求多面體體積的六種常用技巧

黃光鑫●

四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高中部(610066)

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求多面體體積的六種常用技巧

黃光鑫●

四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高中部(610066)

無論在數(shù)學(xué)的平時考試或者高考中經(jīng)常會出現(xiàn)求多面體體積的題目，尤其是文科高考題，經(jīng)常在立體幾何的大題中出現(xiàn)求體積的小問.有的學(xué)生由于缺乏求體積的技巧而失分，甚為可惜！下面我們系統(tǒng)總結(jié)求多面體體積的幾種常用技巧供大家參考.

一、換底

例1 (2014年福建文科(19))如圖1，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A-MBC的體積.

解析1 (1)∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，

∴AB⊥CD，又∵CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD.

(2)若以△MBC為底面求三棱錐A-MBC的體積，不僅ΔMBC的面積不好計算，而且A點到平面MBC的距離即三棱錐A-MBC的高更不好計算，所以考慮換底：選擇以MAB為底面的話，CD就是三棱錐的高，容易求得：

問題迎刃而解.

點評 換底是求三棱錐體積最常用的一種技巧.

二、分割

例2 (見前面例1)

解析2 (1)略.(2)也可以將三棱錐A-MBC

看作一個大的三棱錐A-BCD切掉了一個小的三棱錐M-BCD而成的.于是可以作MN⊥BD于N，顯然MN⊥平面BCD，如圖2.

所以VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD

例3 如圖3，在三棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P,Q，且滿足A1P=BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為( ).

在ΔSCD中，由余弦定理可得：

于是VS-ABC=VA-SCD+VB-SCD

選C.

點評 第二種分割方法顯然比第一種分割方法運算量要小得多.抓住了圖形和數(shù)字的特殊性找到的分割方法更優(yōu)越.

三、補形

解析1 以正方體的面對角線為棱可構(gòu)成一個正四面體，所以可將原正四面體還原補成一個棱長為1的正方體，此正方體、正四面體的頂點在同一球面上(如圖6)，從而球的直徑等于正方體的體對角線，即：

四、特殊化

例6 (見前面例3)

五、估算

解 連接EB,EC.因為

所以排除A、B、C,選D.

六、轉(zhuǎn)化

例8 (見前面例4)

例9 正六棱錐中，G為PB的中點，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC的體積之比為( )

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2

解析 三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC的底面積相同，所以它們的體積之比就等于高之比，∵G為PB的中點,∴P點到平面GAC的距離等于B點到平面GAC的距離,于是可進行第一次轉(zhuǎn)化:VP-GAC=VB-GAC，據(jù)平面幾何知識容易知道：DQ=2BQ∴D點到平面GAC的距離等于B點到平面GAC的距離的2倍，于是可以進行第二次轉(zhuǎn)化：

例10 (2014年江西文科(19))如圖10，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC,A1B⊥BB1.

何值時，三棱柱ABC-A1B1C1體積最大，

并求此最大值.

解析1 (1)由AA1⊥BC知BB1⊥BC，

又∵A1B⊥BB1∴BB1⊥平面A1BC，∵BB1∥CC1，CC1⊥平面A1BC，從而A1C⊥CC1.

(2)計算斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積需要知道它的高，求三棱柱的高并不容易，而據(jù)(1)可知CC1⊥平面A1BC，所以考慮割補法：將原三棱柱以面A1BC進行分割，將切下的三棱錐A1-ABC的面ABC與四棱錐A1-BCC1B1的側(cè)面A1B1C1重合，由此補成一個直三棱柱A1BC-EB1C1(如圖11).

解析2 (1)略.(2)計算斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積需要知道它的高.

∴VABC-A1B1C1=3VB-A1B1C1=SΔA1BC·BB1，后面同解析1.

點評 解析1是將斜三棱柱轉(zhuǎn)化為直三棱柱來解決.解析2是將斜三棱柱轉(zhuǎn)化為三棱錐通過換底來解決.殊途同歸！

通過以上各例可以看出求多面體體積的常用技巧有六種：(1)換底；(2)分割；(3)補形；(4)轉(zhuǎn)化；(5)估算；(6)特殊化.只要我們根據(jù)幾何體的不同特征，靈活的運用以上各種技巧，求多面體的體積就再也不會有什么障礙了.

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1008-0333(2016)28-0002-02