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    立體幾何中的探索性與存在性問題例說

    2016-12-19 03:45:40山東省棗莊二中韓宏帥
    青蘋果 2016年24期
    關(guān)鍵詞:線面探索性結(jié)論

    山東省棗莊二中 韓宏帥

    立體幾何中的探索性與存在性問題例說

    山東省棗莊二中 韓宏帥

    探究性與存在性問題是指一類在條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立的問題。立體幾何中的探究性與存在性問題,既能夠考查同學(xué)們的空間想象能力,又可以考查同學(xué)們的觀察、分析和探究能力。

    熱點題型

    1.對命題條件的探索

    探索條件,即探索能使結(jié)論成立的條件是什么。對命題條件的探索常采用以下三種方法:(1)先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件,再進行證明。

    (2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明充分性。

    (3)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,探索出命題成立的條件。

    2.對命題結(jié)論的探索

    探索結(jié)論,一種是在給定的條件下命題的結(jié)論是什么,常從條件出發(fā),探索出要求的結(jié)論是什么;還有一種是探索結(jié)論是否存在,常假設(shè)結(jié)論存在,再尋找與條件相容還是矛盾的結(jié)論。

    解題技巧

    立體幾何的探索性與存在性問題一般都是條件開放性的探究問題,采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法:假設(shè)求解的結(jié)果存在,尋找使這個結(jié)論成立的充分條件,運用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決,如果能找到符合題目結(jié)果要求的條件,則存在;如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件,或出現(xiàn)了矛盾,則不存在。

    典例選析

    例1 如圖1,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,P A⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=。

    圖1

    (1)求證:PD⊥平面PAB。

    (2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值。

    (3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由。

    分析 (1)由面面垂直性質(zhì)定理可知AB⊥平面PAD,根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知AB⊥PD,再由線面垂直判定定理可知PD⊥平面PAB。

    (2)取AD的中點O,連接PO、CO,以O(shè)為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz,利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值。

    圖2

    點評 平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用:當兩個平面垂直時,常在其中一個面內(nèi)作交線的垂線,把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,進而可以證明線線垂直(必要時可以運用平面幾何的知識證明垂直關(guān)系),構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等。

    例2 如圖3,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,四邊形ACFE是矩形,且平面ACFE⊥平面ABCD,點M在線段EF上。

    圖3

    (1)求證:BC⊥平面ACFE。

    (2)當EM為何值時,AM∥平面BDF?證明你的結(jié)論。

    分析 (1)證明線面垂直的方法:一是利用線面垂直的判定定理,二利用是面面垂直的性質(zhì),三是利用平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面)。解題時,注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。

    (2)證明線面平行常用方法:一是利用線面平行的判定定理,二是利用面面平行的性質(zhì)。

    圖4

    點評 本題考查了直線與平面垂直的判定和直線與平面平行的判定。這類探索性題型通常是找命題成立的一個充分條件,所以解這類題采用下列兩種方法:(1)通過各種嘗試探索出條件。(2)找出命題成立的必要條件,再證明充分性。

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