利用軸對稱變換求最短路徑問題

□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學 董方澤

利用軸對稱變換求最短路徑問題

□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學 董方澤

【課本原型】浙教版八上書本P50例2。如圖，直線l表示草原上的一條河流。一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

解法：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連結(jié)AB′，與直線l相交于點P，連結(jié)BP。騎馬少年沿折線A-P-B的路線行走時路程最短。

證明：如圖，在直線l上任取一點P′（與點P不重合），連結(jié)AP′，BP′，B′P′．

由軸對稱的性質(zhì)知，BP=B′P，BP′=B′P′

∴AP+BP=AP+B′P=AB′，AP′+BP′=AP′+B′P′

在△AB′P′中，AB′＜AP′+B′P′

∴AP+BP＜AP′+BP′。

即AP+BP最短。

“最短路徑問題”的原型就來自于“飲馬問題”，要解決這一問題，是利用作對稱點把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，它離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”的數(shù)學公理。在日常生活、工作中，也經(jīng)常會遇到有關(guān)行程路線的問題，我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短線路問題，出題者通常以直線、角、三角形、特殊四邊形、坐標軸等對稱圖形為背景。本文就在“最短路徑”中探尋一番，舉例分析，幫助同學們學習。

【遷移與拓展】

1.一點兩線（相交）解決周長最短。

如圖所示，點P為一處馬廄，ON為草原的邊緣（下方為草原），OM為一條河流。清晨，騎馬少年要從馬廄牽馬先去草地吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬廄。請幫他設(shè)計一條最近的行走路線。

解析：依據(jù)兩點之間線段最短，可分別作點P關(guān)于OM，ON的對稱點分別為P1、P2，連P1P2交OM、ON于點A、B。此時ΔPAB的周長PA+PB+AB=P1P2為最小。(證明略)

2.二點兩線（相交）解決周長最短。

如圖所示，P為帳篷，Q為馬廄，騎馬少年某天要從馬廄牽出馬，先到草地邊ON的某一處牧馬，再到河邊OM飲水，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

解析：如圖分別作點P、Q關(guān)于OM，ON的對稱點為P′、Q′，連P′Q′，交OM、ON于點A、B。此時四邊形PABQ的周長PA+AB+BQ+PQ=P′Q′為最小。(證明略)

3.一點兩線（相交）解決距離之和最短。

如圖所示，A為馬廄，騎馬少年某天要從馬廄牽出馬，先到河邊OM的某處P飲水，再到草地ON邊某處B牧馬，請你幫他設(shè)計一條路線，使AP+BP最短。

解析：如圖作點A關(guān)于OM的對稱點A′，過A′作ON的垂線交OM于P,交ON于B，則A→P→B為最短路線。(證明略)

【應用與延伸】

1.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4），?O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標。

解析：作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P則C'D=C'P+PD=PC+PD。C'D就是PC+PD的最小值，連接CD，則CD=2，CC'=2。在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理C'D=2求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)得y=x+1當x=0時，y=1，則P(0，1)。

2.如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為＿＿。

解析：作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'D，交BC于點P，則A'D=PA'+PD=PA+PD，A'D的長就是PA+PD的最小值。△APD的面積為4。在直角△ABP中，AB=4，BP=1，根據(jù)勾股定理得，AP上的高為

3.如圖，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求這個最小值。

解析：作點A關(guān)于CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于點P，則A'B的長就是PA+PB的最小值。連接OA'，OB，則∠A'OB=90°，OA'=OB=4根據(jù)勾股定理

解析：作點B關(guān)于AD的對稱點B'，過點B'作B'E⊥AB于點E，交AD于點F，則線段B'E的長就是BM＋MN的最小值在等腰Rt△AEB'中，根據(jù)勾股定理得到：B'E=4。

課本原型的飲馬問題，實質(zhì)上是線段之和最短的問題。既然是線段之和，自然從最初的兩條線段、演變到后來的三更多條線段之和的最短問題。飲馬問題是一種讓我們更深入觀察和分析知識的重要角度。我們要注重知識的延伸和遷移，使學生在學與練的過程中體味數(shù)學的奇妙。