離散動力學(xué)數(shù)值積分應(yīng)該保辛近似

鐘萬勰

(大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部， 大連 116023)

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離散動力學(xué)數(shù)值積分應(yīng)該保辛近似

鐘萬勰

(大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部， 大連 116023)

動力學(xué)離散后的數(shù)值積分應(yīng)該保辛近似. 辛對稱來源于Hamilton正則方程，而其對應(yīng)的變分原理是最小作用量變分原理. 離散后成為保辛近似，而不應(yīng)該用保結(jié)構(gòu)等不確切的概念來代替. 保辛是馮康提出的成果，應(yīng)當(dāng)予以重視.

離散動力學(xué)；保辛近似；最小作用量原理

筆者出身于土木結(jié)構(gòu)力學(xué)，相關(guān)研究是從結(jié)構(gòu)力學(xué)與最優(yōu)控制的模擬關(guān)系切入辛代數(shù)的. 筆者在文獻(xiàn)[1]中指出：“離散后，西方權(quán)威提出‘不可積系統(tǒng)，保辛近似算法不能使能量守恒’的誤判. 法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisson)指出，n維位移的動力學(xué)系統(tǒng)有n個首次積分；能量守恒包含于其中. 能量，眾所關(guān)注，但也僅是其中一個首次積分. 最小作用量變分原理導(dǎo)出的本是n對正則方程，再沒有多余的. 最小作用量不能用一個能量守恒來代替n個首次積分本應(yīng)全部守恒，問題在于分析解難以求出. 未能求出的分析解在離散時，并非不重要，只是未能分析求解. 離散時要‘保辛’是全面的近似提法；而國外學(xué)者只考慮能量保守，是不全面的，違反了最小作用量原理，也就離開了短程線的幾何化提法了，對此可質(zhì)疑：這還是正宗的動力學(xué)嗎？國外學(xué)者的提法也是有誤區(qū)的. ”

錢令希先生為文獻(xiàn)[2]作序時指出：“力學(xué)工作者應(yīng)首先虛心地汲取狀態(tài)空間法成功的經(jīng)驗，重新認(rèn)識哈密頓體系理論的深刻意義，以及隨之而來的辛數(shù)學(xué)方法及其對應(yīng)用力學(xué)的應(yīng)用”. 表明了錢先生的高瞻遠(yuǎn)矚，走對方向特別重要. 今天，常被提及的“精確打擊”“反導(dǎo)”等軍事術(shù)語表明了控制的重要性. 中國力學(xué)學(xué)會將過去的一般力學(xué)改名為動力學(xué)與控制. 動力學(xué)不是結(jié)構(gòu)力學(xué)，文獻(xiàn)[3]給出了動力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)的模擬關(guān)系. 因此，結(jié)構(gòu)力學(xué)以及動力學(xué)與控制可在同一套哈密頓(Hamilton)體系的數(shù)學(xué)下予以處理. 而哈密頓體系正是在動力學(xué)范圍內(nèi)發(fā)展的.

自牛頓之后，n維動力學(xué)問題的求解是150多年研究的主題，產(chǎn)生了分析力學(xué). 歐拉- 拉格朗日(Euler-Lagrange)給出了能量表達(dá)的拉格朗日函數(shù)及n維一類位移變量q(t)的變分原理. 然后，哈密頓引入了對偶變量q、p的體系. 提出了哈密頓正則方程

(1)

式中：n維向量q(t)、p(t)分別為位移與動量，相互對偶.

這些研究成果為相對論與量子力學(xué)奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 因量子力學(xué)有光譜分析的需要，根據(jù)對偶正則方程的對稱性，大數(shù)學(xué)家赫曼·外爾(Hermann Weyl)[4]提出了辛群對稱：“The name ‘complex group’ formerly advocated by me in allusion to line complexes, … has become more and more embarrassing through collision with the word ‘complex’ in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the Greek adjective ‘symplectic’. ” 表達(dá)了：為了避免“complex”容易產(chǎn)生的混淆，特地引入了希臘形容詞“symplectic”予以頂替. 表明了“symplectic group”，辛群之意. 然而群論只能分析對稱性，不能提供數(shù)值. 故本文屬于動力學(xué)范圍.

工程師需要數(shù)據(jù). 由于動力學(xué)一般是非線性的，分析求解異常困難，故只能轉(zhuǎn)而尋求數(shù)值求解，這只能離散后再求解. 將連續(xù)的時間坐標(biāo)離散，就必然出現(xiàn)時間區(qū)段(ta,tb),ta

動力學(xué)數(shù)值求解經(jīng)常拘泥于差分求解，大量的研究是差分格式的數(shù)值積分. 1985年，中國數(shù)學(xué)家馮康提出，差分格式應(yīng)當(dāng)“保辛”[5]. 這是針對離散近似求解的要求，從而得到了廣泛關(guān)注. Hairer等[6]也注意到該成果，并且加以修改而稱為“Geometric-Preserving”. 本文將就此修改，提出一些看法.

差分格式應(yīng)“保辛”，既然講差分，那就是離散后的近似. 其實中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之(429—500)用割圓法計算圓周率，也是離散求解的，其精度已達(dá)π=3.141 592 6…. 可推測為，將圓周劃分為內(nèi)接m邊正多角形，取m=2N,N=1,2,…,15.

圖1所示為N=2→3的過渡.AB連線是N=2時的內(nèi)接四邊矩形.

如所熟知，平面幾何兩點之間的連接直線，就是最短距離，即短程線. 祖沖之用正多邊形的總邊長之和逼近圓周率. 注意到，短程線的直線，沒有一點是滿足約束條件的. 取短程線是根本不管約束條件的，只有在其兩端，約束條件是嚴(yán)格滿足的. 以上相應(yīng)的處理不妨稱之為祖沖之方法論.

動力學(xué)在狀態(tài)空間q、p下的微分方程是正則方程式(1)，并且是可與兩類變量的變分原理

(2)

互通的. 式中：S為區(qū)段(ta,tb),ta

祖沖之算法要在節(jié)點處滿足約束條件；動力學(xué)位移約束條件，通常稱為完整約束. 而通常的動力學(xué)沒有約束條件，但并不妨礙短程線. 最小作用量原理給出的就是全部哈密頓正則方程. 而哈密頓正則方程正是赫曼·外爾提出辛群(symplectic group)的根據(jù)，表明最小作用量原理已經(jīng)“保辛”了. 國外學(xué)者提出的“保結(jié)構(gòu)”[6]對動力學(xué)來說，其概念模糊，在具體執(zhí)行時片面地變成為保能量. 能量守恒本來只是n個首次積分之中的一個，一個首次積分無法代替最小作用量原理的全部n個首次積分，所以違反了最小作用量原理，就此質(zhì)疑：不符合動力學(xué)的最小作用量原理，那還能說是正宗的動力學(xué)嗎？

結(jié)論是，“保辛”才是動力學(xué)離散積分的全面提法，它代表最小作用量原理的短程線.

保辛是對于離散體系而言的，連續(xù)系統(tǒng)的解當(dāng)然是本來就處處保辛. 然而因難以數(shù)值求解，只能尋求離散近似數(shù)值解. 近似解總得放棄些性質(zhì)，而關(guān)鍵的性質(zhì)不可放棄. 保辛的要求表明，離散時哈密頓體系的辛群對稱性質(zhì)是不可放棄的. 這是中國計算數(shù)學(xué)家馮康提出的在這個領(lǐng)域新的成果. 泊松提出，n維動力學(xué)系統(tǒng)有n個首次積分，問題是分析求解全部首次積分一般難以達(dá)到，不過也有若干個首次積分是可以分析求解的，例如能量守恒等. 那么離散數(shù)值積分時是否可以使能分析求解的首次積分也達(dá)到守恒呢？

國外名者[6]將“保辛”修改為“保結(jié)構(gòu)”. 辛是專門名詞，而結(jié)構(gòu)代表什么還沒講清楚，是模糊概念. 因此，國內(nèi)的科學(xué)家在動力學(xué)數(shù)值積分對于保辛的提法應(yīng)引起足夠的注意. 不要講保結(jié)構(gòu)等等的模糊概念，從而將馮康提出的正確概念和錯誤的提法相混淆，對于正確的概念我們是要繼承的.

要首次積分達(dá)到守恒，只能在離散后的格點處. 因不在格點時，一般用簡單的函數(shù)進(jìn)行插值，難以同時使首次積分守恒. 首次積分一般是在狀態(tài)空間表達(dá)的，將首次積分守恒作為約束條件，則成為非完整的約束. 非完整等式約束在數(shù)值積分時也是可讓它保持守恒[7]，但計算量自然會增加.

通常，在數(shù)值積分時追求簡單，因此常常采用最簡單的例如時間有限元法. 即使如此，大量的數(shù)值例題表明，能量的偏離也很小，而且偏離了往往又能返回.

[1] 鐘萬勰. 主編寄語——中國應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展思路[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué), 2016(3). ZHONG W X. Chief editor’s note—the development of Chinese applied mathematics [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2016(3). (in Chinese)

[2] 鐘萬勰, 歐陽華江, 鄧子辰. 計算結(jié)構(gòu)力學(xué)與最優(yōu)控制[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 1993.

[3] 鐘萬勰. 應(yīng)用力學(xué)的辛數(shù)學(xué)方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[4] WEYL H. The classical groups: their invariants and representations [M]. Princeton: University Press, 1939.

[5] 馮康, 秦孟兆. Hamilton體系的辛計算格式[M]. 杭州: 浙江科技出版社, 2004.

[6] HAIRER E, LUBICH C, WANNER G. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations[M]. 2nd ed. Berlin: Springer, 2006: 479.

[7] 高強(qiáng), 鐘萬勰. 非完整約束動力系統(tǒng)的離散積分方法[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2012, 10(3): 193-198. GAO Q, ZHONG W X. Numerical algorithms for dynamic system with non-holonomic constrains [J]. Journal of Dynamics and Control, 2012, 10(3): 193-198. (in Chinese)

(責(zé)任編輯 楊開英)

Symplectic Conservative Approximation for Discrete Dynamics Integration

ZHONG Wanxie

(Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Symplectic conservation should be confirmed after discrete integration for dynamics. Symplectic symmetry is from Hamilton canonical equation and its variational principle is the minimum action variational principle. Symplectic conservative approximation is confirmed after discrete, and it should not be replaced by inaccurate concept such as structure-preserving. Symplectic conservation was proposed by Kang Feng, which should be taken seriously.

discretized dynamic system; symplectic conservation; minimum action variational principle

2016- 06- 30

鐘萬勰(1934—)，男，中國科學(xué)院院士，主要從事計算力學(xué)理論與應(yīng)用方面的研究，E-mail: wxzhong@dlut.edu.cn

O 313

A

0254-0037(2016)12-1772-03

10.11936/bjutxb2016060088