用好平行線巧解高考題

楊偉達(dá)●

廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510800)

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用好平行線巧解高考題

楊偉達(dá)●

廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510800)

眾所周知，平行線和垂線一樣都是處理幾何問(wèn)題的常用方法之一．在高中數(shù)學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)若能恰當(dāng)用好平行線(平移直線)對(duì)快速解題起到事半功倍的效果．下面筆者對(duì)距離、斜率、參數(shù)、截距等問(wèn)題運(yùn)用平行線(平移直線)進(jìn)行析疑解惑，突顯平行線的魅力，煥發(fā)新的活力．

一、用好平行線解決有關(guān)距離問(wèn)題

有這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用傳統(tǒng)的代數(shù)方法處理運(yùn)算復(fù)雜、抽象、無(wú)從下手；若用極端思想處理，化抽象為具體，化整體為局部，化參量為常量，通過(guò)對(duì)“特殊”的思考，達(dá)到對(duì)“一般”的解決.比如用幾何法作平行線，利用平移直線，達(dá)到對(duì)極端的解決，運(yùn)算簡(jiǎn)便、快捷.

∴切點(diǎn)坐標(biāo)為P(ln2,1)

例2 (2015·全國(guó)卷理數(shù)16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

分析 此題用傳統(tǒng)方法處理，作輔助線把四邊形分為兩個(gè)三角形，設(shè)未知量，用正弦定理求解，運(yùn)算復(fù)雜，學(xué)生只能望而止步；若采用極端思想處理，化參數(shù)為常量，通過(guò)對(duì)“特殊”的思考，達(dá)到對(duì)“一般”的解決.本題通過(guò)平移AD，就會(huì)變?yōu)閮蓚€(gè)特殊的三角形，用正弦定理可求得AB的極端值.

解 如圖2所示，動(dòng)態(tài)審視(1)四邊形ABCD，保持BC=2及∠B=∠C=75°固定，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，此時(shí)當(dāng)A與D重合于E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2.

動(dòng)態(tài)審視(2)四邊形ABCD，保持BC=2及∠A=∠B=75°固定，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，此時(shí)與AB交于F，AB最短在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°.

二、用好平行線解決有關(guān)斜率問(wèn)題

有一些數(shù)學(xué)題，題目的已知條件出現(xiàn)了線段長(zhǎng)度的比例關(guān)系，若直接用代數(shù)求解，涉及未知量多，運(yùn)算復(fù)雜、易錯(cuò)；不妨作平行線，利用平行線的性質(zhì)，巧妙轉(zhuǎn)化線段比，運(yùn)算簡(jiǎn)便、快捷.

例3 (2013·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|=3|BF|，則l的斜率為( ).

三、用好平行線解決有關(guān)參數(shù)問(wèn)題

有一些數(shù)學(xué)題，題目已知條件出現(xiàn)了圖形，這時(shí)需觀察圖形，找出圖形的特征，根據(jù)圖形的特點(diǎn)思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒▏L試解題，最后將問(wèn)題最優(yōu)化. 其中作平行線(平移直線)，巧妙轉(zhuǎn)化量的關(guān)系，運(yùn)算簡(jiǎn)便、快捷，起到意想不到的效果.

分析 對(duì)于這樣的一個(gè)圖，許多人自然會(huì)想到建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量基本定理求解；若細(xì)心觀察、發(fā)現(xiàn)圖形中a是小正方形兩端點(diǎn)的對(duì)角線，且c端點(diǎn)及b的中點(diǎn)都在小正方形的端點(diǎn)上，平移向量a即可構(gòu)成一個(gè)三角形，利用向量的三角形法則可得c=λa+μb(λ,μ∈R)．

分析 此題的關(guān)鍵在于首先畫出平面區(qū)域，其中直線x+y=a表斜率為-1的平行直線．觀察、發(fā)現(xiàn)、標(biāo)出圖形的特征點(diǎn)A及點(diǎn)B，根據(jù)題目的已知條件，平移直線，直到問(wèn)題解決．

四、用好平行線解決有關(guān)截距問(wèn)題

在歷年的高考題中，線性規(guī)劃問(wèn)題幾乎年年出現(xiàn)，其中不乏有“定k(斜率)求b(截距)”的類型．解決此截距問(wèn)題關(guān)鍵在于：平移直線，過(guò)特殊點(diǎn)求最值．

分析 像這種“定k求d”類型的題目先要知道目標(biāo)函數(shù)表示什么，若表示為定斜率求最值，則最值通常在區(qū)域端點(diǎn)或邊界取得．其關(guān)鍵是：平移直線得到區(qū)域內(nèi)端點(diǎn)．

總之，在一些高考題中，若能恰當(dāng)用好平行線(平移直線)，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)，對(duì)一些數(shù)學(xué)題進(jìn)行特殊思考和求解，從而起到事半功倍的效果，彰顯了平行線是靈丹妙藥．

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1008-0333(2016)28-0016-02