圖形問題中的數(shù)學(xué)思想

朱志偉

圖形問題中的數(shù)學(xué)思想

朱志偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確了將“數(shù)學(xué)的基本思想”作為“四基”目標(biāo)之一，進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教育中的地位.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，在學(xué)習(xí)“平面圖形的認(rèn)識（一）”這一章時，同學(xué)們了解、掌握和運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，有利于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，開發(fā)智力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力.下面通過舉例予以說明.

一、轉(zhuǎn)化思想

有些數(shù)學(xué)題目，初看覺得無從下手，但若能轉(zhuǎn)化解題思路，問題便能順利得到解決.

例1一只蜘蛛在一個正方體的頂點(diǎn)A處，一只蚊子在正方體的頂點(diǎn)B處，如圖1所示，現(xiàn)在蜘蛛想盡快捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來.

圖1

圖2

【簡析】將正方體展開，A、B的位置如圖2所示，連接AB，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知線段AB就是符合條件的最短路線，在正方體上這樣的最短路線不止一條.

二、方程思想

在處理有關(guān)角的大小、線段大小計(jì)算時，借助方程來求出未知量是一種重要策略.

例2如果一個角的補(bǔ)角是150°，求這個角的余角.

【簡析】若設(shè)這個角的大小為x，則這個角的余角是90°-x，于是由這個角的補(bǔ)角是150°可列出方程求解.

解：設(shè)這個角的大小為x，則這個角的余角是90°-x，根據(jù)題意，得

180°-x=150°，解得：x=30°，

即90°-x=60°.

故這個角的余角是60°.

例3已知線段AC∶AB∶BC=3∶5∶7，且AC+AB=16 cm，求線段BC的長.

【簡析】在本題中，可設(shè)AC=3x cm，則AB=5x cm，BC=7x cm.因?yàn)锳C+AB=16 cm，所以3x+5x=16 cm，解得x=2，因此BC=7x= 14 cm.

例4如圖3，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠EOB∶∠BOD=3∶2，求∠AOF的度數(shù).

圖3

【簡析】在本題中，可設(shè)∠EOB=3x，∠BOD=2x，因?yàn)镺E平分∠BOC，所以∠EOC= 3x，因直線CD，則3x+2x+3x=180°，解得x= 22.5°，所以∠BOD=2x=45°.因?yàn)镺F⊥CD，直線AB，所以∠AOF=45°.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合，由數(shù)思形，以形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于同學(xué)們把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

例5已知線段AB，在BA的延長線上取一點(diǎn)C，使CA=3AB.

（1）線段CB是線段AB的幾倍？

（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？

【簡析】本題的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個數(shù)量問題.如果同學(xué)們不畫出圖形就不容易發(fā)現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系，而一旦將畫圖視為自覺行為，其數(shù)量關(guān)系就會一目了然.這正是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn).

四、分類討論思想

物以類聚，人以群分，數(shù)學(xué)中的問題也是一樣，在許多情況下，通過分類既可以避免出錯，又可以訓(xùn)練我們的思維.

例6在一條直線上有A、B、C三點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，N為線段BC的中點(diǎn)，若AB=3，BC=2，試求線段MN的長.

【簡析】根據(jù)題意只能確定A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，但不能確定它們的順序，因此要分情況討論.

圖4

圖5

解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時，如圖4所示，

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，如圖5所示，

例7已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù).

【簡析】根據(jù)題意∠AOB與∠BOC有一公共邊OB，邊OA與邊OC的位置不能確定，因此要分情況討論.

圖6

解：（1）當(dāng)邊OC在∠AOB外時，如圖6所示，

圖7

（2）當(dāng)邊OC在∠AOB內(nèi)時，如圖7所示，

例8有四個點(diǎn)A、B、C、D，經(jīng)過其中每兩個點(diǎn)畫直線，可以畫出幾條？

【簡析】條件中沒有明確4個點(diǎn)或其中3個點(diǎn)是否在同一條直線上，因此應(yīng)分情況進(jìn)行討論.

解：（1）當(dāng)A、B、C、D四個點(diǎn)在同一條直線上時，只可以畫出1條直線，如圖8所示.

圖8

（2）當(dāng)A、B、C、D四個點(diǎn)中有3個點(diǎn)在同一條直線上時，可以畫出4條直線，如圖9所示.

圖9

（3）當(dāng)A、B、C、D四個點(diǎn)中任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上時，可以畫出6條直線，如圖10所示.

圖10

【簡析】根據(jù)題意可知，線段AB、AC是同一條直線上的兩條線段，但是線段AB、AC的位置不確定，也就是說A、B、C三點(diǎn)的位置不確定，因此應(yīng)分B、C在A點(diǎn)的同側(cè)和B、C在A點(diǎn)的兩側(cè)兩種情況討論.

解：BC=3MN，理由如下：

（1）當(dāng)B、C在A點(diǎn)同側(cè)時，如圖11所示，

即BC=3MN.

圖11

（1）當(dāng)B、C在A點(diǎn)兩側(cè)時，如圖12所示，

即BC=3MN.

圖12

因此線段BC的長度是MN的3倍.

以上介紹了4種常見的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法還有很多，限于篇幅，這里不再一一贅述，但需要提醒同學(xué)們的是，數(shù)學(xué)思想方法不是靠老師灌輸?shù)?，而是由自己不斷反思、體悟出來的，脫離了問題來談數(shù)學(xué)思想方法是毫無意義的.另外，各種思想方法并不是相互孤立地發(fā)揮作用，有時需要多種思想方法共同起作用才能解決問題.筆者認(rèn)為，從初一開始就注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，將為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而受益終生.

（作者單位：江蘇省吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）