巧用“1”解不等式

黃亦達(dá)●

湖北省武漢二中(430071)

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巧用“1”解不等式

黃亦達(dá)●

湖北省武漢二中(430071)

高中數(shù)學(xué)不等式具有較多的知識(shí)難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，會(huì)遇到各種題型，有時(shí)會(huì)面臨無(wú)從下手的困難，筆者在學(xué)習(xí)不等式過程中，通過分析和歸納，對(duì)部分基本不等式的題型解答和訓(xùn)練進(jìn)行系統(tǒng)編輯，以供參考.

中學(xué)數(shù)學(xué)；不等式

不等式在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要作用，高中數(shù)學(xué)大綱要求會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的不等式問題.由于基本不等式既具有定性功能，又具有定理功能，還具有工具性的作用，應(yīng)用面非常廣泛，涉及高中數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容，因此在每年高考試卷中出現(xiàn)頻率特高，可以說是每年高考的必考點(diǎn).但是同學(xué)們利用基本不等式解題時(shí)，對(duì)部分題型已知條件中出現(xiàn)“1”情況如何進(jìn)行代換，應(yīng)用上還存在困惑.本文結(jié)合常見問題進(jìn)行了分析和解答，希望能幫助同學(xué)們理解和掌握相關(guān)的知識(shí).

分析 為對(duì)(x+y)配式，根據(jù)“1”乘以任何一個(gè)式子大小不變，可將“1”整體代換，從而湊出定積的條件.

當(dāng)且僅當(dāng)y2a=x2b時(shí)取等號(hào).

針對(duì)練習(xí) 已知a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

分析 為對(duì)左式進(jìn)行變換，可將各分式的分子中的1用a+b+c來代換.

證明 ∵a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

根據(jù)不等式性質(zhì)，得

分析 為了挖掘出定積的情況，根據(jù)“1”乘以任何一個(gè)式子大小不變，利用代換法，變換所求式子，可得到定積條件.

解答：∵a>0,b>0，且a+2b=1,

例3 已知a>0,b>0,c>0，且abc=1.求證：(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

分析 左邊是3個(gè)因式的乘積，右邊是數(shù)字，結(jié)合已知條件abc=1，如果能將左邊轉(zhuǎn)化為abc的乘積，根據(jù)1的n次方仍是1，問題就能解決.

∵abc=1.∴(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

[1]《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué))》

[2]汪江松.重難點(diǎn)手冊(cè)[M],華中師范大學(xué)出版社.

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1008-0333(2016)28-0012-01