界.

引理 3泛函I的(PS)c序列存在收斂子列.

證明設{(un,vn)}?E為I在E中的一個(PS)c序列, 由引理1知{(un,vn)}在E中有界. 所以在X中有un?u, vn?v. 又由文獻[7]知當4

min{a1,1}‖un-u‖2≤

(I′(un,vn)-I′(u,v),(un-u,0))+

b1∫R3|u|2dx∫R3u((un-u)dx-

b1∫R3|un|2dx∫R3un((un-u))dx+

∫R3|un|2q-2un(un-u)dx-

∫R3|u|2q-2u(un-u)dx+

k∫R3|vn|q|un|q-2un(un-u)dx-

k∫R3|v|q|u|q-2u(un-u)dx,

因為在X中un?u且{un}有界得

∫R3u(un-u)dx→0.

又因為在L2q(R3)中un→u, vn→v, 易知

∫R3|u|2q-2u(un-u)dx+

k∫R3|vn|q|un|q-2un(un-u)dx-

結合I′(un,vn)→0, 則有 ‖un-u‖→0. 同理可得‖vn-v‖→0, 所以在E中有(un,vn)→(u,v) .

分別定義

N={(u,v)∈E{(0,0)}∶(I′(u,v),(u,v))=0};

則我們有下列結論.

引理 4cN=c1=c.

而對?(u,v)∈N, 有

所以c≤cN. 下面證明c≥cN. 顯然N將E分成了兩部分, 又由(I′(u,v),(u,v))≥min{a1,a2,1}‖(u,v) ‖2-C1‖(u,v)‖2q, 其中C1>0為常數(shù), 知存在δ>0, 對0<‖(u,v)‖<δ有(I′(u,v),(u,v))>0成立. 又由φ ′(t)=0和2q>4,t >0, 則可知存在唯一的t(u,v)>0使得φ ′(t(u,v)) =0且為最大值點. 則對所有0≤t≤t(u,v), φ ′(t)=(I′(t(u,v)),(u,v))≥0. 因此g(0)與g(1) 在不同的分支里. 從而表明屬于Γ的每一條路徑g必穿過N, 即c≥cN.

引理 5泛函I存在以c為臨界值的臨界點(u,v)≠(0,0)并且u≥0,v≥0.

證明由引理1和引理3知泛函I存在以c為臨界值的臨界點(u,v). 又因為c≥α>0和I(0,0)=0, 所以(u,v)≠(0,0). 因為

I(|u|,|v|)=I(u,v)=c,

再結合引理4有

(I′(|u|,|v|),(|u|,|v|)=(I′(u,v),(u,v))=0,

所以用(|u|,|v|)代替(u,v)即得結論.

定理1的證明由引理5知問題(1)至少存在一個非平凡非負解(u,v). 下面我們先證明u,v均不為0.

記(u0,0), (0,v0) 都是問題(1)的解, 并且u0≠0, v0≠ 0, 那么u0為方程

-(a1+b1∫R3|u|2dx)Δu+V(x)u=

|u|2q-2u

(6)

在X中的解, v0為方程

-(a2+b2∫R3|v|2dx)Δv+V(x)v=

|v|2q-2v

(7)

在X中的解.

下面我們要證明c=I(u,v)

a1∫R3|

(8)

同理有

a2∫R3|

(9)

1) 若I(u0,0)≤I(0,v0). 當0

而利用式(8)可得

取(φ ,ψ)=(u0,u0), 由假設條件

k>

知

而當t>1時, 將φ(t)中的t2換為t4, 經(jīng)計算也求出其最大值, 得到

同樣取(φ ,ψ)=(u0,u0), 由假設條件

k>

也得到

J(u0,u0)

從而由引理4得到

2) 若I(u0,0)>I(0,v0). 此時, 只是取(φ ,ψ) =(v0,v0), 與(1)同理可證c

最后, 由強極值原理得u>0,v>0. 證畢.

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ExistenceofPositiveSolutionsforaKindof

Kirchhoff-TypeSysteminR3LIANGJing,ZHANGFu-wei,LIUJin-sheng

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

TheexistenceofpositivesolutionswithakindoftypicalnonlinearKirchhoff-typesystemsinR3wasinvestigatedbyusingvariationalmethods.Firstly,Thecorrespondingenergyfunctionalintheappropriatespaceofthisproblemwasgiven,thenthedesiredsolutionswereequivalenttothecriticalpointsoftheenergyfunctional.Secondly,itisprovedthattheenergyfunctionalpossessedthemountainpassgeometry.Thus,a(PS)csequenceoftheenergyfunctionalIwasobtained.Meanwhile,theboundednessofthe(PS)csequencewasdemonstrated.Then,the(PS)csequencehadaconvergentsubsequence,thatistosay,the(PS)csequencesatisfied(PS)ccondition.Therefore,thereexistedatleastonenontrivialnonnegativecriticalpoint(u,v)fortheenergyfunctionalbyusingMountainPassLemma.Finally,itisprovedthatu>0andv>0undercertainassumptions.Consequently,thereisatleastonepositivesolutionforthesystems.

Kirchhoff-typesystems；variationalmethods；positivesolutions

2016-02-12

梁 靜(1990-)，女，碩士生，主要從事非線性泛函分析的研究.

張福偉(1957-)，女，副教授，主要從事非線性泛函分析的研究.

1673-3193(2016)05-0441-05

O175.8

Adoi: 10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.001