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    利用軸對稱變換求最短路徑問題

    2016-12-19 03:35:00浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學董方澤
    新教育 2016年22期
    關(guān)鍵詞:馬廄對稱點騎馬

    □浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學 董方澤

    利用軸對稱變換求最短路徑問題

    □浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學 董方澤

    【課本原型】浙教版八上書本P50例2。如圖,直線l表示草原上的一條河流。一騎馬少年從A地出發(fā),去河邊讓馬飲水,然后返回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走,能使路程最短?作出這條最短路線。

    解法:作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,連結(jié)AB′,與直線l相交于點P,連結(jié)BP。騎馬少年沿折線A-P-B的路線行走時路程最短。

    證明:如圖,在直線l上任取一點P′(與點P不重合),連結(jié)AP′,BP′,B′P′.

    由軸對稱的性質(zhì)知,BP=B′P,BP′=B′P′

    ∴AP+BP=AP+B′P=AB′,AP′+BP′=AP′+B′P′

    在△AB′P′中,AB′<AP′+B′P′

    ∴AP+BP<AP′+BP′。

    即AP+BP最短。

    “最短路徑問題”的原型就來自于“飲馬問題”,要解決這一問題,是利用作對稱點把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題,它離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點之間,線段最短”的數(shù)學公理。在日常生活、工作中,也經(jīng)常會遇到有關(guān)行程路線的問題,我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短線路問題,出題者通常以直線、角、三角形、特殊四邊形、坐標軸等對稱圖形為背景。本文就在“最短路徑”中探尋一番,舉例分析,幫助同學們學習。

    【遷移與拓展】

    1.一點兩線(相交)解決周長最短。

    如圖所示,點P為一處馬廄,ON為草原的邊緣(下方為草原),OM為一條河流。清晨,騎馬少年要從馬廄牽馬先去草地吃草,然后到河邊飲水,最后再回到馬廄。請幫他設(shè)計一條最近的行走路線。

    解析:依據(jù)兩點之間線段最短,可分別作點P關(guān)于OM,ON的對稱點分別為P1、P2,連P1P2交OM、ON于點A、B。此時ΔPAB的周長PA+PB+AB=P1P2為最小。(證明略)

    2.二點兩線(相交)解決周長最短。

    如圖所示,P為帳篷,Q為馬廄,騎馬少年某天要從馬廄牽出馬,先到草地邊ON的某一處牧馬,再到河邊OM飲水,然后回到帳篷,請你幫他確定這一天的最短路線。

    解析:如圖分別作點P、Q關(guān)于OM,ON的對稱點為P′、Q′,連P′Q′,交OM、ON于點A、B。此時四邊形PABQ的周長PA+AB+BQ+PQ=P′Q′為最小。(證明略)

    3.一點兩線(相交)解決距離之和最短。

    如圖所示,A為馬廄,騎馬少年某天要從馬廄牽出馬,先到河邊OM的某處P飲水,再到草地ON邊某處B牧馬,請你幫他設(shè)計一條路線,使AP+BP最短。

    解析:如圖作點A關(guān)于OM的對稱點A′,過A′作ON的垂線交OM于P,交ON于B,則A→P→B為最短路線。(證明略)

    【應用與延伸】

    1.如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4),?O為坐標原點,設(shè)OA、AB的中點分別為C、D,P為OB上一動點,求PC+PD的最小值,并求取得最小值時P點坐標。

    解析:作點C關(guān)于y軸的對稱點C',連接C'D,交y軸于點P則C'D=C'P+PD=PC+PD。C'D就是PC+PD的最小值,連接CD,則CD=2,CC'=2。在直角△C'CD中,根據(jù)勾股定理C'D=2求直線C'D的解析式,由C'(-1,0),D(1,2)得y=x+1當x=0時,y=1,則P(0,1)。

    2.如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,點P在BC上移動,則當PA+PD取最小值時,△APD中邊AP上的高為__。

    解析:作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'D,交BC于點P,則A'D=PA'+PD=PA+PD,A'D的長就是PA+PD的最小值。△APD的面積為4。在直角△ABP中,AB=4,BP=1,根據(jù)勾股定理得,AP上的高為

    3.如圖,已知⊙O的直徑CD為4,∠AOD的度數(shù)為60°,點B是弧AD的中點,在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小,并求這個最小值。

    解析:作點A關(guān)于CD的對稱點A',連接A'B,交CD于點P,則A'B的長就是PA+PB的最小值。連接OA',OB,則∠A'OB=90°,OA'=OB=4根據(jù)勾股定理

    解析:作點B關(guān)于AD的對稱點B',過點B'作B'E⊥AB于點E,交AD于點F,則線段B'E的長就是BM+MN的最小值在等腰Rt△AEB'中,根據(jù)勾股定理得到:B'E=4。

    課本原型的飲馬問題,實質(zhì)上是線段之和最短的問題。既然是線段之和,自然從最初的兩條線段、演變到后來的三更多條線段之和的最短問題。飲馬問題是一種讓我們更深入觀察和分析知識的重要角度。我們要注重知識的延伸和遷移,使學生在學與練的過程中體味數(shù)學的奇妙。

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