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    珠鏈噴泉中的動(dòng)量流和能流

    2016-12-19 21:49:48F.Herrmann
    物理教學(xué)探討 2016年11期

    F.+Herrmann

    摘 要:本文通過對(duì)珠鏈噴泉的模型建構(gòu),用動(dòng)量流和能流的概念定量地討論了這一有趣的現(xiàn)象,畫出了珠鏈中的動(dòng)量流圖和能流圖。

    關(guān)鍵詞:珠鏈噴泉;對(duì)流動(dòng)量流;傳導(dǎo)動(dòng)量流;能流

    中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2016)11-0014-4

    自從《紐約時(shí)報(bào)》上發(fā)表“珠鏈噴泉”(chain fountain)現(xiàn)象以來,它至少已成為世界各地的物理學(xué)家們餐桌上討論的話題之一[1,2]。人們不只一次地要筆者用動(dòng)量流來解釋這一現(xiàn)象。確實(shí),珠鏈噴泉似乎注定要成為演示動(dòng)量流概念的例子。

    人們會(huì)問,為什么珠鏈會(huì)上升,即為什么它不直接從容器的邊緣流出?筆者將計(jì)算在沒有能量耗散的條件下(除珠鏈撞擊地面外)噴泉的高度,如圖1中所示的h,同時(shí)也將定義一個(gè)開始時(shí)各鏈的連接處無耗散的必要條件。

    為此,我們先分析其動(dòng)量流,然后再分析其能流。最后我們將討論,為了滿足無耗散的條件,開始時(shí)(或珠鏈連接處上跳時(shí))的情況。

    由于我們將多次提到珠鏈的構(gòu)成,我們將給出珠鏈連接處的設(shè)計(jì)情況,如圖2所示,每個(gè)連接由一根桿組成,在桿上固定著一個(gè)珠子。珠子攜帶著珠鏈的全部質(zhì)量,因而桿子被假定為無質(zhì)量,且可彈性地彎曲。桿與桿之間用鉸鏈連接。每個(gè)珠子在桿子上的情況基本符合珠鏈噴泉的工作原理。這一點(diǎn)將在第3節(jié)中討論。

    1 動(dòng)量流

    根據(jù)需要,我們只考慮動(dòng)量的豎直分量(即z分量),并規(guī)定向下為運(yùn)動(dòng)的正方向。

    一支運(yùn)動(dòng)著的、處于拉伸狀態(tài)的珠鏈傳輸著動(dòng)量。其中,有兩種動(dòng)量流:對(duì)流動(dòng)量流(convective current)和傳導(dǎo)動(dòng)量流(conductive current)。

    (1)對(duì)流動(dòng)量流

    對(duì)流動(dòng)量流的提出基于每個(gè)珠子由于具有質(zhì)量和速度因而具有動(dòng)量這一事實(shí)。由于珠子在運(yùn)動(dòng),所以動(dòng)量隨珠子一起流動(dòng)。

    傳導(dǎo)動(dòng)量流的提出基于桿子處于拉伸狀態(tài)這一事實(shí)。這一動(dòng)量流的分量與珠鏈的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。它的強(qiáng)度等于我們通常所說的力。

    我們可以認(rèn)為,珠子攜帶著對(duì)流動(dòng)量流,桿子攜帶著傳導(dǎo)動(dòng)量流。

    我們設(shè):

    Fc=對(duì)流動(dòng)量流,

    Fs=傳導(dǎo)動(dòng)量流[下標(biāo)“s”表示桿子(stick)]。

    對(duì)流動(dòng)量流等于速度和質(zhì)量流Im的乘積:

    Fc=v·Im;

    質(zhì)量流可以寫為:

    Im=λ·v,

    式中λ是單位長度珠鏈的質(zhì)量。

    這樣,對(duì)流動(dòng)量流可表示為:

    Fc=v·Im=λv2。

    珠鏈的每一位置具有相同的對(duì)流動(dòng)量流的絕對(duì)值。在珠鏈的豎直部分(左右兩部分)的動(dòng)量流的方向均為豎直向下,如圖3所示。在珠鏈的右部分,正的動(dòng)量向下流動(dòng);在左部分,負(fù)的動(dòng)量向上流動(dòng)(等效于正的動(dòng)量向下流動(dòng))。

    珠鏈左右豎直部分的對(duì)流動(dòng)量流(淺色部分)相等。用淺色表示的對(duì)流動(dòng)量流向下流,用深色表示的傳導(dǎo)動(dòng)量流向上流。在流的過程中,新的動(dòng)量流通過引力場從地球流入珠鏈。

    (2)傳導(dǎo)動(dòng)量流

    由于桿子處于拉伸狀態(tài),在左右兩部分的桿子中的傳導(dǎo)動(dòng)量流的z分量均向上流,如圖3所示。并且,在向上的方向上,其絕對(duì)值不斷增大,這是因?yàn)樵谙蛏系姆较蛏嫌袆?dòng)量通過引力場從地球流入珠子。每一長度l所增加的動(dòng)量流為:

    FG/l=λ·g。

    在珠鏈右邊的豎直段的最低端(即C點(diǎn)),傳導(dǎo)動(dòng)量流為零。在頂部(即A點(diǎn)),傳導(dǎo)動(dòng)量流為:

    FG=λ·g·(h0+h)。

    現(xiàn)在我們來分析珠鏈左邊的豎直段。

    在U形頂部轉(zhuǎn)折處A點(diǎn),珠鏈左右段之間沒有相互交換的z動(dòng)量流。在頂部,對(duì)流動(dòng)量流和傳導(dǎo)動(dòng)量流的z分量均為零。因此,在這一點(diǎn)沒有z動(dòng)量流流過。由于這個(gè)原因,向下流動(dòng)的對(duì)流動(dòng)量流的絕對(duì)值等于向上流動(dòng)的傳導(dǎo)動(dòng)量流的絕對(duì)值。我們來分析在珠鏈頂部(實(shí)際上在彎曲部分的下方)的傳導(dǎo)動(dòng)量流FS,A:

    FS,A=FC=λv2。

    在底部(即B點(diǎn)),傳導(dǎo)動(dòng)量流比A點(diǎn)的小λ·g·h。因此,我們有:

    FS,B=FS,A-λ·g·h=λv2-λ·g·h。

    到達(dá)B點(diǎn)的對(duì)流動(dòng)量流λv2必定流到了某處,然而,向上的傳導(dǎo)動(dòng)量流是不充足的。我們必須避免λv2向上流,但只有(λv2-λ·g·h)向上流。這里有多余的部分λ·g·h。如果沒有其他動(dòng)量流流出,這一項(xiàng)將為零,h也將為零,珠鏈就不可能發(fā)生噴泉現(xiàn)象。額外的動(dòng)量流只能流到盛珠鏈的容器中,最終流入地球(E)。珠鏈能產(chǎn)生噴泉現(xiàn)象的事實(shí)表明,這流出的動(dòng)量是存在的。我們尚不知道這動(dòng)量流FE為什么和怎樣離開珠鏈進(jìn)入地球,但我們知道它必定等于

    FE=λ·g·h(1)

    在頂部A處,向上的動(dòng)量是如何轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳碌膭?dòng)量的?關(guān)于這一點(diǎn),我們再說一句。這一過程并不剛好發(fā)生在所確定的高度,而是發(fā)生在珠鏈從豎直向水平開始彎曲的地方。

    2 能流

    我們可以用分解動(dòng)量流的方法來分解珠鏈中的能流。

    對(duì)流動(dòng)量流伴隨著動(dòng)能一起流動(dòng):

    跟對(duì)流動(dòng)量流一樣,能流的這一分量在珠鏈各處具有相同的值。在珠鏈的左部分,它向上流,即與動(dòng)量流的方向相反;在右部分,它向下流,即與動(dòng)量流的方向相同,如圖4所示。

    能量從引力場流入珠鏈的右部分。在右部分,這能流向上流;在左部分,它向下流。因而,它的一部分流入珠鏈,然后流回引力場。它的剩余部分被用來加速珠子。然后,它以動(dòng)能的形式與珠子一起流動(dòng),最后在C處(珠子與地面撞擊處)耗散。

    另外,能量通過桿子與傳導(dǎo)動(dòng)量流一起流動(dòng)。它與傳導(dǎo)動(dòng)量流之間的關(guān)系為:

    PS=v·FS。

    與傳導(dǎo)動(dòng)量流一樣,它在向上的方向上逐漸增大。這是由于它與引力場之間有能量交換:在右部分,能量流入珠鏈;在左部分,能量從珠鏈流出。在長度Δz的那一段珠鏈上,流向引力場或從引力場流入的能量傳輸率為:

    我們來分析裝置的上半部分。其長度為Δz=h。在右邊流入珠鏈的能流為:

    在左邊有相同的能流從珠鏈流出。對(duì)這兩部分能流,我們不感興趣,因?yàn)樗鼈儗?duì)總能流沒有貢獻(xiàn),它們僅僅穿過這個(gè)系統(tǒng)。我們感興趣的是流入珠鏈右下部分的能流。它等于:

    該部分能流向上流,然后沿珠鏈向左轉(zhuǎn)彎,再向下流,用于加速在容器B處的珠子。

    3 耗 散

    珠子的加速過程可以被看作碰撞過程。運(yùn)動(dòng)部分的珠鏈與下一個(gè)容器中的珠子相連。它好比這樣一個(gè)物體,其質(zhì)量明顯大于正在被加速的珠子的質(zhì)量。

    根據(jù)珠鏈連接處不同的設(shè)計(jì)情況,此碰撞過程(至少在理論上)可以被看成是彈性程度不同(從完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞)的碰撞。

    如果它是一個(gè)完全彈性碰撞過程,所有流入的能流全部用來給珠子加速:

    由此,我們得到:

    v2=gh0。

    因此,我們得到總的結(jié)論為:

    gh0≤v2≤2gh0。

    這里我們忽略了其他能量損失或耗散。

    4 各種不同類型的碰撞

    下面我們來分析靜止在水平地面上單獨(dú)一鏈的情況。在某一瞬間,它將受到(在前一時(shí)刻已被加速的)旁邊的一鏈所施加的向上的拉力。我們根據(jù)珠子在桿上的不同位置分幾種情況來討論。

    首先,我們假定珠子在桿子的右端,如圖5中的a所示。這時(shí),珠子的速度就是珠鏈的速度。我們知道,這情況跟大質(zhì)量物體與小質(zhì)量物體的完全非彈性碰撞相同。在這一過程中有一半能量耗散了。然而,珠鏈的各部分都是彈性的,為何這個(gè)過程是完全非彈性的?即使初始的碰撞是部分彈性的,有一半能量必定會(huì)流走,很可能由于碰撞而很快消失。結(jié)果,它必定以珠鏈的速度運(yùn)動(dòng)。這就意味著,有一半能量耗散了。

    如果我們把珠子稍向運(yùn)離鉸鏈的方向移動(dòng),其碰撞后速度將變小,能量耗散也將變小。如果把它移到桿的中點(diǎn),如圖5中的b所示,它碰撞后的速度剛好等于珠鏈的運(yùn)動(dòng)速度,這時(shí)沒有能量耗散。如果再將它向左移動(dòng),它碰撞后的速度將減小,碰撞又變成非彈性碰撞。當(dāng)它靠近下一個(gè)鉸鏈時(shí),相應(yīng)的碰撞為非彈性碰撞。只有當(dāng)珠子處于桿的中間位置時(shí),碰撞才是彈性的。

    我們來看一個(gè)有趣的事實(shí):角動(dòng)量的作用。如果珠子被放在桿的中點(diǎn),碰撞(運(yùn)動(dòng)珠鏈的拉動(dòng))將導(dǎo)致桿轉(zhuǎn)動(dòng)。盡管其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很?。U長珠子?。?,它不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)。地球?qū)⒆柚蛊滢D(zhuǎn)動(dòng)。相同的動(dòng)量從右端連接處流出,沿珠鏈向上流;它同樣從左端連接處流向地球。

    因此,珠子獲得了相同數(shù)量的“負(fù)動(dòng)量”。在這過程中,兩份角動(dòng)量流入桿子,并相互抵消。

    最后,我們弄清了額外的動(dòng)量流FE的來源[見方程(1)]。這動(dòng)量流決定了噴泉的高度:

    在無能量耗散的情況下,我們有:

    v2=2gh0,

    噴泉的最大高度為:

    hmax=h0。

    實(shí)際上,不僅僅在我們所討論的碰撞過程中有能量耗散。因此,我們可以給出噴泉的高度和速度的區(qū)間:

    0≤h≤h0,

    gh0≤v2≤2gh0。

    參考文獻(xiàn):

    [1]http://www.nytimes.com/2014/03/04/science/the-chain-

    fountain-explained.html?-r=0

    [2]http://www.youtube.com/watch?annotation-id=annotation-625777&feature=iv&src-vid=-dQJBBklpQQ&v=6ukMld5fli0

    (欄目編輯 趙保鋼)

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