四面體外接球的半徑求法

李海玲●

新疆巴州馬蘭中學 (841700)

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四面體外接球的半徑求法

李海玲●

新疆巴州馬蘭中學 (841700)

四面體的外接球問題，作為高考的一個?？贾R點，在歷年高考題及多地模擬試題中總能見到它的身影，在此將四面體外接球的問題做一說明.

一、任意四面體外接球的存在性

我們知道，任一三角形都存在外接圓，且三角形外接圓的圓心是三角形各邊中垂線的交點.是不是四面體也存在相似的性質呢？

已知：四面體ABCD，△ABD的外心為O1，△BCD的外心為O2，EO1⊥面ABD，F(xiàn)O2⊥面BCD.

求證：EO1與PO2相交于一點O，O到各頂點距離相等.

設O1E∩O2F=0(顯然O1E與O2F不可能重合或平行)，則O點到A、B、C、D各點距離相等.

因為O∈O1E，所以O點到A、B、D三點距離相等(★).

O∈O2F知點O到B、C、D三點距離相等,

所以O點到A、B、C、D四項點距離相等.

由此可知，點O為四面體ABCD的外接球的球心，從而證明了任意四面體都有外接球.

二、常見題型分析

題型1 出現(xiàn)“墻角”結構利用補形知識，聯(lián)系長方體.

題型2 出現(xiàn)兩個垂直關系，利用直角三角形結論.

原理 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點.

題型3 出現(xiàn)多個垂直關系時建立空間直角坐標系，利用向量知識求解.

例題3 已知在三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=120°，AB=AD=AC=2，求該棱錐的外接球半徑.

題型4 四面體是正四面體

已知正四面體A-BCD，H為底面的中心，O為外接球的球心，設棱長為a，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，試求R.

[1]趙光明.任意四面體外接球半徑的計算公式[J].數(shù)學教學與研究,1988(06)

[2]賈玉友.正四面體外接球的幾個不變量[J].數(shù)學通訊,2001(03)

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