“微元定跡法”圖解運(yùn)動(dòng)性質(zhì)案例探析

羅秋芳

摘 要：本文針對(duì)受線牽引物體的運(yùn)動(dòng)這類(lèi)重要問(wèn)題，概要闡述了運(yùn)用“微元定跡”的方法。文中結(jié)合了詳實(shí)的案例分析，對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力在教學(xué)實(shí)踐上進(jìn)行了有益的探索。

關(guān)鍵詞：微元定跡法；運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；案例探析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）11-0045-3

在物理“必修1”運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，有一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，即受線牽引物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，往往需要我們先確定出物體的運(yùn)動(dòng)形式，再分析出其運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。這類(lèi)問(wèn)題較為復(fù)雜，因此學(xué)生較難掌握。

本文擬運(yùn)用“微元定跡”的方法，結(jié)合不同類(lèi)型的具體案例逐一探討，以供參考。所謂“微元定跡法”，是指根據(jù)運(yùn)動(dòng)分解的思想，將受線牽引物體的運(yùn)動(dòng)利用“過(guò)程微元”融合作圖探究物體運(yùn)動(dòng)的方法。這種方法能將問(wèn)題具象化，使得抽象的思維變得直觀，從而降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，在教學(xué)實(shí)踐中有良好的效果。

案例1 如圖1所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，用鉛筆靠著線的左側(cè)水平向右勻速移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中始終保持懸線豎直，則橡皮運(yùn)動(dòng)的速度（ ）

A.大小和方向均不變

B.大小不變，方向改變

C.大小改變，方向不變

D.大小和方向均改變

解析 這是2010年江蘇高考第1題，題目情景簡(jiǎn)潔，考察意圖清晰，是一道能力立意的好題。由于細(xì)線的總長(zhǎng)始終不變，橡皮在極小的一段時(shí)間Δt內(nèi)，水平位移Δx與豎直位移Δy大小相等，如圖2所示。根據(jù)分位移的關(guān)系 = 1可知橡皮做直線運(yùn)動(dòng)；再根據(jù)速度的定義式可得：vy=vx。由于題意vx不變，則vy也不變，兩個(gè)正交方向上的分運(yùn)動(dòng)均為勻速運(yùn)動(dòng)。橡皮以 vx的速度傾斜45 °向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)A正確。若鉛筆從O點(diǎn)靠著細(xì)線左側(cè)水平向右做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍有 = =1關(guān)系成立，橡皮仍按原軌跡做變速直線運(yùn)動(dòng)。

變式 如圖3所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，用釘子靠著線的左側(cè)，沿與水平方向成30 °角的斜面向右以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中始終保持懸線豎直，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.橡皮的速度大小為v

B.橡皮的速度大小為 v

C.橡皮的速度與水平方向成60 °角

D.橡皮的速度與水平方向成45 °角

解析 相比案例1，題中釘子的移動(dòng)方向不同，但仍為勻速運(yùn)動(dòng)。研究橡皮在極小的一段時(shí)間Δt內(nèi)的分位移情況，如圖4所示。在水平和豎直這兩個(gè)正交的方向上，由幾何關(guān)系及速度定義式，得：

由兩式得vx= v，vy= v?？梢?jiàn) = = ，橡皮以 v的速度沿與水平方向成60 °角做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B、C正確。若釘子仍從O點(diǎn)靠著細(xì)線左側(cè)沿斜面方向做變速運(yùn)動(dòng)，仍有 = = 關(guān)系成立，橡皮也按原軌跡做變速直線運(yùn)動(dòng)（筆者注：這是一定條件下的一個(gè)重要推論）。

案例2 如圖5所示，某同學(xué)將一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，用一支鉛筆貼著細(xì)線中點(diǎn)的左側(cè)以速度v水平向右勻速移動(dòng)，鉛筆下側(cè)懸線始終保持豎直，則在鉛筆移動(dòng)到圖中虛線位置的過(guò)程中（ ）

A. 細(xì)線繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不變

B. 細(xì)線繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不斷增大

C. 橡皮的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線

D. 橡皮處于超重狀態(tài)

解析 與前兩題不同的是，鉛筆貼著細(xì)線的中點(diǎn)帶著橡皮運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)形式更為復(fù)雜，以下通過(guò)微元過(guò)程結(jié)合畫(huà)圖來(lái)確定。由于鉛筆勻速向右移動(dòng)，取其水平方向上極小的三段相同位移Δx，對(duì)應(yīng)的三段時(shí)間Δt相同。由圖6可得細(xì)線繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不斷減小。由于細(xì)線總長(zhǎng)不變，橡皮每段時(shí)間Δt內(nèi)上升的位移大小與細(xì)線收縮的長(zhǎng)度相同，即圖中ΔL1=Δy1，ΔL2=Δy2，ΔL3=Δy3；且ΔL1<ΔL2<ΔL3，故Δy1<Δy2<Δy3，則 < < ，橡皮的運(yùn)動(dòng)軌跡為向上彎曲的曲線。再由速度定義可得vy1

點(diǎn)評(píng) 后面兩變式題為模擬試題，顯然難度有所上升。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，在設(shè)置條件時(shí)，三題的其中一個(gè)分運(yùn)動(dòng)都是勻速運(yùn)動(dòng)，而合運(yùn)動(dòng)的軌跡及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)都要作出判斷。

案例3 如圖7所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過(guò)斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上?；喿髠?cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行。A、B的質(zhì)量均為m。撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運(yùn)動(dòng)。不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g。求：

（1）A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B的位移大小s；

（2）A滑動(dòng)的位移為x時(shí)的速度大小vA。

解析 這是2016年江蘇高考物理第14題的最后兩問(wèn)。（1）從A的初位置開(kāi)始，選取A向右運(yùn)動(dòng)的一段極小位移Δx，由于與B相連的細(xì)線的總長(zhǎng)始終不變，根據(jù)幾何關(guān)系，可確定出兩者之間不同時(shí)刻相應(yīng)的位置關(guān)系，可確定出B物體做直線運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，圖中Δs是B物體的位移。當(dāng)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，設(shè)B的位移為s，如圖9所示。根據(jù)幾何關(guān)系sx=x·（1-cosα），

點(diǎn)評(píng) ①本題是一道梯度設(shè)計(jì)合理，區(qū)分度好，以能力立意的試題。它在空間數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上對(duì)受力分析、關(guān)聯(lián)速度和能量關(guān)系進(jìn)行了綜合考察。②根據(jù)“微元定跡”的方法結(jié)合幾何關(guān)系，可以確定出A、B兩物體均做直線運(yùn)動(dòng)，所以題目可以不給出“A、B均做直線運(yùn)動(dòng)”這個(gè)條件。但是，如果不給出將會(huì)增加試題的難度，從而影響區(qū)分度。③從考察物理思想的角度看，主要是微元思想、極限思想及分解思想。本題的標(biāo)準(zhǔn)答案沒(méi)有從分解的角度來(lái)解，筆者認(rèn)為這樣處理是合適的。首先，本題利用微元極限的思想，考察了瞬時(shí)速度的定義及運(yùn)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。其次，若采取分解的思想，將要引入B相對(duì)A的分運(yùn)動(dòng)，如圖10所示，而這顯然超出了考綱的要求。

圖10 位移分解圖

④從試題拓展的角度看，根據(jù)結(jié)果vA= 可以發(fā)現(xiàn)：A向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度為aA= ；B也做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度為aB= · ，本題與案例1及其變式的推論比較可知，兩者如出一轍。

結(jié)束語(yǔ) 對(duì)于受線牽引物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，在線總長(zhǎng)不變的前提下，且沿線方向上兩端速度大小相等，由幾何關(guān)系根據(jù)微元過(guò)程的方法確定出物體的運(yùn)動(dòng)形式；通過(guò)畫(huà)出不同位置的狀態(tài)圖，從正交的兩方向來(lái)分解合運(yùn)動(dòng)，更能徹底理解運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪德強(qiáng).2016年江蘇物理高考卷第14題的別樣處理[J].物理教師，2016（08）：83—84.

[2]wxzx_whl@sina.com

（欄目編輯 陳 潔）