基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法

鐘鳴宇，朱宗玖

(安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

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基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法

鐘鳴宇，朱宗玖

(安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

用擬Shannon區(qū)間小波解非線性薛定諤方程，為數(shù)值解提供了又一有力工具。簡(jiǎn)要分析了分步方法的一般形式，得出了分步小波方法的算法公式。說明了色散算子矩陣是Toeplitz矩陣，分步小波方法的運(yùn)算量主要來自色散段中Toeplitz矩陣向量積。該方法減小了該Toeplitz矩陣的存儲(chǔ)空間，從而提高了運(yùn)算速度。以解析解為準(zhǔn)，給出了基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法的相對(duì)誤差。結(jié)果表明，與以往基于Daubeches小波的分步小波方法相比，精確性有了較大提高。

非線性光學(xué)；分步小波方法；數(shù)值計(jì)算；擬Shannon區(qū)間小波；對(duì)稱Toeplitz矩陣

在非性光纖光學(xué)中，非線性薛定諤方程具有基礎(chǔ)性作用。常用的分步傅里葉方法，利用離散傅里葉變換求解方程。隨著小波分析理論研究的深入，利用小波逼近求解非線性薛定諤方程，已引起人們的廣泛關(guān)注[1-3]。利用小波逼近解各種非線性偏微分方程的過程中，離散化方程的過程中會(huì)產(chǎn)生誤差。為了消除這種誤差，需要使用插值小波。已有的方法主要采用Daubechies小波。然而，由于Daubechies小波及各階導(dǎo)函數(shù)沒有解析表達(dá)式，導(dǎo)致求解過程較為復(fù)雜，且容易引起強(qiáng)烈的邊界效應(yīng)[4-6]。近年來，擬Shannon區(qū)間小波作為解非線性方程的有力工具，引起人們的巨大關(guān)注[7-9]。該小波的各階導(dǎo)數(shù)都具有解析表達(dá)式，且較好的克服了邊界效應(yīng)的影響，提高了數(shù)值逼近的精度[10]。已有的結(jié)果顯示，非線性偏微分方程的數(shù)值解在局部有急劇變化時(shí)，利用該小波求解顯示出巨大潛力。

本文利用擬Shannon區(qū)間小波解最基本的非線性薛定諤方程，結(jié)果表明該方法適用于求解非線性薛定諤方程。計(jì)算Toeplitz矩陣向量乘(TMVP)時(shí)，充分利用了剛度矩陣的稀疏性，提高了運(yùn)算速度。最后，給出了基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并與基于Daubechies小波的分步小波方法進(jìn)行了比較，表明基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法具有很高的精度。

1 非線性薛定諤方程及分步解法

如果光纖損耗被周期放大器補(bǔ)償，光脈沖的傳輸可由歸一化非線性薛定諤方程描述為

(1)

式中：u、ξ、τ分別為歸一化脈沖包絡(luò)復(fù)振幅、歸一化距離和歸一化時(shí)間，可分別表示為

式中：A為脈沖的實(shí)際振幅，z為傳輸距離，t為時(shí)間，vg為脈沖群速度，P0為脈沖峰值功率，對(duì)雙曲正割脈沖，T0=TFWHM/1.76為脈沖初始半寬度，γ為光纖的非線性系數(shù)。根據(jù)一般的分步方法，式(1)寫為

(2)

假定在傳輸?shù)倪^程中，色散與非線性效應(yīng)分別作用，可得到其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

為提高精度，采用對(duì)稱分步傅里葉方法

u(ξ+h，τ)=

(4)

當(dāng)h和τ足夠小，精度可以得到保證。

2 擬Shannon區(qū)間小波構(gòu)造

由于Shannon小波不具有緊支撐特性，因此，對(duì)Shannon尺度函數(shù)進(jìn)行正則化處理

φσ(τ)=φ(τ)Rσ(τ)

(5)

φσ(x)具有良好的緊支撐性，定義d為均勻離散單元格的大小，則可得到插值核函數(shù)為

φσ，d(τ-τn)=

(6)

ωj，n(τ)=ωj(τ-τn)=

(7)

依經(jīng)驗(yàn)取r=3或r=3.2。

函數(shù)u(x)可表示為：uj(τ)=∑uj(τn)ωj(2jτ-n)，其逼近誤差小于10e-16[10]。在τk處的一階、二階導(dǎo)數(shù)可表示為

(8)

(9)

3 非線性偏微分方程的擬Shannon區(qū)間小波空間離散

如前所述，u(x)可近似表示為

uj(τ)=∑uj(τn)ωj(2jτ-n)

(10)

則可把U(xk)的二階微分表示為

U″(xk)=U(xn)W2(xk-xn)

(11)

一般將矩陣W1和W2稱為一階和二階微分算子矩陣。求一階微分的該微分算子矩陣是一般的帶狀Toeplitz矩陣，二階微分的微分算子矩陣是對(duì)稱的帶狀Toeplitz矩陣。

4 基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法及運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度

各種不同的分步方法中，非線性段的處理方法是完全相同的，不同之處在于如何處理色散段的求導(dǎo)項(xiàng)?；诜植叫〔ǚ椒ǖ纳⒍慰蓪憺?/p>

(12)

其中i是虛數(shù)單位，完整的分步小波方法可寫為

(13)

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了使計(jì)算結(jié)果具有通用性，使用式(1)表示的歸一化模型，設(shè)輸入為

u(0，τ)=2sech(τ)

(14)

其計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 二階孤子在10個(gè)孤子周期上傳播

為了更加精確的比較各種數(shù)值方法的計(jì)算精度，使用式(1)的解析解f(ξ，τ)作為標(biāo)準(zhǔn)[12]，解析解的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

f(ξ，τ)=u(ξ，τ)=

(15)

基于擬Shannon區(qū)間小波的數(shù)值解用g(ξ，τ)表示，定義分步傅里葉方法的相對(duì)誤差為

(16)

誤差曲線如圖2所示，該誤差曲線是取樣點(diǎn)數(shù)為512，1024，2048三條誤差曲線的平均值。在40個(gè)孤子周期內(nèi)，對(duì)二階孤子的數(shù)值計(jì)算，其相對(duì)誤差在0.1%左右波動(dòng)，運(yùn)算精度能比較充分的滿足數(shù)值計(jì)算的要求，而以往的研究結(jié)果表明，基于Daubechies小波用于數(shù)值計(jì)算高階孤子傳播，與分步傅里葉方法所取得的公認(rèn)值的相對(duì)誤差在5%左右，對(duì)一階孤子，其相對(duì)誤差在1.2%左右波動(dòng)[3]。

圖2 基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法與解析解的相對(duì)誤差

6 結(jié)束語

本文研究了基于擬Shannon區(qū)間小波的分步小波方法解歸一化非線性薛定諤方程，分析了其對(duì)應(yīng)的微分算子和色散算子矩陣，基于擬Shannon區(qū)間小波比基于Daubechies小波的色散算子矩陣更容易取得。本文使用的分步方法，計(jì)算量主要來自色散段中向量與Toeplitz矩陣相乘。簡(jiǎn)要分析了使用擬Shannon小波，不能使用基于嵌入式矩陣的FFT的快速算法的原因。提高運(yùn)算速度應(yīng)充分利用色散算子矩陣的稀疏性。最后，以方程的解析解為準(zhǔn)，得到了該方法的相對(duì)誤差，表明該方法具有很高的精確性，與比以往的小波分步方法相比，誤差降為原來的1/10。如果要將本文介紹的方法的運(yùn)算速度進(jìn)一步提高，應(yīng)設(shè)法進(jìn)一步提高TMVP的運(yùn)算速度。

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(責(zé)任編輯：李 麗，編輯：丁 寒)

Split-step Wavelet Method Based Oon Quasi-Shannon Interval Wavelet

ZHONG Ming-yu, ZHU Zong-jiu

(School of Mechanical Engineering and Automatization, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China)

Quasi-Shannon interval wavelet was used to solve the nonlinear Schr?dinger equation, which provided another powerful tool for numerical solution of the equation. The general form of split-step algorithm was studied briefly. The dispersion matrix is Toeplitz matrix, and most of the calculation came from Toeplitz Matrix-Vector Product. This method abated the memory space for Toeplitz Matrix to improve calculating speed. Finally, with the analytic solution being the standard, the accuracy of split-step Wavelet method based on Quasi-Shannon interval wavelet was given. The results show that compared with split-step wavelet method based on Daubechies wavelet, the accuracy has improved greatly.

nonlinear optics; split-step wavelet method; numerical analysis; Quasi-Shannon interval wavelet; symmetrical Toeplitz matrix

2015-10-14

鐘鳴宇(1982-)，男，四川三臺(tái)人，講師，碩士，研究方向：光通信系統(tǒng)。

TN929

A

1672-1098(2016)05-0059-04