巧用構(gòu)造法解題

崔 文● 侯宇虹 ●

山東省文登第一中學(xué)(264400)

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巧用構(gòu)造法解題

崔 文● 侯宇虹 ●

山東省文登第一中學(xué)(264400)

“構(gòu)造法”適用于解決某些使用通常方法，按照定向思維難以解決的問題，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)去觀察、分析、解決問題.一般有構(gòu)造輔助函數(shù)、輔助方程、輔助數(shù)列、輔助圖形、輔助向量、輔助模型、輔助對(duì)偶式等.

1.構(gòu)造輔助函數(shù)

分析 許多證明復(fù)雜不等式的問題，首先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)得到構(gòu)造的新函數(shù)的最值情況，使問題得證.這種類型的問題是近幾年高考考查的重點(diǎn)，備考要格外重視.

2.構(gòu)造輔助方程

分析 判別式法是求此類分式函數(shù)值域方法中的一種,它的理論依據(jù)是將y=f(x)化為關(guān)于x的二次方程,那么方程必有實(shí)根,判別式Δ≥0,由此可求得函數(shù)的值域.

(2)當(dāng)y=1時(shí),x=0, 方程有解，所以y=1成立.

3.構(gòu)造輔助數(shù)列

例3 數(shù)列{an}中，若a1=1，a2=3,an+2+4an+1-5an=0 (n∈N*),求an.

分析 許多數(shù)列不是等差、等比數(shù)列，可間接構(gòu)造一個(gè)等差、等比數(shù)列，或者熟悉的數(shù)列，然后求通項(xiàng)公式.

解析 由an+2+4an+1-5an=0得an+2-an+1=-5(an+1-an).設(shè)bn=an+1-an，則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比是-5,首項(xiàng)b1=a2-a1=2,∴an+1-an=2·(-5)n-1，即a2-a1=2·(-5)0,a3-a2=2·(-5)1,a4-a3=2·(-5)2,…,an-an-1=2·(-5)n-2.

4.構(gòu)造平面輔助圖形

分析 利用坐標(biāo)系構(gòu)造過定點(diǎn)M(-2，0)和動(dòng)點(diǎn)P(cosx,sinx)的直線斜率范圍為所求值域.

5.構(gòu)造立體輔助圖形

分析 由已知條件cos2α+cos2β+cos2γ=1(α、β、γ為銳角)，聯(lián)想到長(zhǎng)方體的對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角的余弦也有此關(guān)系.

6.構(gòu)造輔助向量

分析 本題可以看成兩個(gè)向量的數(shù)量積，然后借助數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.

7.構(gòu)造輔助模型

例7 方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的組數(shù)是( ).

A.24 B. 72 C.144 D.165

分析 把代數(shù)問題借助排列組合的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成排列組合中的“隔板”問題.

運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，側(cè)重轉(zhuǎn)化，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，尤其是數(shù)學(xué)模型的積累，方可運(yùn)籌帷幄，決勝千里.

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1008-0333(2016)28-0011-01