近場動力學(xué)理論在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)破壞的研究*

石宏順，錢松榮，徐 婷，原群盛，張國浩

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

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近場動力學(xué)理論在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)破壞的研究*

石宏順，錢松榮▲，徐 婷，原群盛，張國浩

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

近場動力學(xué)理論(Peridynamic，PD)用鍵描述了材料內(nèi)部的相互作用關(guān)系，可分析材料破壞過程中的裂紋擴(kuò)展。針對由異種材料組成的復(fù)合材料-鋼筋混凝土構(gòu)建了其力學(xué)模型，提出了同種鍵和異種鍵，并修正了鍵的微模量常數(shù)、斷裂準(zhǔn)則等。通過對鋼筋混凝土梁的四點(diǎn)彎曲試驗進(jìn)行數(shù)值求解，結(jié)果表明該力學(xué)模型是可行的。

近場動力學(xué)，鋼筋混凝土，力學(xué)模型，同種鍵，異種鍵，破壞

0 引言

鋼筋混凝土是由混凝土和鋼筋組成的復(fù)合材料，混凝土自身具有較好的抗壓強(qiáng)度，鋼筋具有較好的抗拉強(qiáng)度，兩者結(jié)合使結(jié)構(gòu)具有較好的抗拉壓強(qiáng)度，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活中。目前，對于鋼筋混凝土破壞的研究主要是通過試驗或傳統(tǒng)的斷裂力學(xué)、彈塑性力學(xué)、損傷力學(xué)、有限元法理論進(jìn)行[1-3]。本文將引入近場動力學(xué)理論(Peridynamic，PD)對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的破壞進(jìn)行研究。

近場動力學(xué)理論是2000年提出用于材料破壞研究的力學(xué)理論[4]，其積分形式的運(yùn)動方程對材料破壞出現(xiàn)的不連續(xù)問題(裂紋擴(kuò)展、斷裂)的求解具有良好的適應(yīng)性，因此不需要連續(xù)性假設(shè)，可分析材料破壞的裂紋擴(kuò)展。這是傳統(tǒng)的力學(xué)理論所不能及的，傳統(tǒng)理論往往需要以連續(xù)性假設(shè)為前提，否則出現(xiàn)解的奇異性[5-6]。

本文將根據(jù)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)性質(zhì)，基于近場動力學(xué)理論構(gòu)建其力學(xué)模型，為鋼筋混凝土的破壞研究提供理論基礎(chǔ)。

1 近場動力學(xué)理論簡介

(1)

(2)

位移二次求導(dǎo)表示加速度，ξ和η分別表示兩物質(zhì)點(diǎn)的相對位置和發(fā)生的相對位移，如式(3)所示。

ξ=xj-xi，η=uj(x，t)-ui(x，t)

(3)

圖1 物質(zhì)點(diǎn)的相互作用關(guān)系

圖2 PMB材料的本構(gòu)力函數(shù)

PMB材料的本構(gòu)力函數(shù)認(rèn)為鍵中力與變形—近場力與伸長量的關(guān)系是線性的，一旦鍵的拉伸變形達(dá)到一定量，即鍵斷裂，鍵中力消失；而壓縮不導(dǎo)致鍵斷裂，如圖2所示，其本構(gòu)力函數(shù)為：

(4)

(5)

c為鍵的微模量常數(shù)，類似于彈性力學(xué)中的彈性常數(shù)，與鍵中物質(zhì)點(diǎn)的材料性質(zhì)有關(guān)，在基于鍵中兩物質(zhì)點(diǎn)的材料相同前提下，微模量常數(shù)表示為[7-8]：

(6)

式中E為物質(zhì)點(diǎn)材料的彈性模量，v為泊松比。

(2)鍵的斷裂準(zhǔn)則

對于PMB材料，當(dāng)鍵的拉伸伸長量s大于臨界伸長量s0時，可認(rèn)為鍵斷裂，即鍵的斷裂準(zhǔn)則為：

s>s0

(7)

臨界伸長量s0可參考文獻(xiàn)[8]：

(8)

式中：G0為材料的斷裂能。

(3)物質(zhì)點(diǎn)損傷與裂紋

材料中已斷裂鍵串聯(lián)后便形成裂紋，一般用物質(zhì)點(diǎn)的損傷φ來表示裂紋，可定義為：

(9)

式中：md表示物質(zhì)點(diǎn)近場區(qū)域內(nèi)作用于其的已斷裂鍵數(shù)；m為其總鍵數(shù)。

2 鋼筋混凝土PD力學(xué)模型的構(gòu)建

(1)兩個假設(shè)條件

鋼筋混凝土材料，混凝土是典型的脆性材料，鋼筋是典型的金屬塑性材料。為了簡化計算，鋼筋混凝土的PD力學(xué)模型可作如下假設(shè)：

假設(shè)1：鋼筋、混凝土材料是各向同性、均勻的；

假設(shè)2：鋼筋、混凝土材料中鍵的近場力與伸長量關(guān)系都是線性的，近似為PMB材料，并以較小鍵的臨界伸長量s0來突出混凝土的弱抗拉性，較大s0來突出鋼筋強(qiáng)抗拉性。

(2)同種鍵和異種鍵

近場動力學(xué)理論常以如圖3中同種材料內(nèi)部鍵中各物質(zhì)點(diǎn)是相同材料情況為研究對象。而鋼筋混凝土是混凝土和鋼筋的異種材料組成，此時在異種材料內(nèi)部鍵中的各物質(zhì)點(diǎn)可能出現(xiàn)材料不同情況，因此，鍵需修正。

圖3以具有A材料性質(zhì)的物質(zhì)點(diǎn)與其近場區(qū)域內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成鍵為例，對于鍵中物質(zhì)點(diǎn)為同種材料，可稱為同種鍵A-A；而對于鍵中物質(zhì)點(diǎn)為異種材料，具有A材料物質(zhì)點(diǎn)與B材料物質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成了異種鍵A-B，該類鍵一般存在兩種材料的接觸處區(qū)域。

圖3 同種材料和異種材料的鍵

同種鍵是近場動力學(xué)中廣泛應(yīng)用的類型，而異種鍵，由于鍵中兩物質(zhì)點(diǎn)的材料的力學(xué)性能差異，則鍵中力學(xué)關(guān)系需修正。對于異種鍵，由式(6)知，若近場區(qū)域半徑δ相同情況下，微模量常數(shù)c僅與材料性能參數(shù)E、v有關(guān)，故異種鍵A-B的微模量常數(shù)可取各自同種鍵A-A和B-B的平均值；同理，異種鍵斷裂的臨界伸長量也可取平均值，則得如表1鍵的力學(xué)關(guān)系。

表1 同種鍵和異種鍵的力學(xué)關(guān)系

注：cA，cB和s0A，s0B為同種鍵A-A、B-B微模量和臨界伸長量。

3 數(shù)值求解方法及流程圖

(1)數(shù)值求解方法

材料由若干的物質(zhì)點(diǎn)組成，為了便于數(shù)值計算，將材料離散建模成由規(guī)則排列的立方體組成的結(jié)構(gòu)模型，用立方體表示物質(zhì)點(diǎn)，稱為點(diǎn)單元，如圖4的結(jié)構(gòu)模型平面圖所示，點(diǎn)單元邊長為Δx。

圖4 PD平面結(jié)構(gòu)模型

運(yùn)動方程式(1)積分部分可采用數(shù)值求和，位移二次求導(dǎo)可采用中心差分公式，則可得到近場動力學(xué)理論的數(shù)值求解方程：

(10)

式中：m為點(diǎn)單元i近場區(qū)域內(nèi)的總鍵數(shù)或j點(diǎn)單元數(shù)；Δt為時間步長，一般取10-7s；n為時間步數(shù)。

(2)數(shù)值求解程序流程圖

根據(jù)近場動力學(xué)的數(shù)值方法，可用如圖5所示的流程圖進(jìn)行編程數(shù)值求解鋼筋混凝土的破壞。

圖5 PD數(shù)值求解流程圖

4 鋼筋混凝土梁破壞實(shí)例分析

基于文中構(gòu)建的鋼筋混凝土PD力學(xué)模型利用四點(diǎn)彎曲試驗方法對鋼筋混凝土梁進(jìn)行破壞分析。

(1)鋼筋混凝土梁的四點(diǎn)彎曲破壞PD求解

鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)、尺寸、加載、約束條件如圖6所示，其各材料的性能參數(shù)如表2所示。通過PD數(shù)值計算方法進(jìn)行離散建模，點(diǎn)單元邊長Δx取1 mm，近場區(qū)域半徑取3 mm，則該結(jié)構(gòu)模型共含有130 851個點(diǎn)單元，如圖6所示。對該梁施加P=5 000 N載荷，時間步長Δt取10-7s，通過C語言及圖5的流程圖進(jìn)行編程數(shù)值求解，得到如圖7所示的破壞過程。

表2 材料參數(shù)

圖6 鋼筋混凝土梁的結(jié)構(gòu)模型

圖7為鋼筋混凝土梁破壞PD數(shù)值求解結(jié)果，施加載荷后，隨著時間步增加，梁底部產(chǎn)生拉力，底部的鍵處于拉伸狀態(tài)，由于底部混凝土的臨界伸長量較小(抗拉性弱)，易引起鍵斷裂而促使裂紋萌生。在2 000時間步時，底部已出現(xiàn)了裂紋，這些裂紋當(dāng)擴(kuò)展到布置鋼筋位置處時，由于鋼筋臨界伸長量較大(抗拉性好)，阻礙了鍵的繼續(xù)斷裂而阻礙裂紋擴(kuò)展。于是，在梁的底部出現(xiàn)了分布式裂紋，這與常見的實(shí)驗室四點(diǎn)彎曲試驗結(jié)果是一致的。

(2)無鋼筋混凝土梁的四點(diǎn)彎曲破壞PD求解

針對相同模型，采用全混凝土梁，對該梁施加P=2 500 N載荷，通過PD數(shù)值求解得到的如圖8所示破壞過程。

圖7 鋼筋混凝土梁PD求解的破壞過程(顏色表φ值)

圖8 無鋼筋混凝土梁PD求解的破壞過程

圖8為無鋼筋混凝土梁破壞PD數(shù)值求解結(jié)果，一旦梁底部萌生裂紋，由于混凝土材料弱抗拉性，底部的拉力會促使鍵繼續(xù)斷裂而促進(jìn)裂紋擴(kuò)展，直到貫穿到梁頂部，梁出現(xiàn)了破壞性斷裂。而與圖7有鋼筋混凝土梁的求解結(jié)果相比，鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出更好的抗拉壓性。

通過上述的破壞PD求解分析，本文構(gòu)建基于近場動力學(xué)理論的鋼筋混凝土力學(xué)模型，可很好的模擬該類材料的破壞過程。

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了基于近場動力學(xué)理論的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型：以兩個假設(shè)為前提，一是鋼筋、混凝土都是各向同性的、均勻的，二是鋼筋、混凝土的鍵中近場力與伸長量都是線性的，近似為PMB材料；改進(jìn)鍵關(guān)系，針對于鍵中同種材料的物質(zhì)點(diǎn)和異種材料的物質(zhì)點(diǎn)，提出了同種鍵和異種鍵，并修正鍵的微模量常數(shù)、斷裂準(zhǔn)則。通過針對鋼筋混凝土梁和無鋼筋混凝土梁四點(diǎn)彎曲破壞PD數(shù)值求解，驗證了該力學(xué)模型的可行性，該力學(xué)模型也可擴(kuò)展到其他同類的復(fù)合材料中去。

該理論目前還需要克服以下難點(diǎn)：本構(gòu)力函數(shù)是理想化的力與變形關(guān)系，與材料的實(shí)際性質(zhì)有所差異；數(shù)值求解方法存在一定誤差，其離散建模方式、數(shù)值求解方程是簡化的；數(shù)值計算的效率與精度是矛盾的，在求解大型結(jié)構(gòu)模型(百萬以上數(shù)量的點(diǎn)單元數(shù))時，一般計算機(jī)難以快速高效地完成該類計算。

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Study on reinforced concrete structure failure based on peridynamic theories*

SHI Hongshun，QIAN Songrong▲，XU Ting，YUAN Qunsheng，ZHANG Guohao

(SchoolofMechanicalEngineering，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China)

Peridynamic(PD)uses “bond” to describe the interaction within the materials，which can be used to analyze the crack extension during the material failure process.In this study，we constructed the mechanical model of the reinforced concrete made of different materials，proposed the concepts of same bond and different bond，and revised the micro-modulus constant and break criterion of the bonds.Through numerical calculation of the four-point bending test data of reinforced concrete beams，we proved that the PD mechanical model is feasible.

peridynamic，reinforced concrete，mechanical model，same bond，different bond，failure

TU311.3；TU

A

2016-10-08；

無

貴州省聯(lián)合基金項目(黔科合LH字[2014]7624號)，貴州省留學(xué)人員科技活動項目(黔人資合[2014]13號)資助。

石宏順(1992-)，男，貴州劍河人，在讀碩士，研究方向：材料可靠性和現(xiàn)代設(shè)計方法。

▲通訊作者：錢松榮(1972-)，女，貴州貴陽人，教授，研究方向：材料可靠性、可靠性及優(yōu)化設(shè)計和先進(jìn)制造技術(shù)。