放飛思維
——以《圓錐的側面積和全面積》教學為例

●柯陽兵

放飛思維
——以《圓錐的側面積和全面積》教學為例

●柯陽兵

筆者以人教版課標實驗教材九年級上冊《圓錐的側面積和全面積》教學為例，談談“三自”模式在課堂教學中的實際運用。

一、定向導學

導學模塊主要由導入新課和自主學習兩部分構成。

教學時，教師采用了問題導入的方式：向學生展示圓錐形生日帽和一次性紙杯，并提出問題，“制作這些物品需要消耗多少材料？如何計算？”隨后，教師用PPT呈現(xiàn)出學習目標——掌握圓錐母線的概念和圓錐側面積、全面積的計算方法；運用圓錐側面積和全面積的求解方法進行簡單運算。這樣的導入簡單明了，既體現(xiàn)出數(shù)學在生活中的應用價值，又讓學生明確了學習目標，還激發(fā)了學生的求知欲。

自主預習階段，教師通過導學案向學生呈現(xiàn)出兩個板塊的內(nèi)容。

板塊一：概念認知

學生自學教材第112-113頁，思考三個問題：①圓錐是由底面和一個側面圍成，其中底面為______形，側面為_______面，若底面半徑為r，則底面積為______；自研教材，我們知道圓錐的母線是______，它有______條。②拿出生日帽，我們?nèi)绾沃肋@個圓錐的側面積呢？（提示：立體圖形往往可以通過剪開并展開處理成平面圖形來探究。）③試著沿一條母線剪開生日帽并展開，它變成了_____形。有了這個圖形，再結合原有的圖形，你有了哪些發(fā)現(xiàn)？

板塊二：例題導析

學生自學教材第114頁例2，思考三個問題：①蒙古大草原是人間仙境，人們在這里做了許多蒙古包。做蒙古包時要考慮哪些因素？（結合教材圖24.4-6思考。）②如果你是蒙古人，要做一個蒙古包，請你設計一張圖紙。③解題中運用到哪些知識點？

板塊一的三個問題層層深入，能讓學生在閱讀教材、動手操作、觀察比較中，較容易地理解圓錐的相關概念、各元素之間的關系以及公式的推導方法。板塊二以三個較為開放的問題引導學生研讀例題，從中找到計算圓錐側面積的關鍵要素；畫出蒙古包設計圖的設計看似無意，其實是解決問題的突破口。

實際教學中，學生在導學案的引導下通讀教材，熟悉內(nèi)容，并利用雙色筆或標注出知識的重難點，或批注（標注）出不明白的問題，或自主完成能完成的任務，真正體驗到了知識生成的過程。

二、展示提升

這一環(huán)節(jié)是師生、生生充分對話的過程，一般按照同質對學、異質幫學、全組群學、全班展示的流程進行。

為保證學生討論時活而不亂，教師在導學案上預設了一些提綱挈領的問題：①生活中有哪些圓錐的應用；②結合圖形明確圓錐母線和高的概念；③理解圓錐各要素與其側面展開圖之間的對應關系；④理解圓錐側面積、全面積公式的生成過程。學生針對這幾個問題，先同質對學；隨后，進入異質幫學流程，即相鄰層次的學生對照導學案，通過請教或幫輔的方式，解決對學中未能解決的問題；完成了對學和幫學后，各小組長帶領組員進入全組群學環(huán)節(jié)。

群學環(huán)節(jié)，教師將導學案中預設的兩個展示內(nèi)容平均分配給六個小組，由組長進行題目分解和任務分工。

預設方案如下——

方案1：從圖形操作到公式生成。請結合圖形和生日帽把“操作→析圖→生成公式”的過程完整地展示出來，供全班分享。（注意解讀：①圓錐體中的相關概念；②圓錐體中各元素之間的關系；③公式的生成過程。）

方案2：例題解讀。請按照“解讀題意→思路分析→規(guī)范解答→注意事項→歸納總結”的過程展示研討成果。

學生按照方案充分地討論后，課堂進入展示分享階段。“周鑫六組”對方案一進行展示。主講學生呈現(xiàn)了一個事先準備好的圓錐體，對照實物對圓錐的相關概念（母線、側面、底面、高和底面半徑等）進行了解讀；為了便于理解，他還在黑板上畫出了比較規(guī)范的幾何圖形。這名學生展示完概念后，同組的第二名學生拿起一把剪刀，沿著母線將圓錐側面剪開，直觀地呈現(xiàn)了圓錐側面展開圖是一個扇形。他進一步引導同學們發(fā)現(xiàn)：剪開后，圓錐的母線成為展開扇形的半徑，扇形的弧長即為圓錐底面圓的周長，即圓錐側面面積就是扇形面積。然后，他根據(jù)扇形面積計算公式（其中L表示扇形弧長，R表示扇形半徑）及圓錐側面展開圖和圓錐各元素的關系，在黑板上演算、推導出圓錐側面積計算公式，即S側=S扇=(其中，r表示圓錐底面圓的半徑，R表示扇形半徑)。展示組展示后，其他學生開始發(fā)表看法。一名學生說：“我發(fā)現(xiàn)圓錐體的高、母線和底面半徑能構成勾股定理。這樣，在以后的運用中，我們只要知道了其中的兩個量，就可以算出第三個量。”另一名學生說：“在計算圓錐側面積的時候，我們不要死記公式，這樣字母容易混淆。我們只要知道圓錐體和展開扇形之間各元素的轉化關系，再利用熟知的扇形面積計算公式就能很容易地推導出圓錐側面積公式。”

方案二是例題解析，由“圳楷一組”展示。因為教材中已知數(shù)據(jù)為蒙古包的底面積、蒙古包的高和外圍的高，這個組在展示時，依據(jù)教材中的實物圖，引導同學們畫出了實物展開圖；他們還重點講解了如何利用底面積求出底面半徑，如何利用底面半徑和圓錐體的高求出母線。在講清思路后，這個組完整地呈現(xiàn)了例題的解題過程。

在展示環(huán)節(jié)，教師主動退到了幕后，而把學生推到了前臺。學生通過多種互動方式，把課堂推向了高潮。

三、自主測評

自主測評環(huán)節(jié)包括知識整理和達標測評兩個板塊。

“知識整理”的內(nèi)容包括梳理知識要點、繪出知識（思維）導圖、總結規(guī)律、提煉方法等。在《圓錐的側面積和全面積》的知識整理過程中，教師引導學生繪出了圓錐體及側面展開圖（如下圖）。

通過這幅圖，學生清晰地看到了幾個重點元素之間的關系，即圓錐側面展開圖是一個扇形，圓錐母線成為展開扇形的半徑，扇形的弧長即為圓錐底面圓的周長，圓錐體側面面積即為扇形面積。

“達標測評”的選題要有針對性和典型性，題型要多樣，題量要適中。本節(jié)課的內(nèi)容為探究圓錐側面積和全面積的公式及應用，是圓的有關知識的延續(xù)和發(fā)展。另外，這一部分內(nèi)容滲透了立體圖形平面化的數(shù)學思維方法。

基于課時內(nèi)容的作用與地位，教師設計了兩道不同層次的當堂測評題：①根據(jù)下列條件求值（其中r、h、a、l、s分別是圓錐的底面半徑、高線、母線長、側面展開圖弧長及面積）。當a=2，r=1時，則h=_____，l=_____，s=________。②已知：在RtΔABC中，∠C=900，AB= 13cm，BC=5cm，求以AC為軸旋轉一周所得到的幾何體的全面積。

這兩道題目既有利于學生進一步了解圓錐的有關概念，以及圓錐的側面展開圖及圓錐側面展開圖中各元素與圓錐中各元素之間的對應關系，又能檢測出不同層次學生基礎目標的達成情況，讓每個學生體驗到成功的喜悅。

（作者單位：黃梅縣育才實驗學校）