組合結(jié)構(gòu)的殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

閻 琨, 劉曉德, 程耿東

(1.大連理工大學工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室, 大連 116023；2.北京大學力學與工程科學系， 北京 100871)

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組合結(jié)構(gòu)的殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

閻 琨1, 劉曉德2, 程耿東1

(1.大連理工大學工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室, 大連 116023；2.北京大學力學與工程科學系， 北京 100871)

為了解決殘余振動直接影響結(jié)構(gòu)性能的問題，研究了最小化殘余振動為目標的組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，目標函數(shù)為能夠總體衡量結(jié)構(gòu)殘余振動響應(yīng)的二次型積分形式的性能指標，設(shè)計變量為組合結(jié)構(gòu)參數(shù)化描述時采用的形狀尺寸等參數(shù). 采用半解析法靈敏度分析克服了將這一方法應(yīng)用于包含多種單元、多種類型設(shè)計變量的組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化的困難，實現(xiàn)了采用Matlab將Ansys作為黑箱調(diào)用進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計. 數(shù)值算例展示了該方法的有效性.

殘余振動；半解析靈敏度求解方法；組合結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化

結(jié)構(gòu)在工作中，由于各種原因會受到外力作用. 外力作用結(jié)束后，結(jié)構(gòu)往往不會立刻恢復(fù)至靜止狀態(tài)，而是會發(fā)生自由振動，稱為結(jié)構(gòu)的殘余振動. 殘余振動對精密系統(tǒng)的影響十分顯著. 為使結(jié)構(gòu)在被激振后盡快恢復(fù)靜止狀態(tài)，需要對結(jié)構(gòu)的殘余振動進行控制，并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化實現(xiàn)最佳的減振效果. Yan等[1]針對旋轉(zhuǎn)運動柔性梁的殘余振動給出了控制方案. 該方案通過結(jié)合輸入整形技術(shù)和附著在梁上的壓電驅(qū)動器實現(xiàn)降低結(jié)構(gòu)殘余振動的目的. Yang等[2]基于等效靜力法以最小化殘余振動峰值為目標研究了高速加工設(shè)備柔性臂的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計.

可以通過二次型積分形式的性能指標衡量結(jié)構(gòu)殘余振動的大小. 然而，積分形式的性能指標的計算是非常困難的. 基于李雅普諾夫方程[3]可以大幅的簡化該性能指標的表達式. Wang等[4]應(yīng)用李雅普諾夫第二方法解決線性系統(tǒng)受初始激勵的瞬態(tài)響應(yīng)優(yōu)化問題. Dong[5]將李雅普諾夫方程用于研究阻尼器的最優(yōu)參數(shù)的解析計算方法，分別考慮了主結(jié)構(gòu)有阻尼與無阻尼2種情況. Rüdinger[6]基于李雅普諾夫方程獲得了白噪聲下的非線性的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的最優(yōu)參數(shù). 在以上的研究中，基于Lyapunov方程簡化后的性能指標不僅有效的減少了計算的困難，還使得靈敏度計算變得容易實現(xiàn).

靈敏度計算是基于梯度的優(yōu)化算法的基礎(chǔ). 計算靈敏度的方法有解析法、差分法和半解析法. 按照靈敏度的解析公式編程計算時，需要了解所采用的有限元的單元剛度矩陣的詳細列式，在很多情況下是很困難的. 程耿東等[7]、Cheng等[8]、Haftka等[9]等提出采用半解析法計算靈敏度. Cheng等[10]深入研究了半解析法靈敏度分析的非正常誤差，包括其剛體轉(zhuǎn)動判據(jù)和消除方法. 半解析法已被證實是一種有效的求解靈敏度的方法，具有易編程、高計算效率等特點，得到了廣泛的應(yīng)用.

組合結(jié)構(gòu)是指由桿梁板殼三維連續(xù)體等結(jié)構(gòu)元件組成的結(jié)構(gòu). 實際的工程結(jié)構(gòu)，例如橋梁、房屋建筑、船舶等，都是組合結(jié)構(gòu). 采用有限元法分析組合結(jié)構(gòu)時需要采用多種類型單元，例如桿單元、梁單元、膜單元、板單元、殼單元和三維實體單元，并且將它們采用一定方式連接起來. 組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化需要解決包含多種類型單元的結(jié)構(gòu)的分析、靈敏度計算及優(yōu)化，有特殊的困難[11-13]. 20世紀80年代，錢令希、鐘萬勰、隋允康等開發(fā)了多單元、多工況、多約束的組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序DDDU[14-16]，其中特別克服了包括梁單元在內(nèi)的多種單元相關(guān)的靈敏度分析. 本文研究以最小化結(jié)構(gòu)殘余振動為目標的組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，基于半解析法實現(xiàn)了Yan等[17]提出的伴隨法靈敏度的計算. 并借助Ansys與Matlab等商用軟件實現(xiàn)半解析靈敏度計算與優(yōu)化流程[18]，并計算了一個籃球架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計以展示本方法.

1 殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題

受初始激勵作用結(jié)構(gòu)(無外力)的動力學控制方程為

(1)

(2)

殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的目標是尋找設(shè)計變量d使一個二次型積分形式目標函數(shù)值最小，

(3)

式(3)所示的目標函數(shù)可采用Lyapunov第二方程大幅地簡化其計算.

為了應(yīng)用Lyapunov第二方程，需將動力學控制方程與目標函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間

(4)

(5)

利用式(4)，式(3)中的目標函數(shù)J可寫成

(6)

對于線性漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，對于任給的正定對稱系統(tǒng)Q，存在一個正定對稱矩陣P滿足Lyapunov方程

ATP+PA=-Q

(7)

在式(7)的基礎(chǔ)上進行簡單運算，可得到

(8)

根據(jù)式(8)，式(6)可進一步表示為

X(0)TPX(0)-X(∞)TPX(∞)

(9)

考慮系統(tǒng)的所有自由度都受到阻尼，殘余振動會逐漸減少為零，即X(∞)TPX(∞)→0. 目標函數(shù)可表示為

J=X(0)TPX(0)

(10)

這樣，用二次型積分形式衡量的殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題可寫成

find(d1,d2,…,dM)

(11a)

minJ=X(0)TPX(0)

(11b)

s.t.ATP+PA=Q

(11c)

(11d)

other constraints

(11e)

式中：d1、d2、dM為設(shè)計變量，共M個設(shè)計變量. 有的殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題還會包含其他的約束條件，鑒于篇幅所限，本文將不深入討論.

2 靈敏度分析

2.1 伴隨法靈敏度分析

對于如式(10)所示的表達式，若初始條件X(0)與設(shè)計變量無關(guān)，則可以采用基于伴隨法的計算方法求解J關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度，其計算式為

(12)

Aλ+λAT+X(0)X(0)T=0

(13)

(14)

求得. 需要指出的是，按照上述方法計算靈敏度時，無論多少設(shè)計變量，求解兩次Lyapunov方程(式(7)(13))即可獲得目標函數(shù)關(guān)于所有設(shè)計變量的靈敏度. 因此，當優(yōu)化問題包含了多個設(shè)計變量時，選擇該方法可以有效地減少靈敏度計算的耗時. 然而，當分析模型的自由度很多時，Lyapunov方程的求解將是十分耗時的. 對于這種情況，模型降階是一種有效的解決方法. 降階方法中，模態(tài)降階法是一種經(jīng)常被使用的簡便高效的模型降階方法.

本文中將采用模態(tài)降階法縮減分析模型的規(guī)模. 關(guān)于該方法的詳細情況可以參考文獻[19].

2.2 半解析法實現(xiàn)伴隨法靈敏度分析

對于包含了多種單元類型與眾多局部坐標系的組合結(jié)構(gòu)，編程實現(xiàn)仍然很困難. 為了克服上述難點，本文基于參數(shù)化的有限元模型，通過差分法計算

(15)

靈敏度計算流程如圖1所示. 基于得到的靈敏度可以進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計. 優(yōu)化流程如圖2所示.

3 數(shù)值算例

數(shù)值算例考慮了一個由板梁組合構(gòu)成的籃球架結(jié)構(gòu)，如圖3所示. 數(shù)值模型的尺寸是參照JN- 0304移動籃球架設(shè)計規(guī)范設(shè)定的. 采用Ansys分析時，該結(jié)構(gòu)的有限元模型包含了141個BEAM188型梁單元、590個SHELL63型殼單元，共有824個節(jié)點，每個節(jié)點6個自由度. 結(jié)構(gòu)的全部部件采用相同的材料，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3. 研究中，基于模態(tài)降階法采用結(jié)構(gòu)的前100階模態(tài)振型構(gòu)造降階模型以減少分析模型中的自由度數(shù)目. 籃球架結(jié)構(gòu)的底面固支，結(jié)構(gòu)承受的初始激勵為籃板與籃框的z方向初速度為0.1 m/s.

優(yōu)化問題的設(shè)計變量為1號板、2號板的厚度以及1號板與2號板的夾角α(1號板位置不變)，2號板與3號板的長度，共5個設(shè)計變量，如圖4所示. 約束條件為1號板、2號板與3號板的材料用量之和不變. 厚度(mm)設(shè)計變量取值需位于[5，30]，角度設(shè)計變量取值需位于[125°，180°]. 3號板與2號板具有相同的厚度.

注意到，由于籃球架的使用需求，籃筐的高度是不能任意改變的. 本算例設(shè)定，優(yōu)化過程中，3號板與水平面夾角以及3號板與籃板的交線(L4)位置不變，從而3號板與2號板的交線(L3)位置將隨α改變而改變，1號板與2號板的交線(L2)位置保持不變同時其與2號板左端(L1)的距離保持不變. 因此，2號板與3號板的長度雖然是設(shè)計變量，但并不獨立. 對于上述優(yōu)化問題，解析的計算結(jié)構(gòu)剛度陣、阻尼陣以及質(zhì)量陣關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度是非常困難的，但基于半解析法則可方便的克服上述困難.

本文將采用目標函數(shù)衡量籃球架的殘余振動響應(yīng)，目標函數(shù)為

(16)

式中：uj為籃板以及籃筐上節(jié)點的z方向位移；Na為籃板與籃筐的節(jié)點的總數(shù).

經(jīng)比較測試，本算例中將采用Δdi=0.01作為半解析法計算時的攝動量. 基于本文的優(yōu)化方法的優(yōu)化過程的迭代歷史如圖5所示.

表1中匯總了初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量取值以及目標函數(shù)值等信息. 結(jié)果顯示，基于本文的優(yōu)化方法可以有效地減小結(jié)構(gòu)的殘余振動響應(yīng).

比較初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量取值可以發(fā)現(xiàn)，1號板厚度減小，而2號板則厚度增加并為設(shè)計變量的取值上限，因此增加2號板的厚度比增加1號板的厚度對減小結(jié)構(gòu)的殘余振動的幫助更大. 優(yōu)化設(shè)計在材料用量相同的情況下將殘余振動減小了約90%.

最后基于瞬態(tài)動力分析結(jié)果驗證獲得的優(yōu)化設(shè)計是否是合理的. 圖6中比較了初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計下的點A(位置如圖3所示)的位移時程響應(yīng). 結(jié)果顯示，優(yōu)化設(shè)計下的殘余振動的衰減速度明顯優(yōu)于初始設(shè)計. 這說明基于本文提出的方法獲得的優(yōu)化設(shè)計是有效的.

表1 初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計的設(shè)計變量取值以及目標函數(shù)值

4 結(jié)論

本文研究了以殘余振動最小化為目標的組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題. 研究中采用半解析靈敏度計算方法克服了難以解析計算組合結(jié)構(gòu)的K、M、C關(guān)于設(shè)計變量的偏導(dǎo)矩陣的困難. 基于參數(shù)化建模技術(shù)，通過Matlab與Ansys軟件的二次開發(fā)功能實現(xiàn)了半解析靈敏度計算與優(yōu)化迭代過程. 最后，數(shù)值算例中考慮了一個籃球架模型的殘余振動最小化優(yōu)化設(shè)計問題. 結(jié)果顯示，在材料用量相同的條件下，優(yōu)化設(shè)計的殘余振動顯著的小于初始設(shè)計. 該結(jié)果驗證了程序及方法的有效性.

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(責任編輯 楊開英)

Optimization Design of Structure Subject to Impact for Minimization of Residual Vibration

YAN Kun1, LIU Xiaode2, CHENG Gengdong1

(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China; 2.Department of Mechanics and Engineering Science, Peking University, Beijing 100871, China)

External impact on engineering structure generates residual vibration, which may deteriorate structural performance. This paper studies optimum design of combined structure subject to impact for minimization of residual vibration. The objective function of the optimization problem is a performance index in the form of the integral of a quadratic function, which measures the residual vibration response globally. The design variables are geometric parameters of combined structure including size, shape and layout of the structure and its members. Due to the complexity of the stiffness matrix and mass matrix of the combined structure, a semi analytical sensitivity approach was implemented to overcome the difficulty of adjoint sensitivity evaluation. Both commercial software Matlab and Ansys were adopted to realize the semi-analytical sensitivity analysis and the optimization process. One numerical example demonstrates the effectiveness of the proposed method.

residual vibration；semi-analytic sensitivity method；combined structure; structure optimization

2016- 08- 16

國家自然科學基金資助項目(11332004)

閻 琨(1987—)， 男， 博士研究生， 主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方面的研究， E-mail: yankun@mail.dlut.edu.cn

程耿東(1941—)，男，中國科學院院士，俄羅斯科學院外籍院士，教授,博士生導(dǎo)師，主要從事工程力學、計算力學和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方面的研究，E-mail: chenggd@dlut.edu.cn

O 328

A

0254-0037(2016)12-1775-06

10.11936/bjutxb2016080038