一道高考圓錐曲線試題的推廣及拓展

黃旭東●

湖北省黃石市第一中學(xué)(435000)

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一道高考圓錐曲線試題的推廣及拓展

黃旭東●

湖北省黃石市第一中學(xué)(435000)

一、試題還原與分析

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

二、推廣與拓展

由于橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，若點(diǎn)P為長(zhǎng)軸上一頂點(diǎn)，是否有類似結(jié)論呢？經(jīng)推證，猜想成立.于是縱向推廣得到如下定理2.

同為有心曲線，此結(jié)論在雙曲線上是否成立呢？能否橫向推廣？經(jīng)推證，結(jié)論成立，同時(shí)得到一個(gè)意外的結(jié)論，即得定理3.

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經(jīng)驗(yàn)證，若將P改為虛軸端點(diǎn)，結(jié)論不成立.通過上述推廣與拓展，得到了一些優(yōu)美而有趣的結(jié)論，從而從側(cè)面論證了數(shù)學(xué)也是一種講究美的學(xué)科，這正是數(shù)學(xué)所具有的獨(dú)特的魅力所在！

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1008-0333(2016)28-0023-02