不確定車軌耦合系統(tǒng)運(yùn)行舒適度分析

項(xiàng) 盼， 趙 巖， 林家浩

(1.中車大連機(jī)車車輛有限公司， 大連 116022；2.大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 大連 116023)

?

不確定車軌耦合系統(tǒng)運(yùn)行舒適度分析

項(xiàng) 盼1,2， 趙 巖2， 林家浩2

(1.中車大連機(jī)車車輛有限公司， 大連 116022；2.大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 大連 116023)

運(yùn)行舒適度是車輛動(dòng)力性能的重要指標(biāo)，對(duì)其精準(zhǔn)高效的預(yù)估能夠提高車輛設(shè)計(jì)水平、降低研發(fā)成本. 綜合考慮動(dòng)力學(xué)分析中的不確定因素，分別以隨機(jī)變量和隨機(jī)過程描述系統(tǒng)參數(shù)和荷載激勵(lì)，基于虛擬激勵(lì)法和改進(jìn)攝動(dòng)法，提出了復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)問題的確定性分析方法. 算例中，考慮9個(gè)隨機(jī)變量參數(shù)，計(jì)算車體不同位置在軌道不平順激勵(lì)下的舒適度指標(biāo). 結(jié)果表明：該方法能夠很好地與Monte Carlo模擬吻合，驗(yàn)證了本文方法的正確性，并指出忽略參數(shù)不確定性會(huì)給出過高的舒適度評(píng)價(jià).

車軌耦合系統(tǒng)；運(yùn)行舒適度；隨機(jī)振動(dòng)；虛擬激勵(lì)法；改進(jìn)攝動(dòng)法

不確定性是自然界的本質(zhì)屬性，更普遍存在于工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與分析中. 在鐵路車輛動(dòng)力響應(yīng)分析中，不確定性來源于2個(gè)方面：一是系統(tǒng)本身，由于制造裝配誤差等原因，車輛自身參數(shù)存在一定的不確定性. Mazzola等[1]采用統(tǒng)計(jì)方法分析二系抗偏器參數(shù)不確定性對(duì)臨界速度設(shè)計(jì)的影響，結(jié)合Monte Carlo和試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論，假設(shè)剛度和阻尼系數(shù)均服從獨(dú)立高斯分布，建立臨界速度關(guān)于剛度和阻尼系數(shù)的二階代理模型. Suarez等[2]通過靈敏度分析研究車輛慣性參數(shù)對(duì)車輛動(dòng)力性能的影響，逐一評(píng)價(jià)安全性、軌道疲勞和運(yùn)行舒適度3類指標(biāo)對(duì)12個(gè)慣性參數(shù)在不同工況下的靈敏度，對(duì)比模擬結(jié)果，指出質(zhì)量和繞垂向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)動(dòng)力性能影響最大. Mastinu等[3]推導(dǎo)了兩自由度模型響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)于懸掛參數(shù)的解析表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析及多目標(biāo)優(yōu)化. 另一方面，軌道不平順作為公認(rèn)的車輛振動(dòng)主激勵(lì)源，也具有顯著的隨機(jī)特性. Yau等[4]采用確定的不平順函數(shù)作為激勵(lì)，研究列車高速通過簡支橋和三跨連續(xù)橋時(shí)的振動(dòng)，并指出軌道不平順對(duì)簧上質(zhì)量的垂向加速度響應(yīng)影響顯著，進(jìn)而影響運(yùn)行舒適度的評(píng)價(jià). Lei等[5]將軌道垂向不平順視為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，通過三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行模擬. Zhao等[6]應(yīng)用直接積分法和離散快速傅里葉變換研究磁懸浮列車- 導(dǎo)軌系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，并進(jìn)行了車輛舒適度評(píng)價(jià). Zhang等[7-8]基于虛擬激勵(lì)法和辛數(shù)學(xué)方法，建立了復(fù)雜車軌耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)算法，并提出了以運(yùn)行舒適度為目標(biāo)的優(yōu)化方法. 然而，同時(shí)考慮車輛參數(shù)隨機(jī)性和軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)的復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)分析并不多見，面臨著物理描述與計(jì)算方法上的雙重困難. 本文基于虛擬激勵(lì)法，根據(jù)軌道不平順功率譜密度及激勵(lì)方式構(gòu)造虛擬激勵(lì)計(jì)算車輛加速度響應(yīng)功率譜，建立基于Sperling指標(biāo)的快速算法，該方法不需要積分運(yùn)算，格式簡單效率高；同時(shí)以隨機(jī)變量描述車輛參數(shù)的不確定性，在參數(shù)小變異前提下，采用Wu等[9]提出的改進(jìn)攝動(dòng)算法，該方法避免了遞推方程的推導(dǎo)和靈敏度矩陣的計(jì)算，具有精確高效的特點(diǎn).

1 基于虛擬激勵(lì)法的舒適度分析

虛擬激勵(lì)法是一種精確高效的隨機(jī)振動(dòng)算法，已得到工程界廣泛的認(rèn)可[10-12]. 將其運(yùn)用于軌道不平順激勵(lì)下的車輛動(dòng)力學(xué)分析，可以方便地求出車體位移、加速度等響應(yīng)功率譜，進(jìn)而建立車輛運(yùn)行舒適度的快速評(píng)估方法.

1.1 虛擬激勵(lì)法

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：m、c、k分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；p(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程.

根據(jù)傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)理論，響應(yīng)的功率譜密度矩陣為

Sx(iω)=H(iω)*Sp(iω)H(iω)T

(2)

式中：H(iω)=[(k-ω2m)+iωc]-1為系統(tǒng)的頻響矩陣；Sp為p(t)的功率譜密度矩陣；上標(biāo)“*”表示復(fù)共軛運(yùn)算；上標(biāo)“T ”表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算.

構(gòu)造簡諧虛擬激勵(lì)

(3)

須滿足

(4)

求得頻域上虛擬響應(yīng)為

(5)

則相應(yīng)的功率譜可以表示為

(6)

虛擬激勵(lì)法將平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析轉(zhuǎn)化為簡諧振動(dòng)分析，給出響應(yīng)功率譜的統(tǒng)一求解形式.

1.2 舒適度評(píng)估方法

假設(shè)軌道不平順r(x)為隨里程變化的零均值高斯隨機(jī)過程，功率譜密度為Sr(Ω)，Ω為空間圓頻率，rad/m. 當(dāng)列車在軌道上以速度v勻速行駛時(shí)，可將空間隨機(jī)過程轉(zhuǎn)化為時(shí)域上的平穩(wěn)隨機(jī)過程r(t)，其功率譜密度為

Sr(ω)=Sr(Ω)/v，Sr(f)=2πSr(ω)

(7)

式中：ω為時(shí)間圓頻率，rad/s；f=ω/2π為時(shí)間頻率，Hz.

以四輪對(duì)車輛為研究對(duì)象，各輪對(duì)先后受到相同的軌道不平順激勵(lì)，激勵(lì)是完全相干的，因此構(gòu)造虛擬激勵(lì)

(8)

式中ti(i=1,2,3,4)是相對(duì)第1輪對(duì)的時(shí)滯，故t1=0. 虛擬不平順激勵(lì)式(8)通過輪軌關(guān)系作用于車軌耦合系統(tǒng)，求解這一激勵(lì)下的虛擬加速度響應(yīng)，根據(jù)式(6)即可求得加速度響應(yīng)功率譜Sa(f).

車輛的振動(dòng)為隨機(jī)振動(dòng)，其上、下截止頻率分別fu和fl，采樣頻率為

(9)

式中N為采樣數(shù)目，Δf=(fu-fl)/N.

根據(jù)三角級(jí)數(shù)模擬，頻率成分fk的振動(dòng)加速度幅值為

(10)

根據(jù)Sperling公式，計(jì)算各頻率下的舒適度指標(biāo)

(11)

計(jì)算頻率范圍內(nèi)總的舒適度指標(biāo)為

(12)

由以上推導(dǎo)可見，基于虛擬激勵(lì)法的舒適度評(píng)估方法避免了積分運(yùn)算和隨機(jī)樣本的模擬，僅在離散的頻點(diǎn)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，是舒適度分析的高效算法.

2 改進(jìn)攝動(dòng)法

攝動(dòng)法是處理隨機(jī)參數(shù)問題的有效手段，在參數(shù)變異較小的前提下，攝動(dòng)法具有精度高、計(jì)算量小的特點(diǎn). 本文從舒適度指標(biāo)的泰勒展式出發(fā)，構(gòu)造確定性算法，避免遞推方程推導(dǎo)和靈敏度矩陣的計(jì)算.

2.1 二階攝動(dòng)

將舒適度指標(biāo)W關(guān)于隨機(jī)參數(shù)ξ在零均值處二階展開

(13)

式中：

W0=W(ξ)|ξ=0

根據(jù)式(13)求響應(yīng)W(ξ)的均值和協(xié)方差

(14)

cov[W(ξ),W(ξ)]=

(15)

(16)

(17)

將標(biāo)準(zhǔn)差σs視為小量，構(gòu)造確定性向量as

(18)

將as和-as分別代入式(13)

(19)

由式(19)可得

(20)

記

zs=W(as)+W(-as)-2W0

ws=Ws(as)-Ws(-as)

(21)

將式(20)代入式(16)和(17)

(22)

(23)

2.2 高階攝動(dòng)

若隨機(jī)變量不僅互不相關(guān)，而且概率密度函數(shù)對(duì)稱，可考慮更高的精度

(24)

(25)

由式(25)得

(26)

記

zs=W(bs)+W(-bs)-2W0

ws=W(bs)-W(-bs)

(27)

由式(26)，均值和協(xié)方差分別為

(28)

cov [W(ξ),W(ξ)]=

(29)

由式(28)(29)給出的均值和協(xié)方差估計(jì)具有3階精度.

3 算例

如圖1所示，車輛采用10自由度剛體模型，軌道假設(shè)為無限長周期結(jié)構(gòu)，采用線性赫茲彈簧建立輪軌耦合關(guān)系[13]. 軌道不平順以波長1 m為界，分別采用美國6級(jí)譜和中國短波不平順譜[14]. 考慮車身質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、二系懸掛剛度和阻尼、轉(zhuǎn)向架質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、一系懸掛剛度和阻尼、輪對(duì)質(zhì)量等9個(gè)參數(shù)為隨機(jī)變量，隨機(jī)向量α={Mc,Jc,kc,cc,Mt,Jt,kt,ct,Mw}，其分量表示為

αs=μs(1+γsξs)，s=1,2,…,9

(30)

式中：ξs為無量綱零均值隨機(jī)變量；μs和γs為確定性常數(shù).

αs的均值和方差計(jì)算如下

E[αs]=E[μs(1+γsξs)]=μs

(31)

D[αs]=E[(αs-μs)2]=

(32)

可見，μs為隨機(jī)變量αs的均值，γs?1，表示隨機(jī)擾動(dòng)偏離均值的程度.

根據(jù)車輛參數(shù)的特征采用Wigner分布，則隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(33)

車輛運(yùn)行時(shí)速為180 km/h，γ分別取0.05和0.10，計(jì)算圖1中5個(gè)位置的舒適度指標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并與10 000樣本Monte Carlo模擬結(jié)果進(jìn)行比較，如表1所示. 其中，舒適度指標(biāo)均值最大相對(duì)誤差不超過0.05%，標(biāo)準(zhǔn)差最大相對(duì)誤差不超過3%，可見本文方法與Monte Carlo模擬能夠很好地吻合，驗(yàn)證了本文方法的有效性. 更多的計(jì)算表明隨機(jī)參數(shù)變異的增大會(huì)導(dǎo)致平穩(wěn)性指標(biāo)總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差的增加，也就是說忽略參數(shù)不確定性會(huì)高估車輛運(yùn)行的舒適度.

表1 γ不同取值舒適度指標(biāo)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

考慮參數(shù)不確定性的傳播，計(jì)算舒適度指標(biāo)的變異系數(shù)如圖2所示. 舒適度指標(biāo)的變異系數(shù)隨著γ增大線性增加，其斜率小于1，說明參數(shù)不確定性的傳播沒有被放大. 注意到由于車輛模型前后對(duì)稱，舒適度指標(biāo)的變異特性也呈現(xiàn)前后對(duì)稱的特點(diǎn)，因此僅計(jì)算位置Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的舒適度指標(biāo).

車速是影響舒適度指標(biāo)的重要因素，計(jì)算不同車速下舒適度指標(biāo)的變異系數(shù)，如圖3所示. 位置Ⅰ和Ⅱ處，隨車速的提高，參數(shù)不確定性的傳播被放大了，而位置Ⅲ處則正好相反，在車速較高的情況下，對(duì)應(yīng)相同的γ，舒適度指標(biāo)變異系數(shù)反而較小. 車體采用兩自由度剛體模型，振型分別為垂向平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)2種模式，平動(dòng)對(duì)應(yīng)特征頻率較低，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)特征頻率較高，隨著車速提高，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)垂向振動(dòng)的加成更顯著，位置Ⅰ和Ⅱ處的舒適度指標(biāo)的均值，標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)都增加. 位置Ⅲ即質(zhì)心位置的垂向運(yùn)動(dòng)不受轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，舒適度指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差不隨車速提高而增大，但均值隨車速的提高而增大，因此變異系數(shù)反而減小.

4 結(jié)論

1) 提出了不確定車軌耦合系統(tǒng)運(yùn)行舒適度的確定性算法，算法的優(yōu)點(diǎn)在于2個(gè)方面：基于虛擬激勵(lì)法的舒適度評(píng)估方法，避免了積分運(yùn)算和隨機(jī)樣本的模擬，僅在離散的頻點(diǎn)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，計(jì)算簡單高效；攝動(dòng)快速算法避免了遞推方程的推導(dǎo)和隨機(jī)矩陣求導(dǎo)運(yùn)算.

2) 采用確定性分析手段解決了復(fù)合隨機(jī)問題，數(shù)值結(jié)果與Monte Carlo模擬吻合，證明了本文方法的有效性.

3) 忽略參數(shù)不確定性會(huì)導(dǎo)致過高地估計(jì)車輛運(yùn)行舒適度，同時(shí)參數(shù)不確定性的傳播受響應(yīng)自由度的影響，因此在進(jìn)行車輛運(yùn)行舒適度分析時(shí)有必要考慮參數(shù)的不確定性.

[1] MAZZOLA L, BRUNI S. Effect of suspension parameter uncertainty on the dynamic behaviour of railway vehicles[J]. Applied Mechanics and Materials, 2012, 104: 177-185.

[2] SUAREZ B, FELEZ J, MAROTO J, et al. Sensitivity analysis to assess the influence of the inertial properties of railway vehicle bodies on the vehicle’s dynamic behaviour[J]. Vehicle System Dynamics, 2013, 51(2): 251-279.

[3] MASTINU G, GOBBI M, PACE G D. Analytical formulae for the design of a railway vehicle suspension system[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2001, 215(6): 683-698.

[4] YAU J, YANG Y, KUO S. Impact response of high speed rail bridges and riding comfort of rail cars[J]. Engineering Structures, 1999, 21(9): 836-844.

[5] LEI X, NODA N A. Analyses of dynamic response of vehicle and track coupling system with random irregularity of track vertical profile[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 258(1): 147-165.

[6] ZHAO C F, ZHAI W M. Maglev vehicle/guideway vertical random response and ride quality[J]. Vehicle System Dynamics, 2002, 38(3): 185-210.

[7] ZHANG Y W, LIN J H, ZHAO Y, et al. Symplectic random vibration analysis of a vehicle moving on an infinitely long periodic track[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(21): 4440-4454.

[8] ZHANG Y W, ZHAO Y, ZHANG Y H, et al. Riding comfort optimization of railway trains based on pseudo-excitation method and symplectic method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(21): 5255-5270.

[9] WU F, GAO Q, XU X, et al. A modified computaional scheme for the stochasitcpertubation finite element method[J]. Latin American Journal of Solids and Structures, 2015, 12(13): 2480-2505.

[10] LIN J H. A fast CQC algorithm of PSD matrices for random seismic responses[J]. Computers & Structures, 1992, 44(3): 683-687.

[11] LIN J H, ZHANG W S, LI J J. Structural responses to arbitrarily coherent stationary random excitations[J]. Computers & Structures, 1994, 50(5): 629-633.

[12] LIN J, ZHAO Y, ZHANG Y. Accurate and highly efficient algorithms for structural stationary/non-stationary random responses[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, 191(1/2): 103-111.

[13] LU F, KENNEDY D, WILLIAMS F W, et al. Symplectic analysis of vertical random vibration for coupled vehicle-track systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 317(1): 236-249.

[14] XIANG P, ZHAO Y, LIN J H, et al. Random vibration analysis for coupled vehicle-track systems with uncertain parameters[J]. Engineering Computations, 2016(2): 443-464.

(責(zé)任編輯 楊開英)

Riding Comfort Analysis for Coupled Vehicle-track Systems With Uncertain Parameters

XIANG Pan1, ZHAO Yan2， LIN Jiahao2

(1.CRRC Dalian Co., Ltd., Dalian 116022, China；2. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Riding comfort is an important index of the vehicle dynamic performance, of which the accurate and efficient prediction is of great importance for improving the vehicle design and reducing the costs. In this paper, the dynamic analysis with uncertain factors was studied. The uncertain parameters were described by random variables and the random excitations were described by random processes, respectively. Based on the pseudo-excitation method combined with the improved perturbation method, a deterministic approach was established for the analysis of double random vibration problems. In the numerical example, nine random variable parameters were considered and the riding comfort indexes at different positions under track irregularities were investigated. Results show that this method agrees well with those by using Monte Carlo method, and ignoring parameter uncertainty will lead to higher comfort evaluation.

coupled vehicle-track systems; riding comfort; random vibration; pseudo-excitation method; improved perturbation method

2016- 08- 16

國家“973”計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015CB057804)

項(xiàng) 盼(1985—)， 男， 博士研究生， 主要從事車輛動(dòng)力學(xué)方面的研究， E-mail:p_xiang@foxmail.com

林家浩(1941—)， 男， 教授， 博士生導(dǎo)師， 主要從事隨機(jī)振動(dòng)方面的研究， E-mail：jhlin@dlut.edu.cn

U 260

A

0254-0037(2016)12-1781-06

10.11936/bjutxb2016080037